วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ปัญหาจากการฝึกฝนเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

มีการพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน กรณีที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งหรือสองตัวจะได้รับการพิจารณาโดยละเอียด ลักษณะทั่วไปถูกสร้างขึ้นในกรณีของตัวแปรจำนวนหนึ่งโดยพลการ

ดูสิ่งนี้ด้วย: ตัวอย่างการใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

สูตรพื้นฐาน

ที่นี่เรานำเสนอที่มาของสูตรต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรเดียว

ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่มีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฟังก์ชันนี้สร้างความแตกต่างได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ตามค่าของตัวแปร
จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน (คอมโพสิต) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยสูตร:
(1) .

สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:
;
.

การพิสูจน์

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้
;
.
มีฟังก์ชันของตัวแปรและมีฟังก์ชันของตัวแปรและ แต่เราจะละเว้นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อไม่ให้การคำนวณยุ่งเหยิง

เนื่องจากฟังก์ชัน และ หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และตามลำดับ จึงมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งมีข้อจำกัดดังต่อไปนี้:
;
.

พิจารณาฟังก์ชั่นต่อไปนี้:
.
สำหรับค่าคงที่ของตัวแปร u เป็นฟังก์ชันของ เห็นได้ชัดว่า
.
แล้ว
.

เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จึงต่อเนื่องที่จุดนั้น ดังนั้น
.
แล้ว
.

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์

.

สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา

หากฟังก์ชันของตัวแปร x สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้
,
แล้วอนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร
.
ที่นี่และมีฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลอยู่บ้าง

เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ เราจึงคำนวณอนุพันธ์ตามลำดับตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
อนุพันธ์ของมัน
.
พิจารณาฟังก์ชั่นเดิม
.
อนุพันธ์ของมัน
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัว

ตอนนี้ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว พิจารณาก่อน ฟังก์ชันที่ซับซ้อนในสองตัวแปร.

ให้ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรสองตัวในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x;
- ฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัว, อนุพันธ์ ณ จุด,. จากนั้นฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะถูกกำหนดในบริเวณใกล้เคียงของจุดและมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
(2) .

การพิสูจน์

เนื่องจากฟังก์ชันและอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จึงถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดนี้ มีความต่อเนื่องที่จุดหนึ่ง และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้มีอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
;
.
ที่นี่
;
.
เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ ณ จุดนั้น เราจึงมี:
;
.

เนื่องจากฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จึงถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดนี้ ต่อเนื่อง ณ จุดนี้ และการเพิ่มขึ้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
(3) .
ที่นี่

- การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นตามค่าและ;
;

- อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรและ
สำหรับค่าคงที่ของ และ และมีฟังก์ชันของตัวแปรและ พวกเขามักจะเป็นศูนย์ที่และ:
;
.
ตั้งแต่นั้นมา
;
.

การเพิ่มฟังก์ชัน:

. :
.
ทดแทน (3):



.

สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรหลายตัว

ข้อสรุปข้างต้นสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีเมื่อจำนวนตัวแปรของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีมากกว่า 2 ตัว

ตัวอย่างเช่น ถ้า f คือ ฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว, แล้ว
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x;
- ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลของตัวแปรสามตัว ณ จุดนั้น,,.
จากนิยามของดิฟเฟอเรนติเอได้ของฟังก์ชัน เราได้:
(4)
.
เนื่องจากโดยอาศัยความต่อเนื่อง
; ; ,
แล้ว
;
;
.

หาร (4) และดำเนินการตามข้อ จำกัด เราได้รับ:
.

สุดท้ายนี้ พิจารณา กรณีที่พบบ่อยที่สุด.
ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปร n ตัวในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
มีฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x;
เป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลของตัวแปร n ตัวที่จุด
, , ... , .
แล้ว
.

