สารละลายเราดำเนินการโดยใช้เครื่องคิดเลข
พิกัดของสามเหลี่ยมจะได้รับ: A (2,1), B (1, -2), C (-1,0)
1) พิกัดเวกเตอร์
เราพบพิกัดของเวกเตอร์ตามสูตร:
X = x j - x ผม; Y = y j - y ฉัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB (-1; -3)
เอซี (-3; -1)
ปีก่อนคริสตกาล (-2; 2)
2) โมดูลของเวกเตอร์

3) มุมระหว่างเส้นตรง
มุมระหว่างเวกเตอร์ a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) สามารถพบได้โดยสูตร:

โดยที่ 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
หามุมระหว่างด้าน AB กับ AC

γ = arccos (0.6) = 53.13 0
4) การฉายภาพเวกเตอร์
การฉายภาพเวกเตอร์ ขต่อเวกเตอร์ เอสามารถพบได้โดยสูตร:

หาเส้นโครงของเวกเตอร์ AB ลงบนเวกเตอร์ AC

5) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม



สารละลาย


โดยสูตรที่เราได้รับ:

6) การแบ่งส่วนในส่วนนี้
เวกเตอร์รัศมี r ของจุด A หารเซ็กเมนต์ AB ในอัตราส่วน AA: AB = m 1: m 2 ถูกกำหนดโดยสูตร:

พิกัดของจุด A หาได้จากสูตร:




สมการมัธยฐานสามเหลี่ยม
ให้เราระบุจุดกึ่งกลางของด้าน BC ด้วยตัวอักษร M จากนั้นหาพิกัดของจุด M ได้จากสูตรการแบ่งส่วนครึ่งหนึ่ง


ม (0; -1)
เราหาสมการมัธยฐาน AM โดยใช้สูตรสำหรับสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ค่ามัธยฐาน AM ผ่านจุด A (2; 1) และ M (0; -1) ดังนั้น:

หรือ

หรือ
y = x -1 หรือ y -x +1 = 0
7) สมการของเส้นตรง


สมการเส้นตรง AB

หรือ

หรือ
y = 3x -5 หรือ y -3x +5 = 0
สมการเส้นตรง AC

หรือ

หรือ
y = 1/3 x + 1/3 หรือ 3y -x - 1 = 0
สมการของเส้น BC

หรือ

หรือ
y = -x -1 หรือ y + x +1 = 0
8) ความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมที่ดึงมาจากจุดยอด A
ระยะทาง d จากจุด M 1 (x 1; y 1) ถึงเส้นตรง Axe + By + C = 0 เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของปริมาณ:

จงหาระยะห่างระหว่างจุด A (2; 1) และเส้น BC (y + x +1 = 0)

9) สมการความสูงผ่านจุดยอด C
เส้นตรงที่ผ่านจุด M 0 (x 0; y 0) และตั้งฉากกับเส้นตรง Axe + By + C = 0 มีเวกเตอร์ทิศทาง (A; B) ดังนั้นจึงแสดงด้วยสมการดังนี้


สมการนี้สามารถหาได้อีกทางหนึ่ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพบความชัน k 1 ของเส้นตรง AB
สมการ AB: y = 3x -5 นั่นคือ k 1 = 3
ลองหาความชัน k ของเส้นตั้งฉากจากเงื่อนไขความชันของเส้นตรงสองเส้น: k 1 * k = -1
แทนที่ k 1 ความชันของเส้นตรงนี้ เราจะได้:
3k = -1 ดังนั้น k = -1 / 3
เนื่องจากเส้นตั้งฉากผ่านจุด C (-1,0) และมี k = -1 / 3 เราจะมองหาสมการของมันในรูปแบบ: y-y 0 = k (x-x 0)
แทนที่ x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0 เราได้รับ:
y-0 = -1 / 3 (x - (- 1))
หรือ
y = -1 / 3 x - 1/3
สมการของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม
ให้เราหาเส้นแบ่งครึ่งของมุม A จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งกับด้าน BC จะแสดงด้วย M
ลองใช้สูตร:

