จะทำอย่างไรถ้าตัวส่วนเป็นรูท วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วน คำตอบของสมการที่มีเศษส่วน การประยุกต์ใช้วิธีการแปลงต่างๆ อย่างสม่ำเสมอ
เมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว คำถามว่าจะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนได้อย่างไรนั้นสำคัญมาก บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายการดำเนินการนี้พร้อมตัวอย่างงานเฉพาะ ในย่อหน้าแรก เราจะพิจารณากฎพื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงนี้ และในตัวอย่างที่สอง โดยทั่วไปพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด
แนวคิดของการปลดปล่อยจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน
เริ่มจากคำอธิบายว่าความหมายทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวคืออะไร ในการดำเนินการนี้ โปรดจำข้อกำหนดต่อไปนี้
เราสามารถพูดถึงความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนได้หากมีเครื่องหมายกรณฑ์อยู่ที่นั่น ซึ่งก็คือเครื่องหมายรูตด้วย ตัวเลขที่เขียนด้วยเครื่องหมายดังกล่าวมักจะไม่มีเหตุผล ตัวอย่างจะเป็น 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 x y + 1, 11 7 - 5 เศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่ลงตัวยังรวมถึงเศษที่มีเครื่องหมายของรากหลายองศา (สี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ) อยู่ตรงนั้น เช่น 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y เพื่อกำจัดความไร้เหตุผลควรทำเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์และอำนวยความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม มากำหนดคำจำกัดความหลักกัน:
คำจำกัดความ 1
กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน- หมายถึงการแปลงโดยแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันซึ่งตัวส่วนไม่มีรากและองศา
การกระทำนี้อาจเรียกได้ว่าเป็นการปลดปล่อยหรือขจัดความไร้เหตุผลออกไป ในขณะที่ความหมายยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นการเปลี่ยนจาก 1 2 เป็น 2 2 คือ เป็นเศษส่วนที่มีค่าเท่ากันโดยไม่มีเครื่องหมายรูทในตัวส่วนและจะเป็นการกระทำที่เราต้องการ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: เรามีเศษส่วน x x - y ให้เราดำเนินการแปลงที่จำเป็นและรับเศษส่วนที่เท่ากัน x x + y x - y ปลดปล่อยตัวเราจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน
หลังจากกำหนดคำจำกัดความแล้ว เราสามารถดำเนินการโดยตรงเพื่อศึกษาลำดับของการกระทำที่ต้องทำสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว
ขั้นตอนพื้นฐานในการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน
ในการกำจัดราก คุณต้องทำการแปลงเศษส่วนสองครั้งติดต่อกัน: คูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วแปลงนิพจน์ที่ได้รับในตัวส่วน พิจารณากรณีหลัก
ในกรณีที่ง่ายที่สุด คุณสามารถผ่านการเปลี่ยนแปลงตัวส่วนได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถนำเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากับรากของ 9 เมื่อคำนวณได้ 9 เราจะเขียน 3 เป็นตัวส่วนและกำจัดความไร้เหตุผลออกไป
อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนดังกล่าวก่อน ซึ่งจะทำให้คุณสามารถนำตัวส่วนไปยังรูปแบบที่ต้องการได้ (ไม่มีราก) ดังนั้น ถ้าเราคูณ 1 x + 1 ด้วย x + 1 เราจะได้เศษส่วน x + 1 x + 1 x + 1 และสามารถแทนที่นิพจน์ในตัวส่วนด้วย x + 1 เราก็เลยเปลี่ยน 1 x + 1 เป็น x + 1 x + 1 เพื่อกำจัดความไร้เหตุผล
บางครั้งการเปลี่ยนแปลงที่คุณต้องดำเนินการนั้นค่อนข้างเฉพาะเจาะจง ลองดูตัวอย่างประกอบบางส่วน
วิธีแปลงนิพจน์เป็นตัวส่วนของเศษส่วน
ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการแปลงตัวส่วน
ตัวอย่างที่ 1
สภาพ:ปลดปล่อยเศษส่วน 1 2 · 18 + 50 จากความไร้เหตุผลในตัวส่วน
สารละลาย
ขั้นแรก ให้เปิดวงเล็บและรับนิพจน์ 1 2 · 18 + 2 · 50 ใช้คุณสมบัติพื้นฐานของราก เราจะเปลี่ยนเป็นนิพจน์ 1 2 · 18 + 2 · 50 เราคำนวณค่าของทั้งสองนิพจน์ภายใต้รูทและรับ 1 36 + 100 ที่นี่คุณสามารถแยกรากได้แล้ว เป็นผลให้เราได้เศษส่วน 1 6 + 10 เท่ากับ 1 16 นี่คือจุดที่สามารถแปลงร่างได้
ลองเขียนแนวทางการแก้ปัญหาทั้งหมดโดยไม่มีความคิดเห็น:
1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16
ตอบ: 1 2 18 + 50 = 1 16.