หากเราทำตามคำจำกัดความ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชัน Δ yเพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองคำนวณโดยใช้สูตรนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) อี xบาป x... หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากการคำนวณสองสามหน้าคุณจะหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ในการเริ่มต้น เราทราบว่าฟังก์ชันพื้นฐานที่เรียกว่าสามารถแยกแยะได้จากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด นี่เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณและป้อนลงในตารางมานานแล้ว ฟังก์ชั่นดังกล่าวจำง่าย - พร้อมกับอนุพันธ์ของพวกมัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันพื้นฐานมีทุกอย่างตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องเป็นที่รู้จักด้วยหัวใจ ยิ่งกว่านั้นการท่องจำนั้นไม่ยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นพื้นฐาน

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

หากฟังก์ชันมูลฐานคูณด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ตาม อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็สามารถคำนวณได้ง่ายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถย้ายออกนอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3) ’= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถเพิ่มซึ่งกันและกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมาย ดังนั้นฟังก์ชันใหม่จะปรากฏขึ้นซึ่งไม่ใช่ระดับพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังแยกความแตกต่างได้ตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของผลรวมและส่วนต่าง

ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + g)’ = ฉ ’ + g ’
2. (ฉ − g)’ = ฉ ’ − g ’

ดังนั้นอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจึงเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ( ฉ + g + ชม)’ = ฉ ’ + g ’ + ชม ’.

พูดอย่างเคร่งครัดไม่มีแนวคิดของ "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดของ "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − gสามารถเขียนใหม่เป็น sum . ได้ ฉ+ (-1) gและเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2) ’+ (บาป x)’ = 2x+ cos x;

เราให้เหตุผลในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชัน g(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของงาน

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ หลายคนเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณนั้น โจมตี"> เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่มะเดื่อคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · g) ’ = ฉ ’ · g + ฉ · g ’

สูตรนี้เรียบง่าย แต่มักถูกมองข้าม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x- 7) อี x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3 คอส x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- บาป x) = x 2 (3cos x − xบาป x)

ฟังก์ชั่น g(x) ปัจจัยแรกซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ เห็นได้ชัดว่าปัจจัยแรกของการทำงาน g(x) เป็นพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) อี x)’ = (x 2 + 7x- 7) ’ อี x + (x 2 + 7x- 7) ( อี x)’ = (2x+ 7) อี x + (x 2 + 7x- 7) อี x = อี x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · อี x = x(x+ 9) อี x .

ตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3cos x − xบาป x);
g ’(x) = x(x+ 9) อี x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเพิ่มเติมอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ เครื่องหมายจะถูกชี้แจง และอื่น ๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรใช้นิพจน์แยกตัวประกอบจะดีกว่า

หากมีสองหน้าที่ ฉ(x) และ g(x), และ g(x) ≠ 0 ในเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม(x) = ฉ(x)/g(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่มั้ย ค่าลบมาจากไหน? ทำไม g 2? แต่แบบนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ยากที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว การแยกตัวเศษออกเป็นปัจจัยจะทำให้คำตอบง่ายขึ้นอย่างมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ยกตัวอย่าง ก็เพียงพอแล้วที่จะรับหน้าที่ ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xเอาเป็นว่า x 2 + ln x... มันจะกลายเป็น ฉ(x) = บาป ( x 2 + ln x) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน นอกจากนี้ยังมีอนุพันธ์ แต่จะไม่ทำงานเพื่อค้นหาตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น

จะเป็นอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย t(x).

ตามกฎแล้ว ด้วยความเข้าใจในสูตรนี้ สถานการณ์จึงน่าเศร้ายิ่งกว่าผลสืบเนื่องของผลหาร ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = อี 2x + 3 ; g(x) = บาป ( x 2 + ln x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+ 3 จะง่าย xจากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = อี x... ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้2 x + 3 = t, ฉ(x) = ฉ(t) = อี t... เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (อี t)’ · t ’ = อี t · t ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: t = 2x+ 3. เราได้รับ:

ฉ ’(x) = อี t · t ’ = อี 2x+ 3 (2 x + 3)’ = อี 2x+ 3 2 = 2 อี 2x + 3

ทีนี้มาจัดการกับฟังก์ชั่นกัน g(x). แน่นอน คุณต้องเปลี่ยน x 2 + ln x = t... เรามี:

g ’(x) = g ’(t) · t’= (บาป t)’ · t'= คอส t · t ’