สมการ AB: y -3x +5 = 0, สมการ AC: 3y -x - 1 = 0

^ ก ≈ 53 0
แบ่งครึ่งมุมหารครึ่ง ดังนั้นมุม NAK ≈ 26.5 0
แทนเจนต์ของมุมลาดเอียง AB คือ 3 (เนื่องจาก y -3x +5 = 0) มุมเอียง 72
^ NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg (45.5 0) = 1
แบ่งครึ่งผ่านจุด A (2,1) โดยใช้สูตร เราได้:
y - y 0 = k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
หรือ
y = x -1
ดาวน์โหลด

ตัวอย่าง... พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC ได้รับ: A (–3; –1), B (4; 6), C (8; –2)
บังคับ: 1) คำนวณความยาวของด้านเครื่องบิน; 2) วาดสมการด้านเครื่องบิน 3) หามุมด้านในของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B; 4) วาดสมการความสูงของ AK ดึงจาก A ด้านบน 5) ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นเนื้อเดียวกัน (จุดตัดของค่ามัธยฐาน) 6) สร้างภาพวาดในระบบพิกัด

ออกกำลังกาย... พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC ได้รับ: A (7; 4), B (-9; -8), C (-2; 16) ที่จำเป็น:

1. หาค่ามัธยฐานจากจุดยอด B แล้วคำนวณความยาว
2. เทียบความสูงจากจุดยอด A แล้วคำนวณความยาว
3. หาโคไซน์ของมุมภายใน B ของสามเหลี่ยม ABC

ตัวอย่างที่ 3... คุณจะได้รับจุดยอด A (1; 1), B (7; 4), C (4; 5) ของสามเหลี่ยม ค้นหา: 1) ความยาวของด้าน AB; 2) มุมภายใน A ในหน่วยเรเดียนแม่นยำถึง 0.001 วาดรูป.
ดาวน์โหลด

ตัวอย่างที่ 4... คุณจะได้รับจุดยอด A (1; 1), B (7; 4), C (4; 5) ของสามเหลี่ยม ค้นหา: 1) สมการของความสูงที่ลากผ่านจุดยอด C; 2) สมการของค่ามัธยฐานที่ลากผ่านจุดยอด C; 3) จุดตัดของความสูงของสามเหลี่ยม; 4) ความยาวของความสูงลดลงจากจุดยอด C. วาดรูป
ดาวน์โหลด

ตัวอย่างที่ 5... จุดยอดของสามเหลี่ยม ABC ถูกกำหนด: A (-5; 0), B (7; -9), C (11; 13) กำหนด: 1) ความยาวของด้าน AB; 2) สมการของด้าน AB และ AC และความชัน 3) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

พิกัดของเวกเตอร์หาได้จากสูตร: X = x j - x i; Y = y j - y ฉัน
ที่นี่ พิกัด X, Yเวกเตอร์; x i, y i - พิกัดของจุด A i; x j, y j - พิกัดของจุด А j
ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ AB
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7 - (- 5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB (12; -9), AC (16; 13), BC (4; 22)

ออกกำลังกาย... พิกัดของจุดยอดของพีระมิด ABCD ที่จำเป็น:

1. เขียนเวกเตอร์ในระบบ ort และหาโมดูลของเวกเตอร์เหล่านี้
2. หามุมระหว่างเวกเตอร์
3. หาการฉายภาพของเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์
4. หาพื้นที่ของใบหน้า ABC
5. หาปริมาตรของพีระมิด ABCD

ออกกำลังกาย... หามุมแหลมระหว่างเส้น x + y -5 = 0 และ x + 4y - 8 = 0
คำแนะนำสำหรับการแก้ปัญหา... งานได้รับการแก้ไขโดยใช้มุมบริการระหว่างเส้นตรงสองเส้น
ตอบ: 30.96 o

ตัวอย่าง # 1... พิกัดของจุด A1 (1; 0; 2), A2 (2; 1; 1), A3 (-1; 2; 0), A4 (-2; -1; -1) จงหาความยาวของขอบ A1A2 เทียบขอบ A1A4 และหน้า A1A2A3 วาดสมการความสูงที่ลดลงจากจุด A4 ถึงระนาบ A1A2A3 หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม A1A2A3 จงหาปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยม A1A2A3A4

พิกัดของเวกเตอร์หาได้จากสูตร: X = x j - x i; Y = y j - y ผม; Z = z j - z i
ที่นี่ พิกัด X, Y, Zเวกเตอร์; x i, y i, z i - พิกัดของจุด A i; x j, y j, z j - พิกัดของจุด A j;
ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ A 1 A 2 จะเป็นดังนี้:
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1; 1; -1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3; -1; -3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4; -2; -2)
A 3 A 4 (-1; -3; -1)
ความยาวของเวกเตอร์ a (X; Y; Z) แสดงผ่านพิกัดโดยสูตร:

