Subspace พื้นฐานและมิติของมัน ช่องว่างเชิงเส้น สเปซย่อย มิติและพื้นฐานของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

เมื่อเราวิเคราะห์แนวคิดของเวกเตอร์ n มิติและแนะนำการดำเนินการกับเวกเตอร์ เราพบว่าเซตของเวกเตอร์ n มิติทั้งหมดสร้างช่องว่างเชิงเส้น ในบทความนี้ เราจะพูดถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องที่สำคัญที่สุด - มิติและพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ นอกจากนี้เรายังพิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับการขยายตัวของเวกเตอร์ตามอำเภอใจในแง่ของฐานและการเชื่อมต่อระหว่างฐานต่างๆของสเปซ n มิติ ให้เราตรวจสอบรายละเอียดการแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไป

การนำทางหน้า

แนวคิดของมิติของปริภูมิเวกเตอร์และฐาน

แนวคิดของมิติและฐานของปริภูมิเวกเตอร์นั้นเกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดของระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ดังนั้นเราขอแนะนำ ถ้าจำเป็น ให้อ้างอิงถึงบทความ การพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ คุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระ

คำนิยาม.

มิติของสเปซเวกเตอร์เรียกว่าจำนวนเท่ากับจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นในช่องว่างนี้

คำนิยาม.

พื้นฐานพื้นที่เวกเตอร์เป็นชุดลำดับของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นตรงของสเปซนี้ ซึ่งจำนวนเท่ากับมิติของสเปซ

ให้เราให้เหตุผลตามคำจำกัดความเหล่านี้

พิจารณาพื้นที่ของเวกเตอร์ n มิติ

ให้เราแสดงว่ามิติของสเปซนี้เท่ากับ n

ใช้ระบบของเวกเตอร์หน่วย n ของรูปแบบ

ลองหาเวกเตอร์เหล่านี้เป็นแถวของเมทริกซ์ A ในกรณีนี้ เมทริกซ์ A จะเป็นเมทริกซ์ขนาด n-by-n อันดับของเมทริกซ์นี้คือ n (ดูบทความหากจำเป็น) ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น และไม่มีเวกเตอร์ใดที่สามารถเพิ่มลงในระบบนี้ได้โดยไม่ละเมิดความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบ เนื่องจากจำนวนเวกเตอร์ในระบบ เท่ากับ n แล้ว มิติของสเปซของเวกเตอร์มิติ n คือ n และเวกเตอร์หน่วย เป็นพื้นฐานของพื้นที่นี้.

จากข้อความสุดท้ายและคำจำกัดความของพื้นฐาน เราสามารถสรุปได้ว่า ระบบใดๆ ของเวกเตอร์มิติ n จำนวนเวกเตอร์ที่น้อยกว่า n ไม่เป็นฐาน.

ทีนี้ลองสลับเวกเตอร์แรกและที่สองของระบบกัน ... เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าระบบผลลัพธ์ของเวกเตอร์ ยังเป็นพื้นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ n มิติอีกด้วย ลองเขียนเมทริกซ์ โดยหาเวกเตอร์ของระบบนี้เป็นแถวกัน เมทริกซ์นี้สามารถหาได้จากเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยการเปลี่ยนแถวที่หนึ่งและสอง ดังนั้น อันดับของมันจะเท่ากับ n ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ n ตัว เป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐานของสเปซเวกเตอร์ n มิติ

ถ้าเราจัดเรียงเวกเตอร์อื่นของระบบใหม่ , จากนั้นเราก็ได้อีกหนึ่งพื้นฐาน

ถ้าเราหาระบบอิสระเชิงเส้นตรงของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่หน่วย มันก็เป็นฐานของสเปซเวกเตอร์ n มิติด้วย

ทางนี้, ปริภูมิเวกเตอร์ของมิติ n มีฐานมากเท่ากับที่มีระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์มิติ n n

ถ้าเราพูดถึงสเปซเวกเตอร์สองมิติ (นั่นคือ เกี่ยวกับระนาบ) แล้ว พื้นฐานของมันคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์ใดๆ สองตัว พื้นฐานของสเปซสามมิติคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามอัน

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานสำหรับพื้นที่เวกเตอร์ 3 มิติหรือไม่?

สารละลาย.

ให้เราตรวจสอบระบบของเวกเตอร์นี้สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้ เราจะสร้างเมทริกซ์ ซึ่งแถวนั้นจะเป็นพิกัดของเวกเตอร์ และค้นหาอันดับของมัน:


ดังนั้นเวกเตอร์ a, b และ c มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและจำนวนเท่ากับขนาดของเวกเตอร์สเปซ ดังนั้น พวกมันจึงเป็นพื้นฐานของสเปซนี้

ตอบ:

ใช่พวกเขาเป็น

ตัวอย่าง.

ระบบเวกเตอร์สามารถเป็นพื้นฐานของเวคเตอร์สเปซได้หรือไม่?

สารละลาย.

ระบบของเวกเตอร์นี้ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์สามมิติที่ไม่ขึ้นกับเชิงเส้นคือสาม ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์นี้จึงไม่สามารถเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติได้ (แม้ว่าระบบย่อยของระบบย่อยของเวกเตอร์ดั้งเดิมจะเป็นพื้นฐาน)

ตอบ:

ไม่เขาไม่สามารถ.

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบให้แน่ใจเวกเตอร์

สามารถเป็นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติได้

สารละลาย.

มาเขียนเมทริกซ์กัน โดยหาเวกเตอร์เริ่มต้นในแถวกัน:

มาหากัน:

ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ a, b, c, d จึงไม่ขึ้นกับเส้นตรงและจำนวนของพวกมันเท่ากับขนาดของพื้นที่เวกเตอร์ ดังนั้น a, b, c, d จึงเป็นพื้นฐานของมัน

ตอบ:

เวกเตอร์ดั้งเดิมนั้นเป็นพื้นฐานของสเปซสี่มิติ

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์ของมิติ 4 หรือไม่?

สารละลาย.

แม้ว่าระบบดั้งเดิมของเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้น แต่จำนวนของเวกเตอร์ในนั้นก็ไม่เพียงพอที่จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติ (พื้นฐานของช่องว่างดังกล่าวประกอบด้วยเวกเตอร์ 4 ตัว)

ตอบ:

ไม่มันไม่ได้

การสลายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของพื้นที่เวกเตอร์พื้นฐาน

ให้เวกเตอร์โดยพลการ เป็นพื้นฐานของสเปซเวกเตอร์ n มิติ ถ้าเราเพิ่มเวกเตอร์ n มิติ x เข้าไป ระบบผลลัพธ์ของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากคุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้น เรารู้ว่าอย่างน้อยหนึ่งเวกเตอร์ของระบบการพึ่งพาเชิงเส้นตรงจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านส่วนที่เหลือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งของระบบที่ขึ้นกับเชิงเส้นถูกขยายในแง่ของเวกเตอร์ที่เหลือ

สิ่งนี้นำเราไปสู่ทฤษฎีบทที่สำคัญมาก

ทฤษฎีบท.

เวกเตอร์ใดๆ ของสเปซเวคเตอร์ n มิติใดๆ ถูกย่อยสลายอย่างเฉพาะตัวในฐาน

การพิสูจน์.

อนุญาต - พื้นฐานของสเปซเวกเตอร์ n มิติ ลองเพิ่มเวกเตอร์มิติ n x ให้กับเวกเตอร์เหล่านี้กัน จากนั้นระบบผลลัพธ์ของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและเวกเตอร์ x สามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ :, มีเบอร์ไหน. นี่คือวิธีที่เราได้การขยายตัวของเวกเตอร์ x ในรูปของฐาน ยังคงต้องพิสูจน์ว่าการสลายตัวนี้มีลักษณะเฉพาะ

สมมติว่ามีการสลายตัวอีกโดยที่ - ตัวเลขบางส่วน เราลบจากด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันสุดท้าย ตามลำดับ ด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน:

เนื่องจากระบบของเวกเตอร์พื้นฐาน เป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นตามคำจำกัดความของความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันที่ได้รับจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ของการขยายตัวของเวกเตอร์ในพื้นฐาน

คำนิยาม.

ค่าสัมประสิทธิ์เรียกว่า พิกัดของเวกเตอร์ x ในฐาน .

หลังจากทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบทการขยายตัวของเวกเตอร์เป็นพื้นฐานแล้ว เราเริ่มเข้าใจสาระสำคัญของนิพจน์ "เราได้รับเวกเตอร์ n มิติ ". นิพจน์นี้หมายความว่าเรากำลังพิจารณาเวกเตอร์ x n -ปริภูมิเวกเตอร์มิติ ซึ่งพิกัดดังกล่าวมีให้ในบางพื้นฐาน ในเวลาเดียวกัน เราเข้าใจว่าเวกเตอร์ x เดียวกันในฐานอื่นของสเปซเวกเตอร์ n มิติจะมีพิกัดที่แตกต่างจากนี้

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้

ให้ในฐานของสเปซเวกเตอร์มิติ n เราจะได้รับระบบของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น n n

และเวกเตอร์ ... แล้วเวกเตอร์ เป็นพื้นฐานของสเปซเวกเตอร์นี้ด้วย

สมมติว่าเราต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐาน ... ให้เราแสดงพิกัดเหล่านี้เป็น .

เวกเตอร์ x เป็นพื้นฐาน มีความคิด ลองเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในรูปแบบพิกัด:

ความเท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับระบบของ n สมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว :

เมทริกซ์หลักของระบบนี้มีรูปแบบ

ลองกำหนดด้วยตัวอักษร A คอลัมน์ของเมทริกซ์ A เป็นเวกเตอร์ของระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์นี้คือ n ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์ ข้อเท็จจริงนี้บ่งชี้ว่าระบบสมการมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีใดๆ ตัวอย่างเช่น หรือ

ซึ่งจะพบพิกัดที่ต้องการ เวกเตอร์ x ในฐาน .

มาวิเคราะห์ทฤษฎีพร้อมตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ในบางพื้นที่เวกเตอร์สามมิติ vectors

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าระบบเวกเตอร์เป็นพื้นฐานของช่องว่างนี้ด้วย และค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐานนี้

สารละลาย.

เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ ระบบนั้นต้องไม่ขึ้นกับเชิงเส้น ให้เราชี้แจงสิ่งนี้โดยกำหนดอันดับของเมทริกซ์ A แถวที่เป็นเวกเตอร์ ยศหาได้จากวิธีเกาส์


ดังนั้นอันดับ (A) = 3 ซึ่งแสดงความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

เวกเตอร์จึงเป็นฐาน ให้เวกเตอร์ x มีพิกัดบนฐานนี้ ดังที่เราแสดงให้เห็นข้างต้น การเชื่อมต่อระหว่างพิกัดของเวกเตอร์นี้ถูกกำหนดโดยระบบสมการ

แทนที่ค่าที่ทราบจากเงื่อนไขแล้วเราจะได้

มาแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการของแครมเมอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์ x ในฐานจึงมีพิกัด .

ตอบ:

ตัวอย่าง.

ในบางเรื่อง ปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติให้ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

เป็นที่ทราบกันดีว่า ... ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐาน .

สารละลาย.

เนื่องจากระบบเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้นตามเงื่อนไข จากนั้นเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติ แล้วความเท่าเทียมกัน หมายความว่าเวกเตอร์ x ในฐาน มีพิกัด. เราระบุพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐาน อย่างไร .

ระบบสมการที่กำหนดการเชื่อมต่อระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐาน และ มีรูปแบบ

เราแทนที่ค่าที่รู้จักลงไปและค้นหาพิกัดที่ต้องการ:

ตอบ:

.

การสื่อสารระหว่างฐาน

ให้ในฐานของ n พื้นที่เวกเตอร์มิติ สองระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

และ

นั่นคือพวกเขายังเป็นฐานของพื้นที่นี้

ถ้า - พิกัดของเวกเตอร์ในฐาน จากนั้นประสานการเชื่อมต่อ และ ถูกกำหนดโดยระบบสมการเชิงเส้น (เราพูดถึงสิ่งนี้ในย่อหน้าก่อนหน้า):

ซึ่งในรูปแบบเมทริกซ์สามารถเขียนเป็น

ในทำนองเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์ เราสามารถเขียน

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ก่อนหน้าสามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว ซึ่งตามจริงแล้ว กำหนดความสัมพันธ์ของเวกเตอร์ของฐานที่แตกต่างกันสองฐาน

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงเวกเตอร์ฐานทั้งหมดได้ ผ่านพื้นฐาน :

คำนิยาม.

เดอะเมทริกซ์ เรียกว่า เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน สู่ฐาน แล้วความเท่าเทียมกัน

คูณทั้งสองข้างของความเท่ากันนี้ทางขวาด้วย

รับ

เราจะพบเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง ในขณะที่เราจะไม่กล่าวถึงรายละเอียดในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันและการคูณเมทริกซ์ (ดูบทความและหากจำเป็น):

ยังคงต้องหาความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐานที่กำหนด

ให้เวกเตอร์ x มีพิกัดในฐาน แล้ว

และโดยพื้นฐานแล้วเวกเตอร์ x มีพิกัด ดังนั้น

เนื่องจากด้านซ้ายมือของค่าเท่ากันสองค่าสุดท้ายเท่ากัน เราจึงสามารถให้ค่าทางขวามือเท่ากันได้:

ถ้าคุณคูณทั้งสองข้างทางขวาด้วย

เราได้รับ


อีกด้านหนึ่ง

(หาเมทริกซ์ผกผันด้วยตัวเอง)
ความเท่าเทียมกันสองอันสุดท้ายทำให้เรามีการเชื่อมต่อที่จำเป็นระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x ในฐานและ

ตอบ:

เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐานถึงฐานมีรูปแบบ
;
พิกัดของเวกเตอร์ x ในฐานและสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

หรือ
.

เราตรวจสอบแนวคิดของมิติและฐานของสเปซเวกเตอร์ เรียนรู้วิธีการแยกเวกเตอร์ในรูปของฐาน และพบความเชื่อมโยงระหว่างฐานต่างๆ ของสเปซ n มิติของเวกเตอร์ผ่านเมทริกซ์ทรานซิชัน

เซตย่อยของสเปซเชิงเส้นจะสร้างสเปซย่อย ถ้ามันถูกปิดภายใต้การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์

ตัวอย่างที่ 6.1 สเปซย่อยในระนาบสร้างชุดของเวกเตอร์หรือไม่ซึ่งปลายอยู่: a) ในไตรมาสแรก; ข) บนเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด? (ต้นกำเนิดของเวกเตอร์อยู่ที่จุดกำเนิด)

สารละลาย.

a) ไม่ เนื่องจากเซตไม่ปิดเนื่องจากการคูณด้วยสเกลาร์: เมื่อคูณด้วยจำนวนลบ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเข้าสู่ควอเตอร์ที่สาม

b) ใช่ เนื่องจากเมื่อเวกเตอร์ถูกบวกและคูณด้วยจำนวนใด ๆ ปลายของพวกมันจะยังคงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ภาคผนวก 6.1 ทำชุดย่อยต่อไปนี้ของช่องว่างเชิงเส้นที่สอดคล้องกันในรูปแบบสเปซย่อย:

ก) ชุดของเวกเตอร์ระนาบซึ่งสิ้นสุดในไตรมาสที่หนึ่งหรือสาม

b) ชุดของเวกเตอร์ของระนาบซึ่งปลายเป็นเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด

c) ชุดของเส้นพิกัด ((x 1, x 2, x 3) ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) ชุดของเส้นพิกัด ((x 1, x 2, x 3) ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) ชุดของเส้นพิกัด ((x 1, x 2, x 3) ï x 1 = x 2 2)

มิติของสเปซเชิงเส้น L คือจำนวนสลัว L ของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานใดๆ ของมัน

มิติของผลรวมและจุดตัดของสเปซย่อยสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

สลัว (U + V) = สลัว U + สลัว V - สลัว (U Ç V)

PRI ฉัน R 6.2 ค้นหาฐานและมิติของผลรวมและจุดตัดของสเปซย่อยที่ขยายโดยระบบเวกเตอร์ต่อไปนี้:

สารละลาย แต่ละระบบของเวกเตอร์ที่สร้างสเปซย่อย U และ V เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น มันเป็นพื้นฐานของสเปซย่อยที่สอดคล้องกัน มาสร้างเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กัน จัดเรียงพวกมันเป็นคอลัมน์และแยกระบบหนึ่งออกจากอีกระบบหนึ่งด้วยเส้นตรง ลองลดเมทริกซ์ผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันได

~ ~ ~ .

พื้นฐาน U + V เกิดขึ้นจากเวกเตอร์ ซึ่งองค์ประกอบชั้นนำสอดคล้องกันในเมทริกซ์ขั้นตอน ดังนั้น สลัว (U + V) = 3 จากนั้น

สลัว (UCV) = สลัว U + สลัว V - สลัว (U + V) = 2 + 2 - 3 = 1

จุดตัดของสเปซย่อยสร้างชุดของเวกเตอร์ที่เป็นไปตามสมการ (อยู่ที่ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการนี้) พื้นฐานทางแยกได้มาจากระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกับสมการเวกเตอร์นี้ เมทริกซ์ของระบบนี้ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแล้ว จากมัน เราสรุปได้ว่า y 2 เป็นตัวแปรอิสระ และเราใส่ y 2 = c จากนั้น 0 = y 1 - y 2, y 1 = c ,. และจุดตัดของสเปซย่อยสร้างเซตของเวกเตอร์ของรูปแบบ = ค (3, 6, 3, 4) ดังนั้น พื้นฐาน UÇV จึงเป็นเวกเตอร์ (3, 6, 3, 4)

หมายเหตุ. 1. หากเราแก้ระบบต่อไปโดยหาค่าของตัวแปร x แล้วเราจะได้ x 2 = c, x 1 = c และทางด้านซ้ายของสมการเวกเตอร์เราจะได้เวกเตอร์เท่ากับหนึ่ง ที่ได้รับข้างต้น

2. โดยใช้วิธีการที่ระบุ เราสามารถหาฐานสำหรับผลรวมได้ไม่ว่าระบบการกำเนิดของเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ แต่พื้นฐานทางแยกจะได้รับอย่างถูกต้องก็ต่อเมื่ออย่างน้อยระบบที่สร้างสเปซย่อยที่สองเป็นอิสระเชิงเส้น

3. หากกำหนดว่ามิติของทางแยกมีค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าทางแยกนั้นไม่มีพื้นฐาน และไม่จำเป็นต้องค้นหา

เหมาะสม 6.2. ค้นหาฐานและมิติของผลรวมและจุดตัดของสเปซย่อยที่ขยายโดยระบบเวกเตอร์ต่อไปนี้:

ก)

ข)

อวกาศยุคลิด

ปริภูมิแบบยุคลิดคือปริภูมิเชิงเส้นเหนือสนาม Rซึ่งมีการกำหนดการคูณสเกลาร์ ซึ่งกำหนดสเกลาร์ให้กับเวกเตอร์แต่ละคู่ และเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

2) (a + b) = a () + b ();

3) ¹ Þ> 0.

ผลิตภัณฑ์ดอทมาตรฐานคำนวณโดยใช้สูตร

(a 1,…, a n) (b 1,…, b n) = a 1 b 1 +… + a n b n.

เวกเตอร์และเรียกว่ามุมฉาก เขียนว่า ^ ถ้าผลคูณของสเกลาร์เท่ากับ 0

ระบบของเวกเตอร์เรียกว่า มุมฉาก ถ้าเวกเตอร์ในนั้นเป็นมุมฉากคู่

ระบบมุมฉากของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น

กระบวนการ orthogonalization ของระบบเวกเตอร์ ... ประกอบด้วยการเปลี่ยนไปใช้ระบบมุมฉากที่เทียบเท่า ... ดำเนินการตามสูตร:

, โดยที่ k = 2,…, n.

ตัวอย่าง 7.1. ตั้งฉากระบบของเวกเตอร์

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

วิธีแก้ปัญหา เรามี = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

เหมาะสม 7.1. ระบบเวกเตอร์ตั้งฉาก:

ก) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1)

ตัวอย่าง 7.2 เสริมระบบเวกเตอร์ = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1) ถึงฐานตั้งฉากของช่องว่าง

วิธีแก้ไข ระบบเดิมเป็นแบบมุมฉาก ดังนั้น ปัญหาจึงสมเหตุสมผล เนื่องจากเวกเตอร์มีอยู่ในปริภูมิสี่มิติ จึงจำเป็นต้องหาเวกเตอร์อีกสองตัว เวกเตอร์ที่สาม = (x 1, x 2, x 3, x 4) ถูกกำหนดจากเงื่อนไข = 0, = 0 เงื่อนไขเหล่านี้ให้ระบบสมการเมทริกซ์ที่เกิดขึ้นจากแถวพิกัดของเวกเตอร์และ เราแก้ระบบ:

~ ~ .

ตัวแปรอิสระ x 3 และ x 4 สามารถกำหนดค่าชุดใดก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ สมมติว่า x 3 = 0, x 4 = 1 จากนั้น x 2 = 0, x 1 = 1 และ = (1, 0, 0, 1)

ในทำนองเดียวกัน เราพบ = (y 1, y 2, y 3, y 4) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เพิ่มแถวพิกัดใหม่ให้กับเมทริกซ์แบบก้าวที่ได้รับด้านบนและนำไปที่รูปแบบขั้นบันได:

~ ~ .

สำหรับตัวแปรอิสระ y 3 เราตั้งค่า y 3 = 1 จากนั้น y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, และ = (0, 1, 1, 0)

บรรทัดฐานของเวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิดเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

เวกเตอร์ถูกเรียกว่าทำให้เป็นมาตรฐานถ้าบรรทัดฐานของมันคือ 1

ในการทำให้เวกเตอร์เป็นปกติ จะต้องหารด้วยค่าปกติของมัน

ระบบมุมฉากของเวกเตอร์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานเรียกว่าออร์โธนอร์มัล

เหมาะสม 7.2. เสริมระบบเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐานออร์โธนอร์มัลของสเปซ:

ก) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3)

การแมปเชิงเส้น

ให้ U และ V เป็นช่องว่างเชิงเส้นเหนือสนาม F การทำแผนที่ f: U ® V เรียกว่าเส้นตรงถ้าและ

ตัวอย่าง 8.1 การแปลงพื้นที่สามมิติเป็นเส้นตรง:

ก) ฉ (x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 - x 3, 0);

b) ฉ (x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3)

สารละลาย.

a) เรามี f ((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2 (x 1 + y 1), (x 1 + y 1) - (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 - x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3, 0) =

F ((x 1, x 2, x 3) + f (y 1, y 2, y 3));

f (l (x 1, x 2, x 3)) = f (lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 - lx 3, 0) = l (2x 1, x 1 - x 3 , 0) =

ยาว ฉ (x 1, x 2, x 3)

ดังนั้นการแปลงจึงเป็นเชิงเส้น

b) เรามี f ((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f ((x 1, x 2, x 3) + f (y 1, y 2, y 3)) = (1, x 1 + x 2, x 3) + (1, y 1 + y 2, y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f ((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

ดังนั้นการแปลงจึงไม่เชิงเส้น

รูปภาพของการทำแผนที่เชิงเส้น f: U ® V คือชุดภาพของเวกเตอร์จาก U นั่นคือ

อิ่ม (f) = (f () ï О U). +… + ม1

R และ 8.1. ค้นหาอันดับ ข้อบกพร่อง ฐานภาพ และเมล็ดของการทำแผนที่เชิงเส้น f ที่กำหนดโดยเมทริกซ์:

ก) ก =; ข) ก =; ค) A = .

ตามนิยามของปริภูมิเชิงเส้น ดังนั้น อาเป็นซับสเปซเพื่อตรวจสอบความเป็นไปได้ใน อาการดำเนินงาน:

1) :
;

2)
:
;

และตรวจสอบว่าการดำเนินการใน อาอยู่ภายใต้สัจธรรมแปดประการ อย่างไรก็ตามสิ่งหลังจะฟุ่มเฟือย (เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าสัจพจน์เหล่านี้มีความพึงพอใจใน L) เช่น ต่อไปนี้เป็นความจริง

ทฤษฎีบท.ให้ L เป็นปริภูมิเชิงเส้นเหนือสนาม P และ
... ชุด A เป็นสเปซย่อยของ L หากเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้เท่านั้น:

คำให้การ.ถ้า หลี่ – น-ปริภูมิเชิงเส้นมิติและ อาซับสเปซของมันแล้ว อายังเป็นปริภูมิเชิงเส้นที่มีมิติจำกัดและมีขนาดไม่เกิน น.

พี ตัวอย่างที่ 1 เซต S ของเวกเตอร์ระนาบทั้งหมด ซึ่งแต่ละอันอยู่บนแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง 0x หรือ 0y เป็นสเปซย่อยของสเปซของเซกเมนต์เวกเตอร์ V 2 หรือไม่

สารละลาย: อนุญาต
,
และ
,
... แล้ว
... ดังนั้น S ไม่ใช่สเปซย่อย .

ตัวอย่างที่ 2ทำมัน สเปซย่อยเชิงเส้นปริภูมิเชิงเส้น วี 2 ของเวกเตอร์-ส่วนของระนาบ เซต สของเวกเตอร์ทั้งหมดของระนาบ ต้นทางและปลายอยู่ในเส้นตรงที่กำหนด lเครื่องบินลำนี้?

สารละลาย.

อี ถ้าเวกเตอร์
คูณด้วยจำนวนจริง kแล้วเราจะได้เวกเตอร์
ยังเป็นของ S. If และ เป็นเวกเตอร์สองตัวจาก S แล้ว
(ตามกฎของการบวกเวกเตอร์บนเส้นตรง) ดังนั้น S เป็นสเปซย่อย .

ตัวอย่างที่ 3เป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซเชิงเส้นหรือไม่ วี 2 พวงของ อาของเวกเตอร์ทั้งหมดของระนาบที่ปลายอยู่บนเส้นตรงที่กำหนด l, (สมมติว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ใด ๆ เหมือนกับจุดกำเนิด)?

R สารละลาย.

ในกรณีที่ตรง lชุดไม่ผ่านต้นทาง อาสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซ วี 2 ไม่ใช่เพราะ
.

ในกรณีที่ตรง l ผ่านแหล่งกำเนิด ชุด อาเป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซ วี 2 , ตั้งแต่
และเมื่อคูณเวกเตอร์ใดๆ
บนจำนวนจริง α ออกนอกสนาม Rรับ
... ดังนั้น ความต้องการพื้นที่เชิงเส้นสำหรับเซต อาสมบูรณ์.

ตัวอย่างที่ 4ให้ระบบของเวกเตอร์ be
จากสเปซเชิงเส้น หลี่เหนือสนาม พี... พิสูจน์ว่าเซตของผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด
มีค่าสัมประสิทธิ์
จาก พีเป็นสเปซย่อย หลี่(ช่องว่างนี้ อาเรียกว่าสเปซย่อยที่สร้างโดยระบบเวกเตอร์หรือ เปลือกเชิงเส้น ระบบเวกเตอร์นี้และแสดงไว้ดังนี้
หรือ
).

สารละลาย... อันที่จริงแล้วสำหรับองค์ประกอบใด ๆ x, yอาเรามี:
,
, ที่ไหน
,
... แล้ว

ตั้งแต่นั้นมา
นั่นเป็นเหตุผลที่
.

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของเงื่อนไขที่สองของทฤษฎีบท ถ้า x- เวกเตอร์ใด ๆ จาก อาและ t- ตัวเลขใด ๆ จาก พี, แล้ว . ตราบเท่าที่
และ
,, แล้ว
, , นั่นเป็นเหตุผล
... ดังนั้น ตามทฤษฎีบท เซต อา- สเปซย่อยของสเปซเชิงเส้น หลี่.

คำสั่ง converse ยังเป็นจริงสำหรับช่องว่างเชิงเส้นที่มีมิติจำกัด

ทฤษฎีบท.ช่องว่างใดๆ อาปริภูมิเชิงเส้น หลี่เหนือสนาม คือสแปนเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์บางระบบ

ในการแก้ปัญหาการหาฐานและมิติของตัวเรือเชิงเส้น จะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.พื้นฐานฮัลล์เชิงเส้น
ตรงกับพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ มิติของตัวเรือเชิงเส้นตรงกับอันดับของระบบเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาพื้นฐานและมิติของสเปซย่อย
ปริภูมิเชิงเส้น R 3 [ x] , ถ้า
,
,
,
.

สารละลาย... เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเวกเตอร์และแถวพิกัด (คอลัมน์) ของพวกมันมีคุณสมบัติเหมือนกัน (ในแง่ของการพึ่งพาเชิงเส้น) การเขียนเมทริกซ์ อา=
จากคอลัมน์พิกัดของเวกเตอร์
ในพื้นฐาน
.

หาอันดับของเมทริกซ์ อา.

. เอ็ม 3 =
.
.

ดังนั้นอันดับ r(อา)= 3. ดังนั้นอันดับของระบบเวกเตอร์คือ 3 ดังนั้นมิติของซับสเปซ S คือ 3 และฐานประกอบด้วยเวกเตอร์สามตัว
(ตั้งแต่อยู่ในฐานรอง
รวมเฉพาะพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เท่านั้น)

ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่าชุด ชมเวกเตอร์ของปริภูมิเลขคณิต
ซึ่งพิกัดแรกและพิกัดสุดท้ายเท่ากับ 0 ถือเป็นสเปซย่อยเชิงเส้น ค้นหาพื้นฐานและมิติของมัน

สารละลาย... อนุญาต
.

จากนั้นและ. เพราะฉะนั้น,
สำหรับใดๆ ถ้า
,
, แล้ว . ดังนั้น ตามทฤษฎีบทซับสเปซเชิงเส้น เซต ชมเป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซ มาหาพื้นฐานกันเถอะ ชม... พิจารณาเวกเตอร์ต่อไปนี้จาก ชม:
,
,. ระบบเวกเตอร์นี้เป็นอิสระเชิงเส้น แท้จริงแล้วให้เป็นเช่นนั้น

หน้า 1

Subspace พื้นฐานและมิติของมัน

อนุญาต หลี่- ปริภูมิเชิงเส้นเหนือสนาม พี และ อาเป็นสับเซตของ หลี่... ถ้า อาตัวเองเป็นสเปซเชิงเส้นเหนือสนาม พีเกี่ยวกับการดำเนินงานเช่นเดียวกับ หลี่, แล้ว อาเรียกว่าเป็นสเปซย่อยของสเปซ หลี่.

ตามนิยามของปริภูมิเชิงเส้น ดังนั้น อาเป็นซับสเปซเพื่อตรวจสอบความเป็นไปได้ใน อาการดำเนินงาน:

1) :
;

2)
:
;

และตรวจสอบว่าการดำเนินการใน อาอยู่ภายใต้สัจธรรมแปดประการ อย่างไรก็ตามสิ่งหลังจะฟุ่มเฟือย (เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าสัจพจน์เหล่านี้มีความพึงพอใจใน L) เช่น ต่อไปนี้เป็นความจริง

ทฤษฎีบท.ให้ L เป็นปริภูมิเชิงเส้นเหนือสนาม P และ
... ชุด A เป็นสเปซย่อยของ L หากเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้เท่านั้น:

1. :
;

2.
:
.

คำให้การ.ถ้า หลี่ – น-ปริภูมิเชิงเส้นมิติและ อาซับสเปซของมันแล้ว อายังเป็นปริภูมิเชิงเส้นที่มีมิติจำกัดและมีขนาดไม่เกิน น.

พี ตัวอย่างที่ 1เซต S ของเวกเตอร์ระนาบทั้งหมด ซึ่งแต่ละอันอยู่บนแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง 0x หรือ 0y เป็นสเปซย่อยของสเปซของเซกเมนต์เวกเตอร์ V 2 หรือไม่

สารละลาย: อนุญาต
,
และ
,
... แล้ว
... ดังนั้น S ไม่ใช่สเปซย่อย .

ตัวอย่างที่ 2 วี 2 ของเวกเตอร์-ส่วนของระนาบ เซต สของเวกเตอร์ทั้งหมดของระนาบ ต้นทางและปลายอยู่ในเส้นตรงที่กำหนด lเครื่องบินลำนี้?

สารละลาย.

อี ถ้าเวกเตอร์
คูณด้วยจำนวนจริง kแล้วเราจะได้เวกเตอร์
ยังเป็นของ S. If และ เป็นเวกเตอร์สองตัวจาก S แล้ว
(ตามกฎของการบวกเวกเตอร์บนเส้นตรง) ดังนั้น S เป็นสเปซย่อย .

ตัวอย่างที่ 3เป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซเชิงเส้นหรือไม่ วี 2 พวงของ อาของเวกเตอร์ทั้งหมดของระนาบที่ปลายอยู่บนเส้นตรงที่กำหนด l, (สมมติว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ใด ๆ เหมือนกับจุดกำเนิด)?

R สารละลาย.

ในกรณีที่ตรง lชุดไม่ผ่านต้นทาง อาสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซ วี 2 ไม่ใช่เพราะ
.

ในกรณีที่ตรง l ผ่านแหล่งกำเนิด ชุด อาเป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของสเปซ วี 2 , ตั้งแต่
และเมื่อคูณเวกเตอร์ใดๆ
บนจำนวนจริง α ออกนอกสนาม Rรับ
... ดังนั้น ความต้องการพื้นที่เชิงเส้นสำหรับเซต อาสมบูรณ์.

ตัวอย่างที่ 4ให้ระบบของเวกเตอร์ be
จากสเปซเชิงเส้น หลี่เหนือสนาม พี... พิสูจน์ว่าเซตของผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด
มีค่าสัมประสิทธิ์
จาก พีเป็นสเปซย่อย หลี่(ช่องว่างนี้ อาเรียกว่า สเปซย่อยที่สร้างโดยระบบเวกเตอร์
หรือ เปลือกเชิงเส้น ระบบเวกเตอร์นี้และแสดงไว้ดังนี้
หรือ
).

สารละลาย... อันที่จริงแล้วสำหรับองค์ประกอบใด ๆ x, yอาเรามี:
,
, ที่ไหน
,
... แล้ว

เพราะ
, แล้ว
นั่นเป็นเหตุผลที่
.

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของเงื่อนไขที่สองของทฤษฎีบท ถ้า x- เวกเตอร์ใด ๆ จาก อาและ t- ตัวเลขใด ๆ จาก พี, แล้ว . ตราบเท่าที่
และ
,
, แล้ว
,
นั่นเป็นเหตุผลที่
... ดังนั้น ตามทฤษฎีบท เซต อา- สเปซย่อยของสเปซเชิงเส้น หลี่.

คำสั่ง converse ยังเป็นจริงสำหรับช่องว่างเชิงเส้นที่มีมิติจำกัด

ทฤษฎีบท.ช่องว่างใดๆ อาปริภูมิเชิงเส้น หลี่เหนือสนาม คือสแปนเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์บางระบบ

ในการแก้ปัญหาการหาฐานและมิติของตัวเรือเชิงเส้น จะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.พื้นฐานฮัลล์เชิงเส้น
ตรงกับพื้นฐานของระบบเวกเตอร์
... มิติเปลือกเชิงเส้น
ตรงกับอันดับของระบบเวกเตอร์
.

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาพื้นฐานและมิติของสเปซย่อย
ปริภูมิเชิงเส้น R 3 [ x] , ถ้า
,
,
,
.

สารละลาย... เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเวกเตอร์และแถวพิกัด (คอลัมน์) ของพวกมันมีคุณสมบัติเหมือนกัน (ในแง่ของการพึ่งพาเชิงเส้น) การเขียนเมทริกซ์ อา=
จากคอลัมน์พิกัดของเวกเตอร์
ในพื้นฐาน
.

หาอันดับของเมทริกซ์ อา.

. เอ็ม 3 =
.
.

ดังนั้นอันดับ r(อา)= 3. ดังนั้น อันดับของระบบเวกเตอร์
เท่ากับ 3 ดังนั้น มิติของสเปซย่อย S เท่ากับ 3 และฐานประกอบด้วยเวกเตอร์สามตัว
(ตั้งแต่อยู่ในฐานรอง
รวมเฉพาะพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เท่านั้น).,. ระบบเวกเตอร์นี้เป็นอิสระเชิงเส้น แท้จริงแล้วให้เป็นเช่นนั้น

และ
.

ให้คุณมั่นใจได้ว่าระบบ
ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ใด ๆ xจาก ชม... สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า
ระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุดของเวกเตอร์ของสเปซย่อย ชม, เช่น.
- พื้นฐานใน ชมและสลัว ชม=น 2 .

หน้า 1

เซตย่อยของสเปซเชิงเส้นจะสร้างสเปซย่อย ถ้ามันถูกปิดภายใต้การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์

ตัวอย่างที่ 6.1 สเปซย่อยในระนาบสร้างชุดของเวกเตอร์หรือไม่ซึ่งปลายอยู่: a) ในไตรมาสแรก; ข) บนเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด? (ต้นกำเนิดของเวกเตอร์อยู่ที่จุดกำเนิด)

สารละลาย.

a) ไม่ เนื่องจากเซตไม่ปิดเนื่องจากการคูณด้วยสเกลาร์: เมื่อคูณด้วยจำนวนลบ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเข้าสู่ควอเตอร์ที่สาม

b) ใช่ เนื่องจากเมื่อเวกเตอร์ถูกบวกและคูณด้วยจำนวนใด ๆ ปลายของพวกมันจะยังคงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ภาคผนวก 6.1 ทำชุดย่อยต่อไปนี้ของช่องว่างเชิงเส้นที่สอดคล้องกันในรูปแบบสเปซย่อย:

ก) ชุดของเวกเตอร์ระนาบซึ่งสิ้นสุดในไตรมาสที่หนึ่งหรือสาม

b) ชุดของเวกเตอร์ของระนาบซึ่งปลายเป็นเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด

c) ชุดของเส้นพิกัด ((x 1, x 2, x 3)  x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) ชุดของเส้นพิกัด ((x 1, x 2, x 3)  x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) ชุดของเส้นพิกัด ((x 1, x 2, x 3)  x 1 = x 2 2)

มิติของสเปซเชิงเส้น L คือจำนวนสลัว L ของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานใดๆ ของมัน

มิติของผลรวมและจุดตัดของสเปซย่อยสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

สลัว (U + V) = สลัว U + สลัว V - สลัว (U  V)

PRI ฉัน R 6.2 ค้นหาฐานและมิติของผลรวมและจุดตัดของสเปซย่อยที่ขยายโดยระบบเวกเตอร์ต่อไปนี้:

สารละลาย แต่ละระบบของเวกเตอร์ที่สร้างสเปซย่อย U และ V เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น มันเป็นพื้นฐานของสเปซย่อยที่สอดคล้องกัน มาสร้างเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กัน จัดเรียงพวกมันเป็นคอลัมน์และแยกระบบหนึ่งออกจากอีกระบบหนึ่งด้วยเส้นตรง ลองลดเมทริกซ์ผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันได

~
~
~
.

พื้นฐาน U + V เกิดจากเวกเตอร์ , , ซึ่งองค์ประกอบชั้นนำสอดคล้องกันในเมทริกซ์แบบก้าว ดังนั้น สลัว (U + V) = 3 จากนั้น

สลัว (UV) = สลัว U + สลัว V - สลัว (U + V) = 2 + 2 - 3 = 1

จุดตัดของสเปซย่อยสร้างชุดของเวกเตอร์ที่เป็นไปตามสมการ (อยู่ที่ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการนี้) พื้นฐานทางแยกได้มาจากระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกับสมการเวกเตอร์นี้ เมทริกซ์ของระบบนี้ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแล้ว จากมัน เราสรุปได้ว่า y 2 เป็นตัวแปรอิสระ และเราใส่ y 2 = c จากนั้น 0 = y 1 - y 2, y 1 = c ,. และจุดตัดของสเปซย่อยสร้างเซตของเวกเตอร์ของรูปแบบ
= ค (3, 6, 3, 4) ดังนั้น UVV พื้นฐานจึงเป็นเวกเตอร์ (3, 6, 3, 4)

หมายเหตุ. 1. หากเรายังคงแก้ระบบโดยค้นหาค่าของตัวแปร x แล้วเราจะได้ x 2 = c, x 1 = c และทางด้านซ้ายของสมการเวกเตอร์เราจะได้เวกเตอร์
เท่ากับที่ได้รับข้างต้น

2. โดยใช้วิธีการที่ระบุ เราสามารถหาฐานสำหรับผลรวมได้ไม่ว่าระบบการกำเนิดของเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ แต่พื้นฐานทางแยกจะได้รับอย่างถูกต้องก็ต่อเมื่ออย่างน้อยระบบที่สร้างสเปซย่อยที่สองเป็นอิสระเชิงเส้น

3. หากกำหนดว่ามิติของทางแยกมีค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าทางแยกนั้นไม่มีพื้นฐาน และไม่จำเป็นต้องค้นหา

เหมาะสม 6.2. ค้นหาฐานและมิติของผลรวมและจุดตัดของสเปซย่อยที่ขยายโดยระบบเวกเตอร์ต่อไปนี้:

ก)

ข)