ตัวอย่าง 2
สภาพ:ให้เศษส่วน 7 - x (x + 1) 2 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน
สารละลาย
ก่อนหน้านี้ในบทความเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวโดยใช้คุณสมบัติของรูต เรากล่าวว่าสำหรับ A และแม้แต่ n ใดๆ เราสามารถแทนที่นิพจน์ A n n ด้วย | A | ตลอดช่วงค่าที่ถูกต้องของตัวแปร ดังนั้น ในกรณีของเรา เราสามารถเขียนได้ดังนี้: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 ด้วยวิธีนี้ เราขจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน
ตอบ: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1
ขจัดความไร้เหตุผลด้วยการคูณด้วยราก
หากตัวส่วนของเศษส่วนมีนิพจน์ของรูปแบบ A และนิพจน์ A นั้นไม่มีเครื่องหมายรูท เราก็สามารถกำจัดความอตรรกยะได้โดยการคูณทั้งสองข้างของเศษส่วนเดิมด้วย A ความเป็นไปได้ของการดำเนินการนี้พิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่า A ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะไม่หายไป หลังจากการคูณ ตัวส่วนจะมีนิพจน์ของรูปแบบ A · A ซึ่งง่ายต่อการกำจัดราก: A · A = A 2 = A เรามาดูวิธีการใช้วิธีนี้อย่างถูกต้องในทางปฏิบัติ
ตัวอย่างที่ 3
สภาพ:เศษส่วนที่ให้ x 3 และ - 1 x 2 + y - 4 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวหาร
สารละลาย
ลองคูณเศษส่วนแรกด้วยรากที่สองของ 3 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3
ในกรณีที่สอง เราจำเป็นต้องคูณด้วย x 2 + y - 4 และแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ในตัวส่วน:
1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4
ตอบ: x 3 = x 3 3 และ - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4
อย่างไรก็ตาม หากตัวส่วนของเศษส่วนเดิมประกอบด้วยนิพจน์ในรูปแบบ A nm หรือ A mn (สมมติว่า m และ n เป็นธรรมชาติ) เราจำเป็นต้องเลือกตัวประกอบเพื่อให้สามารถแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็น A nn k หรือ A n kn (สำหรับธรรมชาติ k) ... หลังจากนั้นการกำจัดความไร้เหตุผลจะไม่ใช่เรื่องยาก มาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 4
สภาพ:ให้เศษส่วน 7 6 3 5 และ x x 2 + 1 4 15 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน
สารละลาย
เราต้องใช้จำนวนธรรมชาติที่สามารถหารด้วยห้าในขณะที่ต้องมากกว่าสาม ในการทำให้เลขชี้กำลัง 6 กลายเป็น 5 เราต้องคูณด้วย 6 2 5 ดังนั้น เราจะต้องคูณเศษส่วนเดิมทั้งสองข้างด้วย 6 2 5:
7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6
ในกรณีที่สอง เราต้องการตัวเลขที่มากกว่า 15 ซึ่งสามารถหารด้วย 4 โดยไม่มีเศษเหลือ เราเอา 16 เพื่อให้ได้เลขชี้กำลังในตัวส่วน เราต้องใช้ x 2 + 1 4 เป็นตัวประกอบ ขอชี้แจงว่าค่าของนิพจน์นี้จะไม่เป็น 0 ในทุกกรณี เราคำนวณ:
xx 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = xx 2 + 1 4 x 2 + 1 4
ตอบ: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 และ x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4
กำจัดความไร้เหตุผลโดยการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต
วิธีต่อไปนี้เหมาะสำหรับกรณีที่ตัวส่วนของเศษส่วนเดิมประกอบด้วยนิพจน์ a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b ในกรณีเช่นนี้ เราจำเป็นต้องใช้นิพจน์ที่อยู่ติดกันเป็นปัจจัย ให้เราอธิบายความหมายของแนวคิดนี้
สำหรับนิพจน์แรก a + b จะเป็นคอนจูเกต a - b สำหรับนิพจน์ที่สอง a - b - a + b สำหรับ a + b - a - b สำหรับ a - b - a + b สำหรับ a + b - a - b และสำหรับ a - b - a + b กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์คอนจูเกตคือนิพจน์ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามอยู่หน้าเทอมที่สอง
เรามาดูกันว่าวิธีนี้คืออะไรกันแน่ สมมุติว่าเราได้ผลคูณในรูปแบบ a - b a + b มันสามารถถูกแทนที่ด้วยผลต่างของกำลังสอง a - b · a + b = a 2 - b 2 หลังจากนั้นเราเปลี่ยนเป็นนิพจน์ a - b ไร้อนุมูล ดังนั้นเราจึงกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนด้วยการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต ลองมาดูตัวอย่างประกอบกัน
ตัวอย่างที่ 5
สภาพ:กำจัดความไร้เหตุผลในนิพจน์ 3 7 - 3 และ x - 5 - 2
สารละลาย
ในกรณีแรก เราใช้นิพจน์คอนจูเกตเท่ากับ 7 + 3 ตอนนี้เราคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนเดิมด้วย:
3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2
ในกรณีที่สอง เราต้องการนิพจน์ - 5 + 2 ซึ่งเป็นคอนจูเกตของนิพจน์ - 5 - 2 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยมันแล้วได้:
x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3
การแปลงค่าก่อนการคูณสามารถทำได้เช่นกัน ถ้าเราเอาลบออกจากตัวส่วนก่อน จะสะดวกกว่าที่จะนับ:
x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3
ตอบ: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 และ x - 5 - 2 = x 2 - 5 3
สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่านิพจน์ที่ได้รับจากการคูณจะไม่หายไปสำหรับตัวแปรใด ๆ จากช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับนิพจน์นี้
ตัวอย่างที่ 6
สภาพ:ให้เศษส่วน x x + 4 แปลงเพื่อให้ไม่มีนิพจน์ที่ไม่ลงตัวในตัวส่วน
สารละลาย
เริ่มต้นด้วยการหาช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับตัวแปร x ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข x ≥ 0 และ x + 4 ≠ 0 จากพวกเขาเราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ที่ต้องการคือเซต x ≥ 0
นิพจน์คอนจูเกตกับตัวส่วนคือ x - 4 เราจะคูณมันได้เมื่อไหร่? เฉพาะในกรณีที่ x - 4 ≠ 0 ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ค่านี้จะเท่ากับเงื่อนไข x ≠ 16 เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16
ถ้า x เป็น 16 เราก็จะได้:
x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2
ดังนั้น x x + 4 = x x - 4 x - 16 สำหรับค่าทั้งหมดของ x ในช่วงค่าที่ถูกต้อง ยกเว้น 16 สำหรับ x = 16 เราจะได้ x x + 4 = 2
ตอบ: x x + 4 = x x - 4 x - 16, x ∈ [0, 16) ∪ (16, + ∞) 2, x = 16
แปลงเศษส่วนอตรรกยะโดยใช้ผลรวมลูกบาศก์และสูตรผลต่าง
ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราทำการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต จากนั้นจึงใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง บางครั้ง เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน ควรใช้สูตรคูณแบบย่ออื่นๆ เช่น ผลต่างของลูกบาศก์ a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + a b + b 2)... สูตรนี้สะดวกที่จะใช้หากตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ที่มีรากของดีกรีที่สามของรูปแบบ A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ฯลฯ ในการนำไปใช้ เราต้องคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 หรือผลต่าง A 3 - B 3 ในทำนองเดียวกันคุณสามารถใช้สูตรผลรวม a 3 + b 3 = (a) (a 2 - a b + b 2).
ตัวอย่าง 7
สภาพ:แปลงเศษส่วน 1 7 3 - 2 3 และ 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 เพื่อขจัดความไม่มีเหตุผลในตัวส่วน
สารละลาย
สำหรับเศษส่วนแรก เราต้องใช้วิธีการคูณทั้งสองส่วนด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมของ 7 3 และ 2 3 เพราะจากนั้นเราสามารถทำการแปลงโดยใช้สูตรสำหรับผลต่างของลูกบาศก์:
1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5
ในเศษส่วนที่สอง แทนตัวส่วนเป็น 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 นิพจน์นี้แสดงกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างระหว่าง 2 และ x 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถคูณทั้งสองข้างของเศษส่วนด้วยผลรวมของ 2 + x 3 และใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ สำหรับสิ่งนี้ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข 2 + x 3 ≠ 0 ซึ่งเทียบเท่ากับ x 3 ≠ - 2 และ x ≠ - 8:
3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x
แทนที่ 8 เป็นเศษส่วนแล้วหาค่า:
3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4
มาสรุปกัน สำหรับ x ทั้งหมดที่รวมอยู่ในช่วงของค่าของเศษส่วนดั้งเดิม (เซต R) ยกเว้น - 8 เราจะได้ 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x ถ้า x = 8 แล้ว 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4
ตอบ: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8
การประยุกต์ใช้วิธีการแปลงต่างๆ อย่างสม่ำเสมอ
ในทางปฏิบัติ บ่อยครั้ง มีตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อเราไม่สามารถกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนโดยใช้วิธีเดียวได้ สำหรับพวกเขา คุณต้องทำการแปลงหลายครั้งตามลำดับหรือเลือกโซลูชันที่ไม่ได้มาตรฐาน ลองมาดูปัญหาดังกล่าวกัน
ตัวอย่าง N
สภาพ:แปลง 5 7 4 - 2 4 เพื่อกำจัดเครื่องหมายรูตในตัวส่วน
สารละลาย
ลองคูณทั้งสองข้างของเศษส่วนเดิมด้วยนิพจน์คอนจูเกต 7 4 + 2 4 ด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2
ทีนี้มาใช้วิธีเดิมกันอีกครั้ง:
5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2
ตอบ: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter
Danny Perich Campana
หนังสือที่น่าสนใจอีกเล่มสำหรับเด็กนักเรียนที่สนใจ แต่น่าเสียดายที่ไม่ได้แปลเป็นภาษารัสเซียคือหนังสือ "The Mathematical Adventures of Daniel" (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) โดยครูคณิตศาสตร์ชาวชิลี Danny Perich Campana บุคคลที่พิเศษและน่าสนใจมาก .. . เขาไม่เพียงแต่สอนเด็กๆ เท่านั้น แต่ยังเขียนเพลง อัปโหลดสื่อการสอนต่างๆ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ไปยังอินเทอร์เน็ต สามารถพบได้ใน youtube และที่ http://www.sectormatematica.cl/ (แน่นอนว่าเนื้อหาทั้งหมดเป็นภาษาสเปน)
ที่นี่ฉันกำลังเผยแพร่บทหนึ่งจากหนังสือของ Danny Perich สำหรับฉันดูเหมือนว่าค่อนข้างน่าสนใจและมีประโยชน์สำหรับเด็กนักเรียน เพื่อให้ชัดเจนว่าอะไรคือความเสี่ยง ฉันจะบอกว่าแดเนียลและคามิลาทำงานที่โรงเรียน พวกเขาเป็นครู
เคล็ดลับกำจัดความไร้เหตุผล
- คามิลา ตอนนี้ฉันมีปัญหามากมายเมื่อพยายามอธิบายว่าเหตุใดจึงใช้สิ่งที่เราผ่านในบทเรียน - แดเนียลกล่าว
“ฉันไม่เข้าใจที่คุณพูดจริงๆ”
- ฉันหมายถึงสิ่งที่อยู่ในหนังสือเรียนทุกเล่มและแม้แต่หนังสือระดับมหาวิทยาลัย ฉันยังไม่ต้องสงสัยเลย: ทำไมเราต้องกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน? และฉันเกลียดที่จะบอกว่าฉันไม่เข้าใจมานานแล้ว” แดเนียลบ่น
- ฉันไม่รู้ว่ามันมาจากไหนและทำไมจึงจำเป็น แต่ต้องมีคำอธิบายที่สมเหตุสมผลสำหรับสิ่งนี้
- เมื่อฉันอ่านในวารสารทางวิทยาศาสตร์ว่าการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำมากขึ้น แต่ฉันไม่เคยเจอสิ่งนี้อีกเลยและไม่แน่ใจว่าเป็นกรณีนี้หรือไม่
- ทำไมเราไม่ลองดูล่ะ? - ถามคามิลล่า
“คุณพูดถูก” แดเนียลเห็นด้วย - แทนที่จะบ่น คุณควรพยายามหาข้อสรุปของคุณเอง แล้วช่วยฉัน ...
- แน่นอนตอนนี้ฉันสนใจมันด้วยตัวเอง
- เราต้องใช้นิพจน์บางอย่างและกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน จากนั้นแทนที่รูทด้วยค่าของมันและค้นหาผลลัพธ์ของนิพจน์ก่อนที่จะกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนและหลังจากนั้นและดูว่ามีอะไรเปลี่ยนแปลงหรือไม่
“แน่นอน” คามิลล่าเห็นด้วย - มาทำกัน
“ยกตัวอย่างเช่น” แดเนียลพูดและหยิบกระดาษแผ่นหนึ่งเขียนว่าเกิดอะไรขึ้น - ลองคูณทั้งเศษและส่วนด้วยและรับ
“มันจะถูกต้องและสามารถช่วยให้เราสรุปได้ถ้าเราพิจารณาการแสดงออกที่ไม่ลงตัวอื่น ๆ เท่ากับสิ่งนี้” คามิลาแนะนำ
- ฉันเห็นด้วย - แดเนียลพูด - ฉันจะหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย แล้วคูณด้วย
- ฉันจัดการ และคุณมี?
“ฉันมี” แดเนียลตอบ - ตอนนี้ มาคำนวณนิพจน์ดั้งเดิมและนิพจน์ที่ได้รับ แทนที่ด้วยค่าด้วยตำแหน่งทศนิยมทั้งหมดที่เครื่องคิดเลขให้มา เราได้รับ:
“ฉันไม่เห็นอะไรพิเศษเลย” คามิลากล่าว - ฉันคาดหวังความแตกต่างบางอย่างที่จะช่วยขจัดความไร้เหตุผล
- อย่างที่ฉันบอกคุณไปแล้ว ครั้งหนึ่งฉันเคยอ่านเรื่องนี้เกี่ยวกับแนวทางปฏิบัติ คุณจะว่าอย่างไรหากเราแทนที่ด้วยตัวเลขที่แม่นยำน้อยกว่า เช่น โดย?
- เราลองดูว่าเกิดอะไรขึ้น
พิจารณาปัญหาจากพีชคณิตของพหุนาม
งาน 4.1
ให้ a เป็นรากของพหุนาม x 3 + 6x - 3 เราต้องกำจัดความไร้เหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิตในตัวส่วนของเศษส่วน
เหล่านั้น. แทนเศษส่วนเป็นพหุนามใน a ที่มีตรรกยะ
ค่าสัมประสิทธิ์
สารละลาย.ตัวส่วนของเศษส่วนคือค่าจาก เอพหุนาม แก้ไข) = x 2 + 5 และพหุนามน้อยที่สุดขององค์ประกอบพีชคณิต เอคือ f (x) = x 3 + 6x- 3,เนื่องจากพหุนามนี้ไม่สามารถลดลงได้บนสนาม Q (ตามเกณฑ์ไอเซนสไตน์สำหรับจำนวนเฉพาะ p = 3) ค้นหา NODO 3 + 6x - 3, x 2 + 5) sโดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid:
มาสรุปสถานการณ์และพิจารณาปัญหาทั่วไปกัน
ปัญหาของการหลุดพ้นจากความไร้เหตุผลเชิงพีชคณิตในตัวส่วนของเศษส่วน
ให้ a เป็นความไร้เหตุผลเชิงพีชคณิตเหนือสนาม P ที่มีค่าน้อยที่สุด
, . „ ก ก ก ก ก ก ก _ ก ก ~ ล-f-. + เอไอเอ + อู๋
พหุนาม ФОО และ В = - - 1
B t a t +bro-ioc "1 - 1 + ... + bja +ข 0
โดยที่สัมประสิทธิ์ของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นของสนาม ร.กำจัดความไร้เหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิตในตัวส่วนของเศษส่วนออกไป นั่นคือ เป็นตัวแทน (3 ในแบบฟอร์ม
โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นของสนาม ร.
สารละลาย.เราแสดงว่า /) *) = b nl x "+ b m _ 1 x nl_1 + ... + ข) x + ข 0และ y = / (a) ตั้งแต่มี ^ 0 จากนั้นโดยคุณสมบัติของพหุนามขั้นต่ำสุด GCD (f (x), φ (x)) = 1 โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เราพบพหุนาม u (x) และ v (x) เช่นนั้น f (x) และ(x) + φ (x) y (x) = 1 ดังนั้นใช่) และ (ก) +φ (a) y (a) = 1 และเนื่องจาก φ (a) = 0 แล้วใช่) และ (a) = 1 ดังนั้น การคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดด้วย μ (a) เราจึงได้เอกภาพ ในตัวส่วนและปัญหาได้รับการแก้ไข
โปรดทราบว่าวิธีการทั่วไปในการกำจัดความไม่มีเหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิตในตัวส่วนของเศษส่วนในกรณีของความซับซ้อน เอ + ส
ตัวเลข-นำไปสู่ขั้นตอนที่รู้จักกันดีสำหรับการคูณตัวเลข
ตัวส่วนและตัวส่วนโดยคอนจูเกตของตัวส่วน
ทัศนศึกษาเชิงประวัติศาสตร์
เป็นครั้งแรกที่มีการมีอยู่ของตัวเลขที่อยู่เหนือสนาม Q โดย J. Liouville (1809-1882) ในงานของ 1844 และ 1851 หนึ่งในตัวเลขที่ยอดเยี่ยมของ Liouville คือตัวเลข
ส. ฤาษี (1822-
ก = ย--. รายการทศนิยม = 0D100010 ..
cl 10*
1901) พิสูจน์การอยู่เหนือของจำนวน e ในปี 1873 และ K.F. Lindeman (1852-1939) ได้รับการพิสูจน์ในปี 1882 การอยู่เหนือของจำนวน ป.ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะได้รับ ในเวลาเดียวกัน G. Cantor (1845-1918) ได้พิสูจน์อย่างง่าย ๆ ว่ามี “จำนวนที่เหนือธรรมชาติมากกว่า” มากว่าตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต: มีตัวเลขยอดเยี่ยม "มากพอ ๆ กับจำนวนจริงทั้งหมด ในขณะที่มีพีชคณิต "มากพอ" ตัวเลข. มีจำนวนธรรมชาติทั้งหมดกี่ตัว. แม่นยำยิ่งขึ้น ชุดของตัวเลขพีชคณิตนับได้ และชุดของจำนวนอนิจจังนับไม่ได้ การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ ทำให้เกิดการมีอยู่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติ ไม่ได้ให้สูตรสำหรับการได้มาซึ่งตัวเลขเหล่านี้ ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ประเภทนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ เพราะพวกเขาปลูกฝังความมั่นใจในความสำเร็จของการค้นหาวัตถุที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีอยู่จริง ในเวลาเดียวกัน มีทิศทางในวิชาคณิตศาสตร์ที่ตัวแทนไม่รู้จักทฤษฎีบทการดำรงอยู่บริสุทธิ์ เรียกพวกเขาว่าไม่สร้างสรรค์ ตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดคือ L. Kronecker และ J. Brouwer
ในปี 1900 ที่ World Congress of Mathematicians ในปารีส นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน D. Hilbert (1862-1943) ได้กำหนดปัญหาต่อไปนี้ 22: ลักษณะของจำนวน aP คืออะไร โดยที่ a และ (3 เป็นตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต a ^ 0 , ^ 1 และดีกรีของเลขพีชคณิต (3 ไม่น้อยกว่า 2? AO Gel'fond (1906-1968) พิสูจน์ว่าตัวเลขดังกล่าวเป็นอนิจจัง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวเลข 2 ^, 3 r เป็น ยอดเยี่ยม
การแปลงนิพจน์ที่มีรากที่สองทางคณิตศาสตร์
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: การสร้างเงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของทักษะ เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีรากที่สองของเลขคณิตในระหว่างการทำงานในทีมกะ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ตรวจสอบการฝึกอบรมเชิงทฤษฎีของนักเรียน ความสามารถในการแยกรากที่สองของตัวเลข สร้างทักษะในการถ่ายทอดความรู้และทักษะอย่างถูกต้อง พัฒนาทักษะการคำนวณ ให้ความรู้ความสามารถในการทำงานเป็นคู่ และรับผิดชอบต่อสาเหตุทั่วไป
ระหว่างเรียน.
ผม. เวลาจัด. "โต๊ะพร้อม"
แก้ไขระดับความพร้อมในการเริ่มบทเรียน
ไพ่สีแดง 25 ใบ (5 คะแนน) สีเหลือง (4 คะแนน) สีน้ำเงิน
สี (3 คะแนน)
ตารางความพร้อม
5 คะแนน (อยากรู้ ลงมือทำ ตัดสินใจ)
4 แต้ม (พร้อมลุย)
3 คะแนน (ฉันรู้สึกไม่ค่อยสบาย ไม่เข้าใจเนื้อหา ฉันต้องการความช่วยเหลือ)
II ... งานเดี่ยวบนการ์ด
การ์ด 1
ลบปัจจัยออกจากเครื่องหมายรูท:
การ์ด 2
ป้อนตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูท:
การ์ด 3
ลดความซับซ้อน:
ก)
ข)
วี)
(ตรวจหลังตรวจการบ้าน)
สาม ... ตรวจการบ้าน.
หมายเลข 166, 167 ปากเปล่า
(การประเมินตนเองโดยใช้การ์ดสัญญาณ: สีเขียว - ทุกอย่างถูกต้อง สีแดง - มีข้อผิดพลาด)
IV ... การเรียนรู้วัสดุใหม่ ทำงานเป็นทีมกะ
ศึกษาเนื้อหาด้วยตนเองเพื่อจะได้อธิบายให้สมาชิกกลุ่มทราบในภายหลัง ชั้นเรียนแบ่งออกเป็น 6 กลุ่ม กลุ่มละ 4 คน
1, 2 และ 3 กลุ่ม - นักเรียนที่มีความสามารถเฉลี่ย
จะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนได้อย่างไร? ลองพิจารณากรณีทั่วไปและตัวอย่างเฉพาะ
หากตัวเลขหรือนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ในตัวส่วนเป็นหนึ่งในปัจจัย ในการกำจัดความไม่มีเหตุผลในตัวส่วน ทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วยรากที่สองของตัวเลขหรือนิพจน์นี้:
ตัวอย่าง.
1) ;
2) .
กลุ่มที่ 4, 5 และ 6 - นักเรียนที่มีความสามารถสูงกว่าค่าเฉลี่ย
หากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นผลรวมหรือผลต่างของนิพจน์สองนิพจน์ที่มีรากที่สอง เพื่อกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เราจะคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยรากที่สองของคอนจูเกต:
ตัวอย่าง. กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน:
ทำงานเป็นกลุ่มใหม่ (4 กลุ่ม 6 คนจากแต่ละกลุ่ม 1 คน)
อธิบายเนื้อหาที่เรียนรู้แก่สมาชิกของกลุ่มใหม่ (ชื่นชมซึ่งกันและกัน - แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับคำอธิบายของนักเรียนเกี่ยวกับเนื้อหา)
วี ... การตรวจสอบการดูดซึมของวัสดุทางทฤษฎีนักเรียนที่ไม่อธิบายเนื้อหาเชิงทฤษฎีส่วนนี้ตอบคำถาม
1) จะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนได้อย่างไร ถ้าตัวเลขหรือนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ในตัวส่วนเป็นปัจจัยหนึ่ง?
2) วิธีกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน ถ้าตัวส่วนของเศษเป็นผลรวมหรือผลต่างของนิพจน์สองนิพจน์ที่มีรากที่สอง?
3) วิธีกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน
4) วิธีกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน
VI ... การรวมวัสดุที่ศึกษา ทดสอบการทำงานอิสระ
# 81 ("พีชคณิต" เกรด 8, A. Abylkassymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z, Zhumagulova)
หมายเลข 170 (1,2,3,5,6) ("พีชคณิต" เกรด 8, A. Shynybekov)
เกณฑ์การประเมิน:
ระดับ A - หมายเลข 81 ตัวอย่าง 1-5 เครื่องหมาย "3"
ระดับ B - หมายเลข 81 ตัวอย่าง 6-8 และหมายเลข 170 ตัวอย่าง 5,6 เครื่องหมาย "4"
ระดับ C - หมายเลข 170 ตัวอย่าง 1-6 เครื่องหมาย "5"
(การประเมินตนเอง ตรวจสอบกับตัวอย่างในฟลิปชาร์ต)
Vii ... การบ้าน.
№ 218
แปด. การสะท้อน. "โทรเลข"
ทุกคนได้รับเชิญให้กรอกแบบฟอร์มโทรเลขโดยได้รับคำแนะนำต่อไปนี้: “คุณคิดอย่างไรกับบทเรียนที่แล้ว? อะไรสำคัญสำหรับคุณ? คุณได้เรียนรู้อะไร คุณชอบอะไร? อะไรที่ยังไม่ชัดเจน? เราควรก้าวต่อไปในทิศทางใด? กรุณาเขียนข้อความสั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งนี้ - โทรเลข 11 คำ ฉันต้องการทราบความคิดเห็นของคุณเพื่อนำมาพิจารณาในการทำงานในอนาคต "
สรุปบทเรียน
อิสระจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน
2015-06-13
ผันนิพจน์อตรรกยะ
เมื่อแปลงนิพจน์พีชคณิตเศษส่วน ในตัวส่วนที่มีการเขียนนิพจน์ที่ไม่ลงตัว พวกเขามักจะพยายามแทนเศษส่วนเพื่อให้ตัวส่วนเป็นตรรกยะ หาก $ A, B, C, D, \ cdots $ เป็นนิพจน์พีชคณิต คุณสามารถระบุกฎซึ่งคุณสามารถกำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ในตัวส่วนของนิพจน์ของแบบฟอร์ม
$ \ frac (A) (\ sqrt [n] (B)), \ frac (A) (B + C \ sqrt (D)), \ frac (A) (\ sqrt (B) + c \ sqrt (D )), \ frac (A) (\ sqrt (B) \ pm \ sqrt (C)) $ เป็นต้น
ในกรณีทั้งหมดเหล่านี้ การปลดปล่อยจากความไร้เหตุผลทำได้โดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยปัจจัยที่เลือก เพื่อให้ผลคูณของตัวส่วนของเศษเป็นตรรกยะ
1) เพื่อกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนเช่น $ A / \ sqrt [n] (B) $ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $ \ sqrt [n] (B ^ (n-1)) $
$ \ frac (A) (\ sqrt [n] (B)) = \ frac (A \ sqrt [n] (B ^ (n-1))) (\ sqrt [n] (B) \ sqrt [n] (B ^ (n-1))) = \ frac (A \ sqrt [n] (B ^ (n-1))) (B) $
ตัวอย่างที่ 1 $ \ frac (4a ^ (2) b) (\ sqrt (2ac)) = \ frac (4a ^ (2) b \ sqrt (4a ^ (2) c ^ (2))) (2ac) = \ frac (2ab) (c) \ sqrt (4a ^ (2) c ^ (2)) $
สำหรับเศษส่วนของรูปแบบ $ \ frac (A) (B + C \ sqrt (D)), \ frac (A) (\ sqrt (B) + c \ sqrt (D)) $ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนอตรรกยะ ปัจจัย
$ B - C \ sqrt (D) $ หรือ $ \ sqrt (B) - c \ sqrt (D) $
ตามลำดับ นั่นคือ คอนจูเกตนิพจน์ที่ไม่ลงตัว
ความหมายของการกระทำสุดท้ายคือในตัวส่วน ผลคูณของผลรวมโดยผลต่างจะถูกแปลงเป็นผลต่างของกำลังสอง ซึ่งจะเป็นนิพจน์ตรรกยะ
ตัวอย่างที่ 2 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของนิพจน์:
ก) $ \ frac (xy) (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) + x) $; b) $ \ frac (2) (\ sqrt (5) - \ sqrt (3)) $
สารละลาย, ก) คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย
นิพจน์ $ \ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) - x $ เราได้รับ (โดยมีเงื่อนไขว่า $ y \ neq 0 $)
$ \ frac (xy) (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) + x) = \ frac (xy (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) - x)) ((x ^ (2) + y ^ (2)) - x ^ (2)) = \ frac (x) (y) (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) - x) $ ;
b) $ \ frac (2) (\ sqrt (5) - \ sqrt (3)) = \ frac (2 (\ sqrt (5) + \ sqrt (3))) (5 - 3) = \ sqrt (5 ) + \ sqrt (3) $.
3) ในกรณีของนิพจน์เช่น
$ \ frac (A) (B \ pm C \ sqrt (D)), \ frac (A) (\ sqrt (B) \ pm C \ sqrt (D)) $
ตัวส่วนถือเป็นผลรวม (ผลต่าง) และคูณด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง (ผลรวม) เพื่อให้ได้ผลรวม (ผลต่าง) ของลูกบาศก์ ตัวเศษคูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน
ตัวอย่างที่ 3 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของนิพจน์:
ก) $ \ frac (3) (\ sqrt (5) + 1) $; b) $ \ frac (1) (\ sqrt (a) - 2 \ sqrt (b)) $
วิธีแก้ปัญหา ก) พิจารณาตัวส่วนของเศษส่วนเป็นผลรวมของตัวเลข $ \ sqrt (5) $ และ $ 1 $ เราคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้:
$ \ frac (3) (\ sqrt (5) + 1) = \ frac (3 (\ sqrt (5 ^ (2)) - \ sqrt (5) +1)) ((\ sqrt (5) + 1) (\ sqrt (5 ^ (2)) - \ sqrt (5) + 1)) = \ frac (3 (\ sqrt (25) - \ sqrt (5) + 1)) ((\ sqrt (5)) ^ (3) +1) $,
หรือในที่สุด:
$ \ frac (3) (\ sqrt (5) + 1) = \ frac (3 (\ sqrt (25) - \ sqrt (5) + 1)) (6) = \ frac (\ sqrt (25) - \ sqrt (5) + 1) (2) $
b) $ \ frac (1) (\ sqrt (a) - 2 \ sqrt (b)) = \ frac (\ sqrt (a ^ (2)) + 2 \ sqrt (ab) + 4 \ sqrt (b ^ ( 2))) ((\ sqrt (a)) ^ (3) - (2 \ sqrt (b)) ^ (3)) = \ frac (\ sqrt (a ^ (2)) + 2 \ sqrt (ab) + 4 \ sqrt (b ^ (2))) (a-8b) $.
ในบางกรณี จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงในลักษณะตรงกันข้าม: เพื่อปลดปล่อยเศษส่วนจากความไร้เหตุผลในตัวเศษ จะดำเนินการในลักษณะเดียวกันทุกประการ
ตัวอย่างที่ 4 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวเศษ $ \ frac (\ sqrt (a + b) - \ sqrt (a-b)) (2b) $
สารละลาย. $ \ frac (\ sqrt (a + b) - \ sqrt (ab)) (2b) = \ frac ((a + b) - (ab)) (2b (\ sqrt (a + b) + \ sqrt (ab) ))) = \ frac (1) (\ sqrt (a + b) + \ sqrt (ab)) $