ปัญหา 1. พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC ได้รับ: A (4; 3), B (16; -6), C (20; 16) ค้นหา: 1) ความยาวของด้าน AB; 2) สมการของด้าน AB และ BC และความชัน 3) มุม B เป็นเรเดียนที่มีความแม่นยำสองหลัก 4) สมการความสูงของแผ่นซีดีและความยาว 5) สมการของค่ามัธยฐาน AE และพิกัดของจุด K ของจุดตัดของค่ามัธยฐานนี้กับความสูง CD 6) สมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด K ขนานกับด้าน AB 7) พิกัดของจุด M ซึ่งอยู่ในตำแหน่งสมมาตรกับจุด A เทียบกับซีดีเส้นตรง

สารละลาย:

1. ระยะทาง d ระหว่างจุด A (x 1, y 1) และ B (x 2, y 2) ถูกกำหนดโดยสูตร

ใช้ (1) เราพบความยาวของด้าน AB:

2. สมการเส้นตรงผ่านจุด A (x 1, y 1) และ B (x 2, y 2) มีรูปแบบดังนี้

(2)

แทนที่พิกัดของจุด A และ B ลงใน (2) เราได้สมการของด้าน AB:

เมื่อแก้สมการสุดท้ายของ y แล้ว เราพบสมการด้าน AB ในรูปของสมการเส้นตรงที่มีความชัน:

ที่ไหน

แทนที่พิกัดของจุด B และ C เป็น (2) เราได้สมการของเส้นตรง BC:

หรือ

3. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันเท่ากันตามลำดับและคำนวณโดยสูตร

(3)

มุมที่ต้องการ B นั้นเกิดจากเส้นตรง AB และ BC ซึ่งพบความชัน: ใช้ (3) เราได้รับ

หรือดีใจ

4. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนดมีรูปแบบ

(4)

ความสูงของแผ่นซีดีตั้งฉากกับด้าน AB ในการหาความชันของความสูง CD เราใช้เงื่อนไขว่าเส้นตั้งฉาก ตั้งแต่นั้นมา แทนที่ด้วย (4) พิกัดของจุด C และความชันที่พบของความสูง เราจะได้

ในการหาความยาวของความสูง CD ก่อนอื่นเราต้องกำหนดพิกัดของจุด D - จุดตัดของเส้น AB และ CD แก้ปัญหาระบบด้วยกัน:

หา เหล่านั้น. ดี (8; 0).

โดยใช้สูตร (1) เราพบความยาวของซีดีความสูง:

5. ในการหาสมการของค่ามัธยฐาน AE ก่อนอื่นเราจะกำหนดพิกัดของจุด E ซึ่งอยู่ตรงกลางของด้าน BC โดยใช้สูตรการแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน:

(5)

เพราะฉะนั้น,

แทนที่พิกัดของจุด A และ E ลงใน (2) เราพบสมการของค่ามัธยฐาน:

เพื่อหาพิกัดของจุดตัดของความสูง CD และค่ามัธยฐาน AE เราร่วมกันแก้ระบบสมการ

เราพบว่า

6. เนื่องจากเส้นตรงที่ต้องการขนานกับด้าน AB ความชันจะเท่ากับ ความลาดชัน AB ตรง แทนค่าใน (4) พิกัดของจุด K ที่พบและความชัน เราจะได้

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. เนื่องจากเส้น AB ตั้งฉากกับเส้น CD จุดที่ต้องการ M ซึ่งอยู่อย่างสมมาตรกับจุด A ที่สัมพันธ์กับเส้น CD จะอยู่บนเส้น AB นอกจากนี้ จุด D คือจุดกึ่งกลางของส่วน AM การใช้สูตร (5) เราพบพิกัดของจุดที่ต้องการ M:

สามเหลี่ยม ABC, ซีดีความสูง, ค่ามัธยฐาน AE, เส้นตรง KF และจุด M ถูกพล็อตในระบบพิกัด xOy ในรูปที่ หนึ่ง.