การเปลี่ยนกลับ: t = x 2 + ln x... แล้ว:

g ’(x) = คอส ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '= คอส ( x 2 + ln x) (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่คุณเห็นจากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมที่ได้รับ

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2 อี 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) คอส ( x 2 + ln x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน ฉันใช้คำว่า "stroke" แทนคำว่า "derivative" ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของสโตรก ชัดเจนกว่านี้ไหม? ดีที่ดี

ดังนั้น การคำนวณอนุพันธ์จึงเป็นการกำจัดจังหวะเหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย กลับไปที่อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x น)’ = น · x น − 1

น้อยคนนักที่จะรู้ว่าหน้าที่ นอาจเป็นจำนวนเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่น รูตคือ x 0.5. แต่ถ้ามีสิ่งที่น่าสนใจอยู่ที่รูทล่ะ? อีกครั้งฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจะเปิดออก - พวกเขาชอบที่จะสร้างสิ่งก่อสร้างดังกล่าวในการทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

อันดับแรก ให้เขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยน: ให้ x 2 + 8x − 7 = t... เราหาอนุพันธ์ได้จากสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (t 0.5) ' t'= 0.5 t−0.5 t ’.

เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: t = x 2 + 8x- 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 x 2 + 8x- 7) ’= 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ในที่สุดกลับไปที่ราก:

บทเรียนนี้เกี่ยวกับหัวข้อ "ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ปัญหาจากการฝึกฝนเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์” บทเรียนนี้สำรวจความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน รวบรวมตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน นอกจากนี้ ยังได้พิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาจากการฝึกเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย

กระทู้: อนุพันธ์

บทเรียน: การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ปัญหาจากการฝึกฝนเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์

ที่ซับซ้อนการทำงานเราได้แยกความแตกต่างแล้ว แต่อาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น กล่าวคือ เราสามารถแยกความแตกต่างของฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น . ในทำนองเดียวกัน เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยที่ฟังก์ชันอื่นแทนฟังก์ชันเชิงเส้นได้

มาเริ่มกันที่ฟังก์ชั่น

เราจึงพบอนุพันธ์ของไซน์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยอาร์กิวเมนต์ของไซน์เป็นฟังก์ชันกำลังสอง

หากจำเป็นต้องหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จะต้องแทนที่จุดนี้ลงในอนุพันธ์ที่ตรวจพบ

จากตัวอย่างสองตัวอย่าง เราเห็นว่ากฎทำงานอย่างไร ความแตกต่างที่ซับซ้อน ฟังก์ชั่น.

2.

3. ... จำได้ว่า.

7.

8. .

ดังนั้น ในขั้นตอนนี้ เราจะทำตารางการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนให้เสร็จ ยิ่งไปกว่านั้น แน่นอน มันจะเป็นการทำให้เป็นแบบทั่วไปมากขึ้น และตอนนี้เราจะไปยังปัญหาเฉพาะของอนุพันธ์

ในการฝึกเตรียมสอบ ขอเสนองานดังต่อไปนี้

หาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน .

อ็อดซ์: .

ลองหาอนุพันธ์ จำได้ว่า, .

ให้เราหาอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ จุด - รวมอยู่ใน ODZ

ให้เราหาช่วงของเครื่องหมายคงที่ของอนุพันธ์ (ช่วงของความซ้ำซากของฟังก์ชัน) (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. ช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจสำหรับฟังก์ชัน .

พิจารณาจุดหนึ่งและดูว่าเป็นจุดสุดโต่งหรือไม่ เครื่องหมายที่เพียงพอของปลายสุดคือการเปลี่ยนแปลงสัญญาณเมื่อผ่านจุดหนึ่ง ในกรณีนี้ อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่าเป็นจุดสุดโต่ง เนื่องจากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" ดังนั้นมันจึงเป็นจุดต่ำสุด ลองหาค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด: มาวาดแผนภาพกัน (ดูรูปที่ 2)

มะเดื่อ 2. ฟังก์ชันสุดขั้ว .

ในช่วงเวลา - ฟังก์ชันลดลง เปิด - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น จุดสูงสุดคือจุดเดียวเท่านั้น ฟังก์ชันใช้ค่าที่น้อยที่สุด ณ จุดนั้นเท่านั้น

ในบทเรียน พวกเขาพิจารณาการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน รวบรวมตาราง และพิจารณากฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ได้ยกตัวอย่างการใช้อนุพันธ์จากการฝึกฝนการเตรียมสอบ

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ก.พ. เอ.จี. มอร์ดโควิช -M.: Mnemosina, 2009.

2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์), ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya. , Ivashev-Musatov O.S. , Schwarzburd S.I. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 (ตำราสำหรับนักเรียนของโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง) .- M.: การศึกษา, 1996

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartburd S.I. การศึกษาเชิงลึกของพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์.-ม.: การศึกษา, 1997.

5. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าศึกษาในสถาบันอุดมศึกษา (ภายใต้กองบรรณาธิการของ MI Skanavi) .- M. : Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G. , Polonskiy VB, Yakir M.S. เครื่องจำลองพีชคณิต.-K.: A.S.K. , 1997.

7. Zvavich L.I. , Shlyapochnik L.Ya. , Chinkina Algebra และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 8-11: คู่มือสำหรับโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง (สื่อการสอน) .- M.: Bustard, 2002

8. Sahakyan S.M. , Goldman A.M. , Denisov D.V. งานในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป) .- M.: Education, 2003

9. คาร์ป เอ.พี. ประมวลปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ : หนังสือเรียน. เบี้ยเลี้ยงสำหรับเกรด 10-11 ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์.-ม.: การศึกษา, 2549.

10. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน 9-10 เกรด (คู่มือสำหรับครู) .- M.: Education, 1983

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

2. พอร์ทัลของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ().

ทำที่บ้าน

№№ 42.2, 42.3 (พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์, เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) แก้ไขโดย A. G. Mordkovich -M.: Mnemozina, 2007.)

ซึ่งเราวิเคราะห์อนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของความแตกต่างและเทคนิคบางอย่างในการหาอนุพันธ์ ดังนั้น หากคุณไม่ค่อยคุ้นเคยกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หรือบางประเด็นของบทความนี้ไม่ชัดเจนนัก ให้อ่านบทเรียนข้างต้นก่อน โปรดปรับอารมณ์ให้เข้ากับอารมณ์ - เนื้อหาไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ฉันยังคงพยายามนำเสนอในวิธีที่ง่ายและเข้าถึงได้

ในทางปฏิบัติ คุณต้องจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนบ่อยมาก แม้แต่จะบอกว่า เกือบทุกครั้ง เมื่อคุณได้รับภารกิจในการหาอนุพันธ์

เราดูในตารางที่กฎ (หมายเลข 5) สำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

ความเข้าใจ. ก่อนอื่น มาดูการบันทึกกันก่อน ในที่นี้เรามีฟังก์ชันสองอย่าง และยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันซึ่งเปรียบได้กับการพูด ถูกฝังอยู่ในฟังก์ชัน ฟังก์ชันประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน

ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นภายนอกและหน้าที่ - ฟังก์ชันภายใน (หรือซ้อนกัน).

! คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบขั้นสุดท้ายของงานที่ได้รับมอบหมาย ฉันใช้นิพจน์ที่ไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชันภายนอก" ฟังก์ชัน "ภายใน" เพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้นเท่านั้น

เพื่อชี้แจงสถานการณ์ ให้พิจารณา:

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ภายใต้ไซน์ เราไม่ได้มีแค่ตัวอักษร "X" แต่มีนิพจน์จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทันทีจากตาราง นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรกที่นี่ ดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือคุณไม่สามารถ "ฉีก" ไซน์ได้:

ในตัวอย่างนี้ จากคำอธิบายของฉัน มันชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน (การซ้อน) และฟังก์ชันภายนอก

ขั้นแรกซึ่งจะต้องดำเนินการเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน นั่นคือ หาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายในและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอก.

ในกรณีของตัวอย่างง่ายๆ ดูเหมือนชัดเจนว่าพหุนามซ้อนอยู่ใต้ไซน์ แต่ถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจนล่ะ? จะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายใน ในการทำเช่นนี้ ฉันขอแนะนำให้ใช้เทคนิคต่อไปนี้ ซึ่งสามารถทำได้ทางจิตใจหรือแบบร่าง

ลองนึกภาพว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะเป็นตัวเลขใด ๆ ก็ได้)

เราจะคำนวณอะไรก่อน ก่อนอื่นเลยคุณจะต้องดำเนินการดังต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามจะเป็นฟังก์ชันภายใน:

ประการที่สองจะต้องถูกค้นหา ดังนั้นไซน์จะเป็นฟังก์ชันภายนอก:

หลังจากที่เรา นึกออก, คิดออก, หาคำตอบได้ด้วยฟังก์ชันภายในและภายนอก ได้เวลาใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน .

เราเริ่มตัดสินใจ จากบทเรียน ฉันจะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรเราจำได้ว่าการออกแบบโซลูชันของอนุพันธ์ใด ๆ เริ่มต้นเช่นนี้เสมอ - เราใส่นิพจน์ในวงเล็บและใส่จังหวะที่ด้านบนขวา:

อันดับแรกหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (sine) ดูตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้นแล้วสังเกตว่า สูตรตารางทั้งหมดใช้ได้แม้ว่า "x" จะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชันภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่แตะต้องมัน.

มันค่อนข้างชัดเจนว่า

ผลของการใช้สูตร ในการออกแบบขั้นสุดท้ายดูเหมือนว่า:

ปัจจัยคงที่มักจะวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์:

หากมีความสับสน ให้จดวิธีแก้ปัญหาและอ่านคำอธิบายอีกครั้ง

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

และเช่นเคย เราเขียนว่า:

มาคิดกันว่าเรามีหน้าที่ภายนอกที่ใด และหน้าที่ของเรามีฟังก์ชันภายในอยู่ที่ใด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ จะต้องทำอะไรก่อน? ก่อนอื่น คุณต้องคำนวณว่าฐานเท่ากับอะไร ซึ่งหมายความว่าพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน:

จากนั้นจึงทำการยกกำลัง ดังนั้น ฟังก์ชันกำลังจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก:

ตามสูตร ก่อนอื่นคุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ในกรณีนี้คือ ดีกรี เรากำลังมองหาสูตรที่ต้องการในตาราง: เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรตารางใด ๆ ที่ใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ "x" แต่ยังสำหรับนิพจน์ที่ซับซ้อน... ดังนั้น ผลของการใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน ต่อไป:

ฉันเน้นอีกครั้งว่าเมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชันภายในจะไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับเรา:

ตอนนี้ยังคงหาอนุพันธ์ที่ง่ายมากของฟังก์ชันภายในและ "หวี" ผลลัพธ์เล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (คำตอบที่ส่วนท้ายของบทช่วยสอน)

เพื่อรวบรวมความเข้าใจเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉันจะยกตัวอย่างโดยไม่มีความคิดเห็น พยายามคิดออกเอง คาดเดาว่าฟังก์ชันภายนอกอยู่ที่ไหน และฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน ทำไมงานจึงได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้

ตัวอย่างที่ 5

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

b) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 6

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่เรามีรูท และเพื่อที่จะแยกความแตกต่างของรูท มันจะต้องแสดงเป็นดีกรี ดังนั้น อันดับแรก เรานำฟังก์ชันมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมกับการสร้างความแตกต่าง:

จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าผลรวมของพจน์สามพจน์เป็นฟังก์ชันภายใน และการยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

ดีกรีจะแสดงเป็นรากเดียวกันอีกครั้ง และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎง่ายๆ ในการแยกความแตกต่างของผลรวม:

พร้อม. คุณยังสามารถนำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วมในวงเล็บและเขียนทุกอย่างลงในเศษส่วนเดียวได้ ดีแน่นอน แต่เมื่อได้อนุพันธ์ระยะยาวที่ยุ่งยากแล้ว จะดีกว่าที่จะไม่ทำเช่นนี้ (ง่ายต่อการสับสน ทำผิดพลาดโดยไม่จำเป็น และครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)

ตัวอย่าง 7

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (คำตอบที่ส่วนท้ายของบทช่วยสอน)

เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าบางครั้ง แทนที่จะใช้กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราสามารถใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของผลหารได้ แต่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะดูผิดปกติเหมือนวิปริต นี่คือตัวอย่างทั่วไป:

ตัวอย่างที่ 8

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของผลหาร แต่การหาอนุพันธ์ผ่านกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อนนั้นได้กำไรมากกว่ามาก:

เราเตรียมฟังก์ชันสำหรับการแยกความแตกต่าง - เราย้ายเครื่องหมายลบออกนอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ และยกโคไซน์เป็นตัวเศษ:

โคไซน์เป็นฟังก์ชันภายใน การยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก
เราใช้กฎของเรา :

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน รีเซ็ตโคไซน์กลับด้านล่าง:

พร้อม. ในตัวอย่างที่พิจารณาเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนในสัญญาณ ยังไงก็ลองแก้ตามกฏ , คำตอบต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 9

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (คำตอบที่ส่วนท้ายของบทช่วยสอน)

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณากรณีต่างๆ ที่เรามีสิ่งที่แนบมาเพียงอันเดียวในฟังก์ชันที่ซับซ้อน ในทางปฏิบัติ คุณมักจะพบอนุพันธ์ ซึ่งเหมือนกับตุ๊กตาที่ทำรัง ฟังก์ชัน 3 หรือ 4-5 ซ้อนกันในครั้งเดียว เช่น ตุ๊กตาทำรัง

ตัวอย่าง 10

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาทำความเข้าใจสิ่งที่แนบมาของฟังก์ชันนี้กัน พยายามประเมินนิพจน์โดยใช้ค่าทดสอบ เราจะนับเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?

ก่อนอื่นคุณต้องหาก่อน ซึ่งหมายความว่า arcsine เป็นรังที่ลึกที่สุด:

จากนั้นอาร์กไซน์ของอันหนึ่งควรยกกำลังสอง:

และสุดท้าย ยก 7 ขึ้นสู่อำนาจ:

นั่นคือ ในตัวอย่างนี้ เรามีฟังก์ชันที่แตกต่างกันสามฟังก์ชันและสิ่งที่แนบมาสองอย่าง ในขณะที่ฟังก์ชันในสุดคืออาร์กไซน์ และฟังก์ชันนอกสุดคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เราเริ่มแก้

ตามระเบียบ ก่อนอื่นคุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เราดูตารางอนุพันธ์และหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "x" เรามีนิพจน์ที่ซับซ้อน ซึ่งไม่ได้ลบล้างความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน ต่อไป.

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่เหมาะกับคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงซ้อนเสมอไป หากมีฟังก์ชันของรูปแบบ y = บาป x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 จะไม่ถือว่าซับซ้อน ไม่เหมือนกับ y = บาป 2 x

บทความนี้จะแสดงแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและการระบุตัวตน มาทำงานกับสูตรการหาอนุพันธ์พร้อมตัวอย่างคำตอบในบทสรุปกัน การใช้ตารางอนุพันธ์และกฎของความแตกต่างช่วยลดเวลาในการหาอนุพันธ์ได้อย่างมาก

คำจำกัดความพื้นฐาน

ฟังก์ชันเชิงซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันด้วย

มันถูกแสดงในลักษณะนี้: f (g (x)) เรามีว่าฟังก์ชัน g (x) ถือเป็นอาร์กิวเมนต์ของ f (g (x))

คำจำกัดความ 2

หากมีฟังก์ชัน f และเป็นฟังก์ชันโคแทนเจนต์ ดังนั้น g (x) = ln x จะเป็นฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ เราได้รับว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน f (g (x)) จะถูกเขียนเป็น arctan (lnx) หรือฟังก์ชัน f ซึ่งเป็นฟังก์ชันยกกำลัง 4 โดยที่ g (x) = x 2 + 2 x - 3 ถือเป็นฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด เราจะได้ f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

เห็นได้ชัดว่า g (x) อาจเป็นเรื่องยุ่งยาก จากตัวอย่าง y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 คุณจะเห็นว่าค่าของ g มีรากที่สามที่มีเศษส่วน นิพจน์นี้ได้รับอนุญาตให้แสดงเป็น y = f (f 1 (f 2 (x))) ด้วยเหตุนี้เราจึงได้ f คือฟังก์ชันไซน์ และ f 1 คือฟังก์ชันที่อยู่ใต้สแควร์รูท f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 เป็นฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

คำจำกัดความ 3

ระดับการซ้อนถูกกำหนดโดยจำนวนธรรมชาติใดๆ และเขียนเป็น y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (F n (x)))))

คำจำกัดความ 4

แนวคิดขององค์ประกอบฟังก์ชันหมายถึงจำนวนฟังก์ชันที่ซ้อนกันตามเงื่อนไขของปัญหา สำหรับการแก้ปัญหา สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของรูปแบบ

(f (g (x))) "= f" (g (x)) g "(x)

ตัวอย่างของ

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของรูปแบบ y = (2 x + 1) 2

สารละลาย

จากเงื่อนไข คุณจะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชันกำลังสอง และ g (x) = 2 x + 1 ถือเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น

ลองใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนแล้วเขียนว่า

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 ​​​​x + 1); g "(x) = (2 x + 1)" = (2 x) "+ 1" = 2 x "+ 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f " (ก. (x)) ก. "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ที่มีรูปแบบดั้งเดิมของฟังก์ชันอย่างง่าย เราได้รับ:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้น

y "= (4 x 2 + 4 x + 1)" = (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "= 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 = = 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

ผลลัพธ์ตรงกัน.

เมื่อแก้ปัญหาประเภทนี้ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหน้าที่ของแบบฟอร์ม f และ g (x) จะอยู่ที่ใด

ตัวอย่าง 2

คุณควรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของรูปแบบ y = sin 2 x และ y = sin x 2

สารละลาย

สัญกรณ์แรกของฟังก์ชันบอกว่า f เป็นฟังก์ชันกำลังสอง และ g (x) เป็นฟังก์ชันไซน์ แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

y "= (บาป 2 x)" = 2 บาป 2 - 1 x (บาป x) "= 2 บาป x cos x

รายการที่สองแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันไซน์ และ g (x) = x 2 หมายถึงฟังก์ชันกำลัง ผลคูณของฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถเขียนเป็น

y "= (บาป x 2)" = cos (x 2) (x 2) "= cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

สูตรสำหรับอนุพันธ์ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) จะเขียนเป็น y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 () ... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sin (ln 3 a r c t g (2 x))

สารละลาย

ตัวอย่างนี้แสดงความซับซ้อนของการเขียนและการค้นหาฟังก์ชัน จากนั้น y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) แสดงว่า f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) เป็นฟังก์ชันไซน์ ฟังก์ชันของ เพิ่มขึ้นใน 3 องศา ฟังก์ชันที่มีลอการิทึมและฐาน e ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์และเชิงเส้น

จากสูตรนิยามฟังก์ชันเชิงซ้อน จะได้ว่า

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) ฉ 3 "(f 4 (x)) ฉ 4" (x)

เราจะได้ของที่จะหา

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) เป็นอนุพันธ์ของไซน์ตามตารางอนุพันธ์แล้ว f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))) ))) ) = cos (ln 3 arctan (2 x))
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง จากนั้น f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arctan (2 x) = 3 ln 2 arctan (2 x)
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) เป็นอนุพันธ์ของลอการิทึม จากนั้น f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x)
4. f 3 "(f 4 (x)) เป็นอนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ จากนั้น f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2
5. เมื่อหาอนุพันธ์ f 4 (x) = 2 x ให้ลบ 2 นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์โดยใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับ 1 จากนั้น f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x "= 2 1 x 1 - 1 = 2

เรารวมผลลัพธ์ขั้นกลางและรับสิ่งนั้น

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

การวิเคราะห์หน้าที่ดังกล่าวชวนให้นึกถึงตุ๊กตาทำรัง กฎการสร้างความแตกต่างไม่สามารถใช้อย่างชัดเจนโดยใช้ตารางอนุพันธ์ มักจำเป็นต้องใช้สูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

มีความแตกต่างบางประการระหว่างมุมมองที่ซับซ้อนและฟังก์ชันที่ซับซ้อน ด้วยความสามารถที่ชัดเจนในการแยกแยะสิ่งนี้ การค้นหาอนุพันธ์จะง่ายเป็นพิเศษ

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องพิจารณาให้ตัวอย่างที่คล้ายกัน หากมีฟังก์ชันของรูปแบบ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ก็ถือได้ว่าเป็นรูปแบบเชิงซ้อน g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์เชิงซ้อน:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "= = 2 · ก. 2 - 1 (x) + 3 · ก. "(x) + 0 = 2 ก. (x) + 3 · 1 · ก. 1 - 1 (x) = = 2 ก. (x) + 3 = 2 tgx + 3; g "(x) = (tgx)" = 1 cos 2 x ⇒ y "= (f (g (x)))" = f "(g (x)) g" (x) = (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x = 2 tgx + 3 cos 2 x

ฟังก์ชันของรูปแบบ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 นั้นไม่ยาก เนื่องจากมีผลรวมของ t g x 2, 3 t g x และ 1 อย่างไรก็ตาม t g x 2 ถือเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันกำลังของรูปแบบ g (x) = x 2 และ f ซึ่งเป็นฟังก์ชันของแทนเจนต์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแยกความแตกต่างตามปริมาณ เราได้รับสิ่งนั้น

y "= (tgx 2 + 3 tgx + 1)" = (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "= = (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 = (tgx 2)" + 3 cos 2 x

เราดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (tan (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (tgx 2) "= f" (g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

เราได้ y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) "+ 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถรวมอยู่ในฟังก์ชันที่ซับซ้อน และฟังก์ชันที่ซับซ้อนเองก็สามารถเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อนของรูปแบบ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

ฟังก์ชันนี้สามารถแสดงได้ในรูปแบบ y = f (g (x)) โดยที่ค่าของ f คือฟังก์ชันของลอการิทึมถึงฐาน 3 และ g (x) ถือเป็นผลรวมของฟังก์ชันสองฟังก์ชันของรูปแบบ h ( x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 และ k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) แน่นอน y = f (h (x) + k (x))

พิจารณาฟังก์ชัน h (x) นี่คืออัตราส่วน l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ถึง m (x) = e x 2 + 3 3

เรามีว่า l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) คือผลรวมของสองฟังก์ชัน n (x) = x 2 + 7 และ p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) โดยที่ p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข 3 และ p 1 เป็นฟังก์ชันคิวบิง , p 2 เป็นฟังก์ชันโคไซน์, p 3 (x) = 2 x + 1 - ฟังก์ชันเชิงเส้น

เราได้ m (x) = อดีต 2 + 3 3 = q (x) + r (x) คือผลรวมของสองฟังก์ชัน q (x) = อดีต 2 และ r (x) = 3 3 โดยที่ q (x) = q 1 (q 2 (x)) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน q 1 คือฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง q 2 (x) = x 2 คือฟังก์ชันกำลัง

นี่แสดงว่า h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

ส่งผ่านไปยังนิพจน์ของรูปแบบ k (x) = ln 2 x s 2 (x)) ด้วยจำนวนเต็มตรรกยะ t (x) = x 2 + 1 โดยที่ s 1 คือฟังก์ชันกำลังสอง และ s 2 (x) = ln x เป็นลอการิทึมที่มีฐาน e

ตามด้วยนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x)

แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

y = บันทึก 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 อดีต 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ตามโครงสร้างฟังก์ชัน จะเห็นได้ชัดว่าควรใช้สูตรใดในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเมื่อสร้างความแตกต่าง ในการทำความคุ้นเคยกับปัญหาดังกล่าวและสำหรับแนวคิดของการแก้ปัญหานั้น จำเป็นต้องเปลี่ยนไปยังจุดที่สร้างความแตกต่างของฟังก์ชัน นั่นคือ การหาอนุพันธ์ของมัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter