ความชันคือ 1 สมการของเส้นตรงที่มีความชัน ความชันของแทนเจนต์

ความต่อเนื่องของหัวข้อ สมการเส้นตรงบนระนาบขึ้นอยู่กับการศึกษาเส้นตรงจากบทเรียนพีชคณิต บทความนี้ให้ข้อมูลทั่วไปในหัวข้อสมการของเส้นตรงที่มีความชัน พิจารณาคำจำกัดความ หาสมการ และระบุความเชื่อมโยงกับสมการประเภทอื่น จะพิจารณาทุกอย่างโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ก่อนเขียนสมการดังกล่าว จำเป็นต้องกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน O x ด้วยความชัน สมมุติว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนด O x บนระนาบ

คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน O xซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y บนระนาบ นี่คือมุมที่วัดจากทิศทางบวก O x ถึงเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อเส้นตรงขนานกับ O x หรือชิดกัน มุมเอียงจะเป็น 0 จากนั้นมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนด α จะถูกกำหนดในช่วงเวลา [0, π)

คำจำกัดความ 2

ความชันของเส้นตรงคือ แทนเจนต์ของความชันของเส้นตรงที่กำหนด

การกำหนดมาตรฐานคือตัวอักษร k จากคำจำกัดความเราได้รับว่า k = t ก. α เมื่อเส้นขนานกับ Ox เขาว่าความชันไม่มีอยู่จริง เพราะมันไปที่อนันต์

ความชันเป็นค่าบวกเมื่อกราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและในทางกลับกัน รูปภาพแสดงการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ในตำแหน่งมุมฉากที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดด้วยค่าสัมประสิทธิ์

ในการหามุมนี้ คุณต้องใช้คำจำกัดความของความชันและคำนวณแทนเจนต์ของมุมเอียงในระนาบ

สารละลาย

จากเงื่อนไขเราจะได้ว่า α = 120 ° ตามคำจำกัดความ คุณต้องคำนวณความชัน ให้เราหามันจากสูตร k = t g α = 120 = - 3

ตอบ: k = - 3 .

หากทราบความชัน แต่จำเป็นต้องหามุมเอียงกับแกน abscissa ควรพิจารณาค่าของความชันด้วย ถ้า k> 0 มุมจะเป็นมุมแหลมและหาได้จากสูตร α = a r c t g k ถ้า k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

ตัวอย่าง 2

กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดให้กับ O x ด้วยความชันเท่ากับ 3

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เรามี ความชันเป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงถึง O x น้อยกว่า 90 องศา การคำนวณทำตามสูตร α = a r c t g k = a r c t g 3

คำตอบ: α = a r c t g 3

ตัวอย่างที่ 3

จงหามุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน O x หากความชัน = - 1 3

สารละลาย

หากเราใช้ตัวอักษร k สำหรับการกำหนดความชัน α คือมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดในทิศทางบวก O x ดังนั้น k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6

ตอบ: 5 พาย 6

สมการของรูปแบบ y = k x + b โดยที่ k คือความชันและ b เป็นจำนวนจริง เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน สมการนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน O y

หากเราพิจารณารายละเอียดเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคงที่ ซึ่งกำหนดโดยสมการที่มีความชันซึ่งมีรูปแบบ y = k x + b ในกรณีนี้ หมายความว่าสมการสอดคล้องกับพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง ถ้าเราแทนพิกัดของจุด M, M 1 (x 1, y 1) ลงในสมการ y = kx + b ในกรณีนี้ เส้นจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้น จุดนั้นจะไม่อยู่ในเส้น .

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดเส้นตรงที่มีความชัน y = 1 3 x - 1 คำนวณว่าจุด M 1 (3, 0) และ M 2 (2, - 2) เป็นของเส้นที่กำหนดหรือไม่

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุด M 1 (3, 0) ลงในสมการที่กำหนด จากนั้นเราจะได้ 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ความเท่าเทียมกันเป็นความจริง ดังนั้นประเด็นจึงเป็นของเส้นตรง

หากเราแทนที่พิกัดของจุด M 2 (2, - 2) เราจะได้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง - 2 = 1 3 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 สรุปได้ว่าจุด M 2 ไม่เป็นเส้นตรง

ตอบ: M 1 เป็นเส้นตรง แต่ M 2 ไม่ใช่

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ y = k · x + b ผ่าน M 1 (0, b) หลังจากการแทนที่ เราได้ค่าความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b = k · 0 + b ⇔ b = b . ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y = k x + b บนระนาบกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุด 0, b มันสร้างมุม α ที่มีทิศทางบวกของแกน O x โดยที่ k = t g α

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเส้นตรงที่กำหนดโดยใช้ความชันที่กำหนดโดยรูปแบบ y = 3 x - 1 เราได้เส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่มีพิกัด 0, - 1 โดยมีความเอียงใน α = a r c t g 3 = π 3 เรเดียน ตามทิศทางบวกของแกน O x นี่แสดงว่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 3

สมการของเส้นตรงที่มีความชันผ่านจุดที่กำหนด

จำเป็นต้องแก้ปัญหาเมื่อจำเป็นต้องได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนดผ่านจุด M 1 (x 1, y 1)

ความเท่าเทียมกัน y 1 = k x + b ถือว่าใช้ได้ เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) ในการเอาเลข b ออก คุณต้องลบสมการที่มีความชันออกจากด้านซ้ายและด้านขวา จากนี้ไป y - y 1 = k · (x - x 1) ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนด k โดยผ่านพิกัดของจุด M 1 (x 1, y 1)

ตัวอย่างที่ 5

ให้เส้นตรงผ่านจุด M 1 ที่มีพิกัด (4, - 1) โดยมีความชันเท่ากับ - 2

สารละลาย

ตามสมมติฐาน เรามีว่า x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 ดังนั้น สมการของเส้นตรงสามารถเขียนได้ดังนี้: y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7

ตอบ: y = - 2 x + 7

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชันซึ่งผ่านจุด M 1 พร้อมพิกัด (3, 5) ขนานกับเส้นตรง y = 2 x - 2

สารละลาย

ตามสมมติฐาน เรามีเส้นตรงคู่ขนานที่มีมุมลาดเอียงเท่ากัน ดังนั้นจึงหมายความว่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน ในการหาความชันจากสมการนี้ คุณต้องจำสูตรพื้นฐานของมัน y = 2 x - 2 ตามด้วย k = 2 เราสร้างสมการที่มีความชันและรับ:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

ตอบ: y = 2 x - 1 .

การเปลี่ยนจากสมการเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการเส้นตรงแบบอื่นและในทางกลับกัน

สมการดังกล่าวใช้ไม่ได้ในการแก้ปัญหาเสมอไป เนื่องจากมีบันทึกที่ไม่สะดวก สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องนำเสนอในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่น สมการของรูปแบบ y = k x + b ไม่อนุญาตให้เขียนพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเรียนรู้วิธีแสดงสมการประเภทอื่น

เราสามารถหาสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบได้โดยใช้สมการของเส้นตรงที่มีความชัน เราได้ x - x 1 a x = y - y 1 a y จำเป็นต้องย้ายพจน์ b ไปทางด้านซ้ายและหารด้วยนิพจน์ของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k

สมการของเส้นตรงที่มีความชันกลายเป็นสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนด

ตัวอย่าง 7

นำสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y = - 3 x + 12 มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ

สารละลาย

ให้เราคำนวณและแสดงในรูปของสมการมาตรฐานของเส้นตรง เราได้รับสมการของรูปแบบ:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

คำตอบ: x 1 = y - 12 - 3

สมการทั่วไปของเส้นตรงนั้นหาได้ง่ายที่สุดจาก y = k x + b แต่สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องทำการแปลง: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0 การเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นตรงไปเป็นสมการประเภทอื่น

ตัวอย่างที่ 8

ให้สมการเส้นตรงของรูปแบบ y = 1 7 x - 2 ค้นหาว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (-1, 7) เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงหรือไม่

สารละลาย

ในการแก้ คุณต้องไปที่รูปแบบอื่นของสมการนี้ สำหรับสิ่งนี้ เราเขียน:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

สัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปรคือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง เราเขียนเป็น n → = 1 7, - 1 ดังนั้น 1 7 x - y - 2 = 0 เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์ a → = (- 1, 7) เป็นเส้นตรงกับเวกเตอร์ n → = 1 7, - 1 เนื่องจากเรามีความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง a → = - 7 n → ตามด้วยเวกเตอร์เดิม a → = - 1, 7 เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้น 1 7 x - y - 2 = 0 ดังนั้นจึงถือว่าเป็นเวกเตอร์ปกติสำหรับเส้น y = 1 7 x - 2

ตอบ:เป็น

มาแก้ปัญหาผกผันของโจทย์ที่ให้มากัน

จำเป็นต้องเปลี่ยนจากรูปแบบทั่วไปของสมการ A x + B y + C = 0 โดยที่ B ≠ 0 เป็นสมการที่มีความชัน สำหรับสิ่งนี้เราแก้สมการของ y เราได้ A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่มีความชันเท่ากับ - A B

ตัวอย่างที่ 9

ให้สมการเส้นตรงของรูปแบบ 2 3 x - 4 y + 1 = 0 รับสมการของเส้นที่กำหนดด้วยความชัน

สารละลาย

ตามเงื่อนไขจำเป็นต้องแก้หา y จากนั้นเราจะได้สมการของแบบฟอร์ม:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4

คำตอบ: y = 1 6 x + 1 4

ในทำนองเดียวกัน สมการของรูปแบบ x a + y b = 1 ได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งเรียกว่าสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ หรือรูปแบบบัญญัติ x - x 1 a x = y - y 1 a y จำเป็นต้องแก้สมการกับ y จากนั้นเราจะได้สมการที่มีความชัน:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b

สมการบัญญัติสามารถลดลงให้อยู่ในรูปแบบความชันได้ สำหรับสิ่งนี้:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = axe (y - y 1) ⇔ ⇔ ax y = ay x - ay x 1 + ขวาน y 1 ⇔ y = ayax x - ayax x 1 + y 1

ตัวอย่าง 10

มีเส้นตรงจากสมการ x 2 + y - 3 = 1 ลดสมการความชัน

สารละลาย.

ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องแปลง จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ _formula_ ทั้งสองข้างของสมการต้องคูณด้วย - 3 เพื่อให้ได้สมการความชันที่ต้องการ การเปลี่ยนแปลงเราได้รับ:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3

ตอบ: y = 3 2 x - 3

ตัวอย่าง 11

สมการของเส้นตรงของรูปแบบ x - 2 2 = y + 1 5 นำมาซึ่งรูปแบบที่มีความชัน

สารละลาย

นิพจน์ x - 2 2 = y + 1 5 ต้องคำนวณเป็นสัดส่วน เราได้ 5 (x - 2) = 2 (y + 1) ตอนนี้คุณต้องแก้ไขอย่างเต็มที่สำหรับสิ่งนี้:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

คำตอบ: y = 5 2 x - 6

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว สมการพาราเมทริกของเส้นตรงของรูปแบบ x = x 1 + ขวาน · λ y = y 1 + ay · λ ควรลดลงเป็นสมการมาตรฐานของเส้นตรง หลังจากนั้นจะผ่านไปได้ สมการกับความชัน

ตัวอย่าง 12

หาความชันของเส้นตรงหากกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = λ y = - 1 + 2 · λ

สารละลาย

คุณต้องเปลี่ยนจากมุมมองแบบพาราเมตริกเป็นความชัน ในการทำสิ่งนี้ เราพบสมการบัญญัติจากพาราเมทริกที่ให้มา:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2

ตอนนี้ คุณต้องแก้สมการนี้สำหรับ y เพื่อให้ได้สมการของเส้นตรงที่มีความชัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เขียนดังนี้:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

เป็นไปตามความชันของเส้นตรงเท่ากับ 2 มันเขียนว่า k = 2

ตอบ:เค = 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter

ในพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงแต่ละเส้นถูกกำหนดโดยสมการของดีกรีหนึ่ง และในทางกลับกัน สมการของดีกรีแรกแต่ละเส้นจะกำหนดเส้นตรง

สมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่าสมการทั่วไปของเส้นตรง

มุมที่กำหนดดังแสดงในรูปเรียกว่ามุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน Ox แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน Ox เรียกว่า ความชันของเส้นตรง มันมักจะแสดงด้วยตัวอักษร k:

สมการนี้เรียกว่าสมการเส้นตรงที่มีความชัน k คือความชัน b คือค่าของส่วนที่ถูกตัดโดยเส้นตรงบนแกน Oy นับจากจุดเริ่มต้น

ถ้าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป

,

ความชันถูกกำหนดโดยสูตร

สมการ คือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (,) และมีความชัน k

หากเส้นตรงผ่านจุด (,), (,) ความชันจะถูกกำหนดโดยสูตร

สมการ

คือสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด (,) และ (,)

ถ้าทราบความชันของเส้นตรงสองเส้น มุมหนึ่งระหว่างเส้นตรงเหล่านี้จะถูกกำหนดโดยสูตร

.

สัญญาณของการขนานกันของเส้นตรงสองเส้นคือความเท่าเทียมกันของความชัน:

เครื่องหมายของการตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นคืออัตราส่วนหรือ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความชันของเส้นตรงตั้งฉากเป็นส่วนกลับในค่าสัมบูรณ์และตรงข้ามในเครื่องหมาย

4.สมการทั่วไปของเส้นตรง

สมการ

ขวาน + อู๋ + C = 0

(ที่ไหน A, B, Cสามารถมีค่าใด ๆ ก็ได้ ตราบใดที่สัมประสิทธิ์ A, Bไม่ใช่ศูนย์ทั้งสองพร้อมกัน) หมายถึง เส้นตรง... เส้นตรงใดๆ สามารถแทนด้วยสมการชนิดนี้ได้ จึงเรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรง.

ถ้า อาXแล้วมันแทนเส้นตรง ขนานกับแกน OX.

ถ้า วี= 0 นั่นคือสมการไม่มี ที่แล้วมันแทนเส้นตรง ขนานกับแกน OY.

Cogla วีไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการทั่วไปของเส้นตรงจะได้ แก้สัมพันธ์กับออดิชั่นที่ จากนั้นจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ

(ที่ไหน a = -A / B; b = -C / B).

ในทำนองเดียวกัน สำหรับ อาไม่ใช่ศูนย์ สมการทั่วไปของเส้นแก้ได้ด้วยความเคารพ X.

ถ้า กับ= 0 นั่นคือ สมการทั่วไปของเส้นตรงไม่มีพจน์ว่าง จากนั้นจึงแทนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด

5. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดด้วยความชันที่กำหนด

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด อา(x 1 , y 1) ในทิศทางที่กำหนดโดยกำหนดโดยความชัน k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดมัดของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด อา(x 1 , y 1) ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของลำแสง

6. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด: อา(x 1 , y 1) และ บี(x 2 , y 2) เขียนได้ดังนี้

ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

7. สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปมีเส้นตรงแล้วหาร (1) เราจะได้สมการของเส้นตรงเป็นเซ็กเมนต์

ที่ไหน , . เส้นตรงตัดกับแกนที่จุดหนึ่ง แกนที่จุดหนึ่ง

8. สูตร: มุมระหว่างเส้นตรงบนระนาบ

มี เป้าหมาย α ระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการ: y = k 1 x + ข 1 (บรรทัดแรก) และ y = k 2 x + ข 2 (เส้นตรงที่สอง) สามารถคำนวณได้โดยสูตร (มุมนับจากเส้นตรงที่ 1 ถึงเส้นที่ 2 ทวนเข็มนาฬิกา ):

9. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ

ให้ทั้งสองคนตอนนี้ สมการเส้นตรงเขียนในรูปแบบทั่วไป

ทฤษฎีบท. อนุญาต

- เป็นเรื่องธรรมดา สมการสองบรรทัดบน ประสานงานเครื่องบินออกซี่ แล้ว

1) ถ้า แล้ว ตรงและจับคู่;

2) ถ้า แล้ว เส้นตรง และ

ขนาน;

3) ถ้า แล้ว ตรงตัด.

การพิสูจน์. เงื่อนไขเทียบเท่ากับ collinearity ของปกติ เวกเตอร์ข้อมูลโดยตรง:

ดังนั้น ถ้า แล้ว ตรงตัด.

ถ้า , แล้วก็, และ สมการ ตรงใช้แบบฟอร์ม:

หรือ , เช่น. ตรงจับคู่. สังเกตว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน มิฉะนั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดทั่วไป สมการจะเท่ากับศูนย์ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถ้า ตรงไม่ตรงกันและไม่ตัดกัน คดีก็ยังคงอยู่ กล่าวคือ ตรงเป็นแบบขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เรียนรู้การหาอนุพันธ์จากฟังก์ชันอนุพันธ์กำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ในกรณีนี้ กราฟอาจเป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้ นั่นคืออนุพันธ์กำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ จำกฎทั่วไปที่ใช้อนุพันธ์และจากนั้นดำเนินการในขั้นตอนต่อไป

• อ่านบทความ.
• อธิบายวิธีหาอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด เช่น อนุพันธ์ของสมการเลขชี้กำลัง การคำนวณที่นำเสนอในขั้นตอนต่อไปนี้จะขึ้นอยู่กับวิธีการที่อธิบายไว้ในนั้น

เรียนรู้ที่จะแยกแยะระหว่างปัญหาที่ต้องคำนวณความชันในแง่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในปัญหาไม่ได้เสนอให้หาความชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเสมอไป ตัวอย่างเช่น คุณอาจถูกขอให้ค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุด A (x, y) คุณอาจถูกขอให้หาความชันของเส้นสัมผัสที่จุด A (x, y) ในทั้งสองกรณี จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่คุณได้รับคุณไม่จำเป็นต้องพล็อตกราฟที่นี่ คุณแค่ต้องการสมการของฟังก์ชันเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x)... หาอนุพันธ์ตามวิธีการที่ระบุไว้ในบทความที่กล่าวถึงข้างต้น:

แทนที่พิกัดของจุดที่มอบให้คุณในอนุพันธ์ที่พบเพื่อคำนวณความชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับความชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง f "(x) คือความชันของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ (x, f (x)) ในตัวอย่างของเรา:

ในวิชาคณิตศาสตร์ พารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบคาร์ทีเซียนของพิกัดคือความชันของเส้นตรงนี้ พารามิเตอร์นี้แสดงลักษณะความชันของเส้นตรงไปยังแกน abscissa เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาความชัน ก่อนอื่นให้นึกถึงรูปแบบทั่วไปของสมการของเส้นตรงในระบบพิกัด XY

โดยทั่วไป เส้นตรงใดๆ สามารถแสดงด้วยนิพจน์ ax + โดย = c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ แต่จำเป็นต้องมี 2 + b 2 ≠ 0

สมการที่คล้ายกันโดยใช้การแปลงอย่างง่ายสามารถนำไปอยู่ในรูปแบบ y = kx + d โดยที่ k และ d เป็นจำนวนจริง ตัวเลข k คือความชัน และสมการของเส้นตรงประเภทนี้เรียกว่าสมการความชัน ปรากฎว่าในการหาความชัน คุณแค่ต้องนำสมการดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่ระบุด้านบน เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

ปัญหา: หาความชันของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ 36x - 18y = 108

วิธีแก้ไข: แปลงสมการเดิม

คำตอบ: ความชันที่ต้องการของเส้นนี้คือ 2

หากในระหว่างการแปลงสมการเราได้รับนิพจน์ประเภท x = const และเป็นผลให้เราไม่สามารถแทน y เป็นฟังก์ชันของ x ได้ แสดงว่าเรากำลังจัดการกับเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ความชันของ เส้นตรงนั้นเท่ากับอนันต์

สำหรับเส้นตรงที่แสดงโดยสมการเช่น y = const ความชันเป็นศูนย์ นี่เป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกน abscissa ตัวอย่างเช่น:

ปัญหา: หาความชันของเส้นตรงจากสมการ 24x + 12y - 4 (3y + 7) = 4

วิธีแก้ปัญหา: ให้เรานำสมการดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป

24x + 12y - 12y + 28 = 4

เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงค่า y จากนิพจน์ผลลัพธ์ ดังนั้นความชันของเส้นตรงนี้จึงเท่ากับอนันต์ และเส้นตรงจะขนานกับแกน Y

ความหมายทางเรขาคณิต

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น ลองเปิดภาพ:

ในรูป เราจะเห็นกราฟของฟังก์ชัน เช่น y = kx เพื่อความง่าย เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์ c = 0 ในรูปสามเหลี่ยม OAB อัตราส่วนของด้าน BA ต่อ AO จะเท่ากับความชัน k ในเวลาเดียวกัน อัตราส่วน BA / AO คือแทนเจนต์ของมุมแหลม α ใน OAB สามเหลี่ยมมุมฉาก ปรากฎว่าความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เส้นตรงนี้กับแกน abscissa ของตารางพิกัดสร้าง

การแก้ปัญหาการหาความชันของเส้นตรง เราพบแทนเจนต์ของมุมระหว่างมันกับแกน X ของตารางพิกัด กรณีขอบเขต เมื่อเส้นที่พิจารณาอยู่ขนานกับแกนพิกัด ให้ยืนยันข้างต้น แน่นอน สำหรับเส้นตรงที่อธิบายโดยสมการ y = const มุมระหว่างมันกับแกน abscissa จะเป็นศูนย์ แทนเจนต์ของมุมศูนย์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน และความชันยังเป็นศูนย์ด้วย

สำหรับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน abscissa และอธิบายโดยสมการ x = const มุมระหว่างพวกมันกับแกน x คือ 90 องศา แทนเจนต์ของมุมฉากเท่ากับอนันต์ และความชันของเส้นตรงนั้นเท่ากับอนันต์ ซึ่งยืนยันสิ่งที่เขียนด้านบนนี้

ความชันของแทนเจนต์

งานทั่วไปที่มักพบบ่อยคือการค้นหาความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง เส้นสัมผัสเป็นเส้นตรง ดังนั้น แนวความคิดของความชันก็นำไปใช้กับมันด้วย

ในการหาวิธีหาความชันของเส้นสัมผัส เราต้องจำแนวคิดของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ที่จุดใดจุดหนึ่งเป็นค่าคงที่ที่เป็นตัวเลขเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดขึ้นระหว่างแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนดกับกราฟของฟังก์ชันนี้กับแกนแอบซิสซา ปรากฎว่าการหาความชันของเส้นสัมผัสที่จุด x 0 เราจำเป็นต้องคำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้ k = f "(x 0) พิจารณาโดยตัวอย่าง:

ปัญหา: หาความชันของเส้นสัมผัสของฟังก์ชัน y = 12x 2 + 2xe x ที่ x = 0.1

วิธีแก้ไข: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิมในรูปแบบทั่วไป

y "(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

คำตอบ: ความชันที่ต้องการที่จุด x = 0.1 คือ 4.831