วัตถุประสงค์ 2 วาดสมการตำแหน่งของจุด อัตราส่วนของระยะทางไปยังจุด A (4; 0) และเส้นตรงที่กำหนด x = 1 คือ 2

สารละลาย:

ในระบบพิกัด xOy เราสร้างจุด A (4; 0) และเส้นตรง x = 1 ให้ M (x; y) เป็นจุดใดก็ได้ของตำแหน่งจุดที่ต้องการ ให้เราวาง MB ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด x = 1 และกำหนดพิกัดของจุด B เนื่องจากจุด B อยู่บนเส้นตรงที่กำหนด abscissa ของมันจึงเท่ากับ 1 พิกัดของจุด B เท่ากับพิกัดของจุด M. ดังนั้น B (1; y) (รูปที่ 2 )

ตามเงื่อนไขของปัญหา | MA |: | MV | = 2. ระยะทาง | มสธ. | และ | MB | เราหาได้จากสูตร (1) ของปัญหาที่ 1:

ยกกำลังสองด้านซ้ายและขวาเราจะได้

หรือ

สมการที่ได้คือไฮเปอร์โบลาโดยที่เซมิแกนจริงคือ a = 2 และค่าจินตภาพคือ

ลองกำหนดจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลากัน สำหรับไฮเพอร์โบลา ความเสมอภาคจะคงอยู่ ดังนั้น และ - จุดโฟกัสของอติพจน์ อย่างที่คุณเห็น จุดที่กำหนด A (4; 0) คือจุดโฟกัสที่ถูกต้องของไฮเปอร์โบลา

ให้เรากำหนดความเยื้องศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาที่ได้:

สมการของเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลามีรูปแบบและ ดังนั้น หรือ และ เป็นเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา ก่อนสร้างไฮเปอร์โบลา เราสร้างเส้นกำกับของมัน

ปัญหา3. วาดสมการของตำแหน่งจุดเท่ากันจากจุด A (4; 3) และเส้นตรง y = 1 ลดสมการที่ได้ให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด

สารละลาย:ให้ M (x; y) เป็นหนึ่งในจุดของตำแหน่งจุดที่ต้องการ ให้เราวาง MB ตั้งฉากจากจุด M ไปยังเส้นที่กำหนด y = 1 (รูปที่ 3) กำหนดพิกัดของจุด B. เห็นได้ชัดว่า abscissa ของจุด B เท่ากับ abscissa ของจุด M และพิกัดของจุด B เท่ากับ 1 นั่นคือ B (x; 1) โดยแจ้งปัญหา | MA | = | MV |. ดังนั้น สำหรับทุกจุด M (x; y) ที่เป็นของตำแหน่งเรขาคณิตของจุดที่ต้องการ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

สมการที่ได้จะกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่ง เพื่อให้สมการพาราโบลาอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด เราใส่และ y + 2 = Y จากนั้นสมการพาราโบลาจะมีรูปแบบดังนี้

จะเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ได้อย่างไร?
ปัญหาทั่วไปของสามเหลี่ยมบนระนาบ

บทเรียนนี้สร้างขึ้นบนแนวทางสู่เส้นศูนย์สูตรระหว่างเรขาคณิตของระนาบกับเรขาคณิตของอวกาศ ในขณะนี้ มีความจำเป็นต้องจัดระบบข้อมูลที่สะสมและตอบคำถามที่สำคัญมาก: วิธีการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาในเรขาคณิตวิเคราะห์?ความยากอยู่ที่ความจริงที่ว่าคุณสามารถนึกถึงปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนนับไม่ถ้วน และไม่มีตำราเรียนเล่มใดจะประกอบด้วยตัวอย่างมากมายและหลากหลาย ไม่ใช่ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ด้วยกฎห้าประการของการสร้างความแตกต่าง ตารางและเทคนิคต่างๆ….

มีทางแก้! ฉันจะไม่พูดคำใหญ่ว่าฉันได้พัฒนาเทคนิคที่ยิ่งใหญ่บางอย่างแล้ว อย่างไรก็ตาม ในความคิดของฉัน มีวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ซึ่งช่วยให้แม้แต่กาน้ำชาเต็มรูปแบบเพื่อให้ได้ประสิทธิภาพที่ดีและยอดเยี่ยม อย่างน้อย อัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตก็มีรูปร่างที่ชัดเจนในหัวของฉัน

สิ่งที่คุณต้องรู้และทำได้
ประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาเรขาคณิต?

ไม่มีทางรอดจากสิ่งนี้ - เพื่อที่จะไม่กดปุ่มแบบสุ่ม คุณต้องเชี่ยวชาญพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มเรียนเรขาคณิตหรือลืมไปหมดแล้ว โปรดเริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่น ... นอกจากเวกเตอร์และการกระทำกับพวกมันแล้ว คุณจำเป็นต้องรู้แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตระนาบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการเส้นตรงบนระนาบ และ . เรขาคณิตของอวกาศถูกนำเสนอโดยบทความ สมการระนาบ , สมการของเส้นตรงในอวกาศ , งานหลักบนสายและเครื่องบินและบทเรียนอื่นๆ เส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพื้นที่ของลำดับที่สองค่อนข้างห่างกัน และไม่มีปัญหาเฉพาะเจาะจงมากนัก

สมมติว่านักเรียนมีความรู้และทักษะพื้นฐานในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์อยู่แล้ว แต่มันเกิดขึ้นเช่นนี้: คุณอ่านเงื่อนไขของปัญหา และ ... คุณต้องการปิดสิ่งทั้งหมด โยนมันลงในมุมที่ห่างไกล และลืมมัน เช่นเกี่ยวกับฝันร้าย ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระดับของคุณสมบัติของคุณโดยพื้นฐานแล้ว บางครั้ง ตัวฉันเองก็พบเจอกับงานซึ่งการแก้ปัญหาไม่ชัดเจน จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ไม่ต้องกลัวงานที่คุณไม่เข้าใจ!

ประการแรกคุณควรติดตั้ง - มันเป็น "แบน" หรือปัญหาเชิงพื้นที่หรือไม่?ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ที่มีสองพิกัดปรากฏในเงื่อนไข แน่นอนว่านี่คือเรขาคณิตของระนาบ และถ้าครูโหลดปิรามิดผู้ฟังที่กตัญญูนี่คือเรขาคณิตของอวกาศอย่างชัดเจน ผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกนั้นค่อนข้างดีแล้วเพราะพวกเขาสามารถตัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นจำนวนมากสำหรับงานนี้ออกได้!

ที่สอง... เงื่อนไขมักจะครอบงำคุณด้วยรูปทรงเรขาคณิตบางส่วน อันที่จริง เดินไปตามทางเดินในมหาวิทยาลัยบ้านเกิดของคุณ แล้วคุณจะเห็นใบหน้าที่กังวลมากมาย

ในปัญหา "แบน" ไม่ต้องพูดถึงจุดและเส้นที่ได้รับ ตัวเลขที่นิยมมากที่สุดคือสามเหลี่ยม เราจะวิเคราะห์อย่างละเอียด ถัดมาคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน และมักพบน้อยกว่ามาก สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน วงกลม และตัวเลขอื่นๆ

ในงานอวกาศก็เช่นเดียวกัน ร่างแบนระนาบตัวเองและปิรามิดสามเหลี่ยมทั่วไปที่มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำถามที่สอง - คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับตัวเลขนี้หรือไม่?สมมติว่าเงื่อนไขเป็นเรื่องเกี่ยวกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และคุณจำได้คร่าวๆ ว่ามันคือสามเหลี่ยมประเภทใด เราเปิดหนังสือเรียนและอ่านเกี่ยวกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะทำอย่างไร ... หมอบอกว่าเพชรซึ่งหมายถึงเพชร เรขาคณิตวิเคราะห์คือเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ แต่ งานจะช่วยในการแก้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของตัวเลขเองรู้จักเราจาก หลักสูตรโรงเรียน... หากคุณไม่รู้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับเท่าใด คุณก็จะทนทุกข์ได้เป็นเวลานาน

ที่สาม. พยายามติดตามภาพวาดอยู่เสมอ(บนร่าง / สำเนาสะอาด / ทางใจ) แม้จะไม่จำเป็นตามเงื่อนไขก็ตาม ในปัญหา "แบน" Euclid เองได้รับคำสั่งให้หยิบไม้บรรทัดและดินสอ - และไม่เพียงเพื่อให้เข้าใจสภาพเท่านั้น แต่ยังเพื่อจุดประสงค์ในการพิจารณาตนเองด้วย ในกรณีนี้ มาตราส่วนที่สะดวกที่สุดคือ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์เตตราด) อย่าพูดถึงนักเรียนที่ประมาทและนักคณิตศาสตร์ที่วนเวียนอยู่ในโลงศพ - ในปัญหาดังกล่าว แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำผิดพลาด สำหรับงานเชิงพื้นที่ เราทำการวาดแผนผังซึ่งจะช่วยในการวิเคราะห์เงื่อนไขด้วย

การวาดภาพหรือแผนผังมักจะช่วยให้คุณเห็นวิธีการแก้ปัญหาได้ทันที แน่นอน สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องรู้พื้นฐานของเรขาคณิตและเจาะเข้าไปในคุณสมบัติต่างๆ รูปทรงเรขาคณิต(ดูจุดก่อนหน้า).

ที่สี่. การพัฒนาอัลกอริธึมโซลูชัน... ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมากเป็นแบบหลายทาง ดังนั้นจึงสะดวกมากที่จะแยกวิธีแก้ปัญหาและการออกแบบออกเป็นจุดๆ บ่อยครั้ง อัลกอริทึมจะนึกถึงทันทีหลังจากที่คุณได้อ่านเงื่อนไขหรือวาดภาพเสร็จแล้ว ในกรณีที่มีปัญหาเราเริ่มต้นด้วยคำถามของปัญหา... ตัวอย่างเช่นตามเงื่อนไข "จำเป็นต้องสร้างเส้นตรง ... " คำถามที่สมเหตุสมผลที่สุดคือ: "อะไรเพียงพอที่จะรู้เพื่อสร้างเส้นตรงนี้" สมมติว่า “เรารู้ประเด็น เราต้องรู้เวกเตอร์ทิศทาง” เราถามคำถามต่อไป: “จะหาเวกเตอร์ทิศทางนี้ได้อย่างไร? ที่ไหน?" ฯลฯ

บางครั้งก็มี "ปิดปาก" - ปัญหาไม่ได้รับการแก้ไขและนั่นแหล่ะ สาเหตุของจุกสามารถเป็นดังนี้:

- ช่องว่างที่ร้ายแรงในความรู้พื้นฐาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณไม่รู้หรือ (และ) ไม่เห็นบางสิ่งที่เรียบง่าย

- ขาดความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต

- งานเป็นเรื่องยาก ใช่ มันเกิดขึ้น มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะอาบน้ำเป็นเวลาหลายชั่วโมงและเก็บน้ำตาไว้ในผ้าเช็ดหน้า ขอคำแนะนำจากครู เพื่อนนักเรียน หรือถามคำถามในฟอรัม ยิ่งไปกว่านั้น เป็นการดีกว่าที่จะทำให้การตั้งค่าเป็นรูปธรรม - เกี่ยวกับส่วนนั้นของการตัดสินใจที่คุณไม่เข้าใจ เสียงร้องในรูปแบบของ "วิธีแก้ปัญหา?" ดูไม่ค่อยดี ... และเหนือสิ่งอื่นใดสำหรับชื่อเสียงของคุณเอง

ขั้นตอนที่ห้า... เราตัดสินใจตรวจสอบ ตัดสินใจตรวจสอบ ตัดสินใจตรวจสอบ ให้คำตอบ เป็นการทำกำไรในการตรวจสอบแต่ละจุดของปัญหา ทันทีที่เสร็จสิ้น... ซึ่งจะช่วยให้คุณระบุข้อผิดพลาดได้ทันที โดยปกติไม่มีใครห้ามไม่ให้แก้ปัญหาทั้งหมดอย่างรวดเร็ว แต่มีความเสี่ยงที่จะเขียนใหม่ทั้งหมดตั้งแต่เริ่มต้น (มักมีหลายหน้า)

สิ่งเหล่านี้อาจเป็นข้อพิจารณาหลักทั้งหมดที่แนะนำให้ใช้เมื่อแก้ปัญหา

ส่วนที่ใช้งานได้จริงของบทเรียนแสดงด้วยเรขาคณิตบนระนาบ จะมีเพียงสองตัวอย่าง แต่ดูเหมือนน้อย =)

ลองเดินไปตามเธรดของอัลกอริทึมที่ฉันเพิ่งพูดถึงในงานทางวิทยาศาสตร์เล็กน้อยของฉัน:

ตัวอย่างที่ 1

ให้สี่เหลี่ยมด้านขนานสามยอด ค้นหาด้านบน

เราเริ่มเข้าใจ:

ขั้นตอนแรก: เห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงปัญหา "แบน"

ขั้นตอนที่สอง: ปัญหาอยู่ที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ทุกคนจำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าวได้หรือไม่? ไม่จำเป็นต้องยิ้ม หลายคนได้รับการศึกษาเมื่ออายุ 30-40-50 ขึ้นไป แม้แต่ข้อเท็จจริงง่ายๆ ก็สามารถลบออกจากความทรงจำได้ คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีอยู่ในตัวอย่าง # 3 ของบทเรียน การพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานของเวกเตอร์ .

ขั้นตอนที่สาม: มาวาดรูปกันที่เราทำเครื่องหมายจุดยอดที่รู้จักสามจุด เป็นเรื่องตลกที่ง่ายต่อการพล็อตจุดที่ต้องการทันที:

แน่นอนว่าการสร้างนั้นดี แต่การตัดสินใจต้องมีการวิเคราะห์

ขั้นตอนที่สี่: การพัฒนาอัลกอริธึมโซลูชัน สิ่งแรกที่อยู่ในใจคือสามารถหาจุดเป็นจุดตัดของเส้นตรงได้ เราไม่ทราบสมการของพวกมัน ดังนั้นเราต้องจัดการกับปัญหานี้:

1) ด้านตรงข้ามขนานกัน ตามคะแนน หาเวกเตอร์ทิศทางของด้านเหล่านี้ นี่เป็นงานที่ง่ายที่สุดที่ได้รับการพิจารณาในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่น .

บันทึก: มันถูกต้องกว่าที่จะพูดว่า "สมการของเส้นตรงที่มีด้าน" แต่ต่อไปนี้เพื่อความกระชับ ฉันจะใช้วลี "สมการของด้าน", "เวกเตอร์ทิศทางของด้าน" ฯลฯ

3) ด้านตรงข้ามขนานกัน หาเวกเตอร์ทิศทางของด้านเหล่านี้ด้วยจุด

4) วาดสมการของเส้นตรงตามจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

ในข้อ 1-2 และ 3-4 เราแก้ปัญหาเดียวกันสองครั้งจริง ๆ โดยวิธีการถอดประกอบในตัวอย่างที่ 3 ของบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรงบนระนาบ ... เป็นไปได้ที่จะไปไกลกว่านี้ - ก่อนอื่น ให้หาสมการของเส้นตรงแล้ว "ดึง" เวกเตอร์ทิศทางออกจากพวกมัน

5) ตอนนี้รู้สมการของเส้นตรงแล้ว มันยังคงเขียนและแก้ไขระบบที่เกี่ยวข้อง สมการเชิงเส้น(ดูตัวอย่างข้อ 4, 5 ของบทเรียนเดียวกัน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรงบนระนาบ ).

พบจุด

งานค่อนข้างง่ายและวิธีแก้ปัญหานั้นชัดเจน แต่มีวิธีที่สั้นกว่า!

วิธีที่สอง:

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกผ่าครึ่งโดยจุดตัดกัน ฉันทำเครื่องหมายจุดนั้น แต่เพื่อไม่ให้ภาพวาดยุ่งเหยิงฉันไม่ได้วาดเส้นทแยงมุมด้วยตัวเอง

เทียบเคียงด้วยคะแนน :

ในการตรวจสอบ คุณควรคิดในใจหรือในร่าง แทนที่พิกัดของแต่ละจุดลงในสมการผลลัพธ์ ทีนี้ลองหาความชันกัน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการทั่วไปใหม่เป็นสมการที่มีความชัน:

ดังนั้นความชันคือ:

ในทำนองเดียวกัน เราพบสมการของด้าน ฉันไม่เห็นเหตุผลมากนักในการอธิบายสิ่งเดียวกัน ดังนั้นฉันจะให้ผลลัพธ์ที่เสร็จสิ้นทันที:

2) หาความยาวของด้าน นี่เป็นงานที่ง่ายที่สุดที่กล่าวถึงในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่น ... สำหรับคะแนน เราใช้สูตร:

เมื่อใช้สูตรเดียวกัน จะหาความยาวของด้านอื่นๆ ได้ง่าย การตรวจสอบสามารถทำได้อย่างรวดเร็วด้วยไม้บรรทัดปกติ

เราใช้สูตร .

ค้นหาเวกเตอร์:

ทางนี้:

ระหว่างทางเราพบความยาวของด้าน

ผลที่ตามมา:

ดูเหมือนว่าความจริงสำหรับการโน้มน้าวใจคุณสามารถแนบไม้โปรแทรกเตอร์ไปที่มุม

ความสนใจ! อย่าสับสนระหว่างมุมของสามเหลี่ยมกับมุมระหว่างเส้นตรง มุมของสามเหลี่ยมอาจจะป้าน แต่มุมระหว่างเส้นตรงอาจไม่ (ดูย่อหน้าสุดท้ายของบทความ ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรงบนระนาบ ). อย่างไรก็ตาม ในการหามุมของสามเหลี่ยม คุณสามารถใช้สูตรจากบทเรียนข้างต้นได้ แต่ความหยาบคือสูตรเหล่านั้นจะให้มุมแหลมเสมอ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ฉันแก้ไขปัญหานี้ในฉบับร่างและได้ผลลัพธ์ และบนสำเนาที่สะอาด คุณจะต้องเขียนข้อแก้ตัวเพิ่มเติมสำหรับสิ่งนั้น

4) ให้สมการเส้นตรงผ่านจุดขนานกับเส้นตรง

งานมาตรฐานที่กล่าวถึงในรายละเอียดในตัวอย่างที่ 2 ของบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรงบนระนาบ ... จากสมการทั่วไปของเส้นตรง ดึงเวกเตอร์ทิศทางออกมา มาเขียนสมการของเส้นตรงตามจุดและเวกเตอร์ทิศทางกัน:

ฉันจะหาความสูงของสามเหลี่ยมได้อย่างไร

5) ลองทำสมการความสูงแล้วหาความยาวกัน

ไม่มีทางหนีจากคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคุณต้องขโมยหนังสือเรียนของโรงเรียน:

ความสูงของสามเหลี่ยม เรียกว่า เส้นตั้งฉากที่ลากจากยอดของสามเหลี่ยมไปยังเส้นตรงที่มีด้านตรงข้าม

นั่นคือจำเป็นต้องวาดสมการของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดไปด้านข้าง งานนี้พิจารณาในตัวอย่างที่ 6, 7 ของบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรงบนระนาบ ... จากสมการ ลบเวกเตอร์ปกติ ให้เราเขียนสมการความสูงด้วยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

โปรดทราบว่าเราไม่ทราบพิกัดของจุด

บางครั้งสมการความสูงหาได้จากอัตราส่วนของความชันของเส้นตรงตั้งฉาก:. ในกรณีนี้แล้ว:. ให้เราเขียนสมการความสูงทีละจุดและความชัน (ดูจุดเริ่มต้นของบทเรียน สมการของเส้นตรงบนระนาบ ):

ความยาวของความสูงสามารถพบได้ในสองวิธี

มีทางอ้อมคือ

ก) เราพบ - จุดตัดของความสูงและด้านข้าง
b) หาความยาวของส่วนด้วยสองจุดที่รู้จัก

แต่ในบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรงบนระนาบ พิจารณาสูตรสะดวกสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง ประเด็นเป็นที่รู้จัก: สมการของเส้นเป็นที่รู้จักกัน: , ทางนี้:

6) คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ในอวกาศ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณโดยใช้ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของ vectors แต่นี่คือสามเหลี่ยมบนเครื่องบิน เราใช้สูตรโรงเรียน:
- พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง

ในกรณีนี้:

ฉันจะหาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างไร

7) มาเขียนสมการมัธยฐานกัน

สามเหลี่ยมมัธยฐาน เรียกว่า ส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดของสามเหลี่ยมกับกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

ก) หาจุด - ตรงกลางด้านข้าง เราใช้ สูตรจุดกึ่งกลาง ... พิกัดของส่วนท้ายของส่วนเป็นที่รู้จัก: แล้วพิกัดตรงกลางคือ

ทางนี้:

เราเขียนสมการมัธยฐานด้วยคะแนน :

ในการตรวจสอบสมการ คุณต้องแทนที่พิกัดของจุดนั้นเข้าไป

8) หาจุดตัดของความสูงและค่ามัธยฐาน ฉันคิดว่าทุกคนได้เรียนรู้วิธีเล่นสเก็ตลีลาโดยไม่ล้มแล้ว: