สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุด กาลิเลโอ - กฎกลศาสตร์ของนิวตัน

ปัญหาที่สองของไดนามิกแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนไหว กฎสำหรับการรวบรวมสมการดังกล่าวขึ้นอยู่กับว่าเราต้องการกำหนดการเคลื่อนที่ของจุดอย่างไร

1) การกำหนดการเคลื่อนที่ของจุดในลักษณะพิกัด

ปล่อยให้ประเด็น เอ็มเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของหลาย ๆ กองกำลัง (รูปที่ 13.2) มาเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกและฉายเวกเตอร์ความเท่าเทียมกันบนแกน x, y, z:

แต่การคาดคะเนความเร่งบนแกนเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดของจุดในเวลา ดังนั้นเราจึงได้รับ

b) แสดงจุดในตำแหน่งตรงกลาง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าพิกัดของตำแหน่งดังกล่าวจำเป็นต้องเป็นค่าบวก (รูปที่ 13.3)

c) แสดงแรงที่กระทำต่อจุดในตำแหน่งตรงกลางนี้ (อย่าแสดงแรงเฉื่อย!)

ในตัวอย่าง 13.2 เป็นเพียงแรงซึ่งเป็นน้ำหนักของแกนกลาง เราจะไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ

d) สร้างสมการอนุพันธ์ตามสูตร (13.1):. จากที่นี่เราได้สมการสองสมการ: และ

จ) แก้สมการเชิงอนุพันธ์

สมการที่ได้รับที่นี่คือ - สมการเชิงเส้นลำดับที่สองทางด้านขวา - ค่าคงที่ คำตอบของสมการเหล่านี้เป็นพื้นฐาน

และ

มันยังคงค้นหาค่าคงที่การรวม เราแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้น (for เสื้อ = 0 x = 0, y = h, , ) ลงในสมการทั้งสี่นี้: ยูโคซ่า = ค 1 , ยูซิน่า = ดี 1 , 0 = กับ 2 , ชม = ดี 2 .

เราแทนค่าคงที่ลงในสมการและเขียนสมการการเคลื่อนที่ของจุดในรูปแบบสุดท้าย

การมีสมการเหล่านี้ ดังที่ทราบจากส่วนของจลนศาสตร์ จึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดวิถีโคจรของนิวเคลียส ความเร็ว และความเร่ง และตำแหน่งของนิวเคลียสในช่วงเวลาใดก็ได้

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างนี้ โครงร่างการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย ความยากอาจเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์เท่านั้น ซึ่งอาจเป็นเรื่องยาก

2) การกำหนดจุดเคลื่อนที่อย่างเป็นธรรมชาติ

วิธีการพิกัดมักใช้เพื่อกำหนดการเคลื่อนที่ของจุด ไม่จำกัดโดยเงื่อนไขใดๆ การเชื่อมต่อ หากมีการกำหนดข้อจำกัดในการเคลื่อนที่ของจุด ความเร็ว หรือพิกัด การระบุการเคลื่อนไหวในลักษณะพิกัดนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลย จะสะดวกกว่าหากใช้วิธีกำหนดการเคลื่อนไหวตามธรรมชาติ

มากำหนดกัน ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของจุดบนเส้นคงที่ที่กำหนด ไปตามวิถีที่กำหนด (รูปที่ 13.4)

ถึงที่หมาย เอ็มนอกจากแรงกระทำที่ระบุแล้ว ปฏิกิริยาของเส้นยังทำหน้าที่ แสดงส่วนประกอบของปฏิกิริยาตามแกนธรรมชาติ

มาเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกและฉายบนแกนธรรมชาติกัน

เพราะ แล้วเราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ เช่น

(13.2)

ที่นี่แรงคือแรงเสียดทาน หากเส้นที่จุดเคลื่อนที่นั้นราบเรียบแสดงว่า ตู่= 0 จากนั้นสมการที่สองจะมีตัวที่ไม่รู้จักเพียงตัวเดียว - พิกัด ส:

เมื่อแก้สมการนี้แล้ว เราก็ได้กฎการเคลื่อนที่ของจุด s = s (ท)ซึ่งหมายความว่าหากจำเป็นทั้งความเร็วและความเร่ง สมการที่หนึ่งและสาม (13.2) จะช่วยให้เราค้นหาปฏิกิริยาและ

โครงร่างสำหรับการแก้ปัญหาเหมือนกับวิธีการพิกัด (ตัวอย่าง 13.2) ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการเลือกเพลา ที่นี่ขวาน นู๋และ ตู่ย้ายไปอยู่กับนักเล่นสกี เนื่องจากวิถีเป็นเส้นแบน แกน วี, กำกับไปตามไบนอร์มัล, ไม่จำเป็นต้องแสดง (การฉายภาพบนแกน วีแรงที่กระทำต่อนักสกีจะเป็นศูนย์)

สมการเชิงอนุพันธ์โดย (13.2) เราได้รับดังต่อไปนี้

(13.3)

สมการแรกกลายเป็นไม่เชิงเส้น: เพราะ ส=r j แล้วเขียนใหม่ได้ดังนี้ ... สมการดังกล่าวสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ครั้งเดียว มาเขียนกันเถอะ จากนั้นตัวแปรในสมการอนุพันธ์จะแยกจากกัน: ... บูรณาการให้โซลูชั่น ตั้งแต่ที่ t= 0 เจ = 0 แล้วก็ กับ 1 = 0 และ เอ

มุมมองทั่วไป

พารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะของการเคลื่อนที่ของของไหล ได้แก่ ความดัน ความเร็ว และความเร่ง ซึ่งขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดวัสดุในอวกาศ การเคลื่อนที่ของของไหลมีสองประเภท: สถานะคงตัวและไม่เสถียร การเคลื่อนที่เรียกว่าสภาวะคงตัว ถ้าพารามิเตอร์ของการเคลื่อนที่ของของไหล ณ จุดที่กำหนดในอวกาศไม่ขึ้นอยู่กับเวลา การเคลื่อนไหวที่ไม่เป็นไปตามคำจำกัดความนี้เรียกว่าไม่คงที่ ดังนั้นด้วยการเคลื่อนไหวที่มั่นคง

การเคลื่อนไหวไม่คงที่

ตัวอย่างของการเคลื่อนที่ในสภาวะคงตัวคือการไหลของของเหลวออกจากช่องเปิดในผนังของถัง ซึ่งคงระดับคงที่โดยการเติมของเหลวอย่างต่อเนื่อง หากภาชนะว่างเปล่าผ่านช่องเปิดโดยไม่มีการเติม ความดัน ความเร็ว และรูปร่างของการไหลจะเปลี่ยนไปตามกาลเวลา และการเคลื่อนไหวจะไม่เสถียร การเคลื่อนที่อย่างมั่นคงเป็นกระแสหลักในงานวิศวกรรม

การเคลื่อนไหวนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นหากไม่มีการแยกกระแสจากผนังกั้นด้วยการก่อตัวของพื้นที่ของกระแสน้ำวนนิ่งที่จุดแยก

ขึ้นอยู่กับลักษณะของการเปลี่ยนแปลงของความเร็วตามความยาวของการไหล การเคลื่อนไหวที่แปรผันอย่างราบรื่นสามารถสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ การเคลื่อนที่ประเภทแรกสอดคล้องกับกรณีที่ส่วนที่เปิดเท่ากันตลอดความยาวของกระแสน้ำ และความเร็วมีค่าคงที่ในขนาด มิฉะนั้นการเคลื่อนไหวที่ราบรื่นจะไม่สม่ำเสมอ ตัวอย่างของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอคือการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในท่อทรงกระบอกที่มีหน้าตัดคงที่ การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอจะเกิดขึ้นในท่อที่มีหน้าตัดแบบแปรผันซึ่งมีการขยายตัวที่อ่อนแอและรัศมีความโค้งของการไหลขนาดใหญ่ ขึ้นอยู่กับแรงกดบนพื้นผิวที่จำกัดการไหลของของไหล การเคลื่อนที่อาจเป็นได้ทั้งแบบมีแรงดันและไม่แรงดัน การเคลื่อนที่ของแรงดันมีลักษณะเป็นผนังทึบในส่วนที่มีชีวิต และมักจะเกิดขึ้นในท่อปิดเมื่อส่วนตัดขวางนั้นเต็ม กล่าวคือ ในกรณีที่ไม่มีพื้นผิวว่างในการไหล การไหลแบบอิสระมีพื้นผิวอิสระติดกับก๊าซ การเคลื่อนไหวอย่างอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง

เมื่อศึกษาของเหลว จะใช้วิธีวิเคราะห์ที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสองวิธี: ลากรองจ์และออยเลอร์ที่มีการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง โดยแยกอนุภาคในนั้นด้วยพิกัดเริ่มต้นที่กำหนดและติดตามวิถีของมัน

จากข้อมูลของ Lagrange การไหลของของไหลถือเป็นชุดของวิถีที่อธิบายโดยอนุภาคของไหล เวกเตอร์ทั่วไปของความเร็วของอนุภาคของเหลว ตรงกันข้ามกับความเร็วของของแข็ง โดยทั่วไปประกอบด้วยสามองค์ประกอบ: พร้อมกับการถ่ายโอนและความเร็วสัมพัทธ์ของอนุภาคของเหลว อัตราการเปลี่ยนรูปเป็นไปตามธรรมชาติ วิธีการของลากรองจ์กลายเป็นเรื่องยุ่งยากและไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลาย

ตามวิธีการของออยเลอร์ จะพิจารณาความเร็วของของไหลที่จุดคงที่ในอวกาศ ในกรณีนี้ ความเร็วและความดันของของไหลจะแสดงเป็นฟังก์ชันของพิกัดของอวกาศและเวลา และการไหลจะแสดงด้วยสนามเวกเตอร์ของความเร็วที่เกี่ยวข้องกับจุดคงที่ในอวกาศ ในสาขาความเร็ว สามารถสร้างกระแสได้ ซึ่งในช่วงเวลาที่กำหนดจะสัมผัสกับเวกเตอร์ความเร็วของของไหล ณ จุดแต่ละจุดในอวกาศ สมการความคล่องตัวคือ

โดยที่การคาดคะเนความเร็วบนแกนพิกัดที่สอดคล้องกันจะอ้างอิงถึงการคาดคะเนของการเพิ่มขึ้นแบบคล่องตัว ดังนั้น ตามออยเลอร์ การไหลโดยรวมในช่วงเวลาที่กำหนดจะถูกแสดงโดยสนามเวกเตอร์ของความเร็วที่เกี่ยวข้องกับจุดคงที่ในอวกาศ ซึ่งทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ในจลนศาสตร์และไดนามิก พิจารณาโมเดลเจ็ตของการเคลื่อนที่ของของไหล ซึ่งโฟลว์จะแสดงเป็นประกอบด้วยกระแสพื้นฐานที่แยกจากกัน ในกรณีนี้ กระแสน้ำไหลรินจะแสดงเป็นส่วนหนึ่งของการไหลของของไหลภายในท่อสตรีมที่เกิดขึ้นจากเส้นสตรีมที่ผ่านส่วนตัดขวางที่เล็กที่สุด พื้นที่หน้าตัดของท่อลำธารตั้งฉากกับลำธารเรียกว่าส่วนที่มีชีวิตของลำธารประถม

ด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ สตรีมระดับประถมศึกษาจะไม่เปลี่ยนโครงร่างในอวกาศ การไหลของของไหลโดยทั่วไปจะเป็นสามมิติหรือเชิงปริมาตร การไหลของระนาบสองมิติและการไหลในแนวแกนหนึ่งมิตินั้นง่ายกว่า ในระบบไฮดรอลิกส์จะพิจารณาการไหลแบบมิติเดียวเป็นหลัก

ปริมาตรของของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่เปิดต่อหน่วยเวลาเรียกว่า อัตราการไหล

ความเร็วของของไหล ณ จุดหนึ่งคืออัตราส่วนของอัตราการไหลของหยดมูลฐานที่ผ่านจุดที่กำหนดไปยังพื้นที่ไหลของหยด dS

สำหรับการไหลของของไหล ความเร็วของอนุภาคเหนือพื้นที่ว่างจะต่างกัน ในกรณีนี้ ความเร็วของของไหลจะถูกหาค่าเฉลี่ย และปัญหาทั้งหมดได้รับการแก้ไขโดยสัมพันธ์กับความเร็วเฉลี่ย กฎข้อนี้เป็นหนึ่งในกฎพื้นฐานในระบบไฮดรอลิกส์ อัตราการไหลผ่านส่วน

และความเร็วเฉลี่ย

ความยาวของเส้นชั้นความสูงอิสระที่ไหลสัมผัสกับผนังของช่อง (ท่อ) ที่เรียกว่าปริมณฑลเปียก ระหว่างการเคลื่อนที่ของแรงดัน เส้นรอบวงที่เปียกจะเท่ากับเส้นรอบรูปเต็มของส่วนที่ไหลอย่างอิสระ และระหว่างการเคลื่อนที่แบบไหลอิสระ เส้นรอบวงที่เปียกจะน้อยกว่าเส้นรอบรูปเรขาคณิตของส่วนช่อง เนื่องจากมีพื้นผิวว่างที่ไม่ สัมผัสกับผนัง (รูปที่ 15)

อัตราส่วนของพื้นที่ว่างต่อปริมณฑลเปียก

เรียกว่ารัศมีไฮดรอลิคอาร์

ตัวอย่างเช่น ในการเคลื่อนที่ของแรงดันในท่อกลม รัศมีเรขาคณิต เส้นรอบวงเปียก และรัศมีไฮดรอลิก ค่านี้มักเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเทียบเท่า d eq

สำหรับช่องหน้าตัดสี่เหลี่ยมที่มีการเคลื่อนที่ของแรงดัน ; .

ข้าว. 15.องค์ประกอบการไหลของไฮดรอลิก

ข้าว. 16. การหาที่มาของสมการความต่อเนื่องของการไหล

กรณีไม่มีแรงกด

นี่คือขนาดของส่วนตัดขวางของช่อง (ดูรูปที่ 15) สมการพื้นฐานของจลนศาสตร์ของไหล สมการไม่ต่อเนื่องกัน ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของการบีบอัดไม่ได้ ของไหล และความต่อเนื่องของการเคลื่อนที่ ระบุว่าในแต่ละช่วงเวลา อัตราการไหลผ่านส่วนของการไหลตามอำเภอใจจะเท่ากับอัตราการไหลผ่านส่วนใดๆ ส่วนที่อยู่อาศัยอื่น ๆ ของกระแสนี้

แสดงถึงการไหลผ่านส่วนในรูปแบบ

ได้จากสมการความต่อเนื่อง

จากนั้นอัตราการไหลจะเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ส่วนที่มีชีวิต (รูปที่ 16)

สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่

สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติสามารถหาได้โดยใช้สมการการพัก (2.3) ถ้าตามจุดเริ่มต้นของดาล็องแบร์ ​​แรงเฉื่อยที่อ้างถึงมวลของของไหลเคลื่อนที่ ถูกใส่เข้าไปในสมการเหล่านี้ ความเร็วของของไหลเป็นฟังก์ชันของพิกัดและเวลา ความเร่งประกอบด้วยสามองค์ประกอบซึ่งเป็นอนุพันธ์ของเส้นโครงบนแกนพิกัด

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการออยเลอร์

การเปลี่ยนไปใช้ของไหลจริงในสมการ (3.7) ต้องคำนึงถึงแรงเสียดทานต่อหน่วยมวลของของไหล ซึ่งนำไปสู่สมการของเนเวียร์-สโตกส์ เนื่องจากความซับซ้อนของสมการ สมการเหล่านี้จึงไม่ค่อยได้ใช้ในระบบไฮดรอลิกส์ทางเทคนิค สมการ (3.7) จะทำให้ได้หนึ่งในสมการพื้นฐานของอุทกพลศาสตร์ - สมการเบอร์นูลลี

สมการเบอร์นูลลี

สมการของเบอร์นูลลีเป็นสมการอุทกพลศาสตร์พื้นฐานที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการไหลเฉลี่ยและความดันอุทกพลศาสตร์ในการเคลื่อนที่คงที่

พิจารณาหยดเบื้องต้นในการเคลื่อนที่คงที่ของของไหลในอุดมคติ (รูปที่ 17) ให้เลือกสองส่วน ตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว องค์ประกอบที่มีความยาวและพื้นที่ องค์ประกอบที่เลือกจะอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง

และแรงดันอุทกพลศาสตร์

ในกรณีทั่วไป ความเร็วขององค์ประกอบที่เลือก ความเร่งของมัน

เราได้นำสมการไดนามิกส์ในการฉายภาพมาใช้กับวิถีการเคลื่อนที่ของมันกับองค์ประกอบที่เลือกโดยน้ำหนัก

พิจารณาว่า และด้วยการเคลื่อนไหวที่คงที่ และด้วยสมมติว่า เราได้รับหลังจากรวมการหารด้วย

รูปที่. 17. เพื่อหาที่มาของสมการเบอร์นูลลี

ข้าว. 18. โครงร่างของท่อความเร็ว

นี่คือสมการเบอร์นูลลี ไตรนามของสมการนี้แสดงถึงความดันในส่วนที่เกี่ยวข้อง และแสดงถึงพลังงานกลจำเพาะ (ต่อหน่วยน้ำหนัก) ที่ถ่ายโอนโดยหยดพื้นฐานผ่านส่วนนี้

เทอมแรกของสมการแสดงพลังงานศักย์จำเพาะของตำแหน่งของอนุภาคของเหลวเหนือระนาบการเปรียบเทียบ หรือส่วนหัวเรขาคณิต (ความสูง) พลังงานความดันจำเพาะที่สอง หรือส่วนหัวของพัซโซเมตริก และคำนี้แทนจลนศาสตร์จำเพาะ พลังงานหรือหัวความเร็ว ค่าคงที่ H เรียกว่าหัวรวมของการไหลในส่วนที่พิจารณา ผลรวมของสองพจน์แรกของสมการเรียกว่า static head

สมาชิกของสมการเบอร์นูลลีเนื่องจากเป็นตัวแทนของพลังงานต่อหน่วยน้ำหนักของของเหลวจึงมีมิติของความยาว สมาชิกคือ ความสูงทางเรขาคณิตอนุภาคที่อยู่เหนือระนาบเปรียบเทียบ ระยะ - ความสูงเพียโซเมตริก ระยะ - ความสูงความเร็ว ซึ่งกำหนดได้โดยใช้ท่อความเร็ว (Pitot tube) ซึ่งเป็นท่อโค้งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็ก (รูปที่ 18) ซึ่งติดตั้งในกระแสด้วย ปลายล่างที่เปิดออกสู่การไหลของของเหลว ส่วนบนและปลายเปิดของท่อก็ถูกนำออกไป ระดับของเหลวในท่อถูกตั้งค่าเหนือระดับ R ของเพียโซมิเตอร์ตามค่าความสูงของความเร็ว

ในทางปฏิบัติของการวัดทางเทคนิค ท่อ Pitot ทำหน้าที่เป็นอุปกรณ์สำหรับกำหนดความเร็วของของไหลในท้องถิ่น เมื่อวัดค่าแล้วให้หาความเร็วที่จุดพิจารณาของส่วนการไหล

สามารถหาสมการ (3.8) ได้โดยตรงโดยการรวมสมการออยเลอร์ (3.7) หรือดังนี้ ให้​เรา​นึก​ภาพ​ว่า​ธาตุ​ของ​ของ​ไหล​ที่​เรา​พิจารณา​อยู่​นั้น​ไม่​นิ่ง. จากนั้น จากสมการอุทกสถิต (2.7) พลังงานศักย์ของของเหลวในส่วนที่ 1 และ 2 จะเป็น

การเคลื่อนที่ของของเหลวมีลักษณะเป็นพลังงานจลน์ ซึ่งสำหรับหน่วยน้ำหนักจะเท่ากับส่วนที่พิจารณา และ และ พลังงานรวมของกระแสน้ำหยดแรกจะเท่ากับผลรวมของศักย์และพลังงานจลน์ ดังนั้น

ดังนั้น สมการอุทกสถิตพื้นฐานจึงเป็นผลมาจากสมการเบอร์นูลลี

ในกรณีของของเหลวจริง หัวรวมในสมการ (3.8) สำหรับกระแสหลักที่แตกต่างกันในส่วนการไหลเดียวกันจะไม่เท่ากัน เนื่องจากหัวความเร็วที่จุดต่าง ๆ ของส่วนการไหลเดียวกันจะไม่เหมือนกัน นอกจากนี้ เนื่องจากการกระจายพลังงานเนื่องจากการเสียดสี ส่วนหัวจากหน้าตัดถึงหน้าตัดจะลดลง

อย่างไรก็ตาม สำหรับกระแสน้ำตัดขวางที่เคลื่อนที่ในส่วนนั้นเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่น สำหรับกระแสหลักทั้งหมดที่ผ่านส่วนตัดขวาง หัวคงที่จะคงที่

ดังนั้น การหาค่าเฉลี่ยของสมการเบอร์นูลลีสำหรับการไหลขั้นต้นของการไหลทั้งหมด และพิจารณาการสูญเสียส่วนหัวอันเนื่องมาจากการต้านทานการเคลื่อนที่ เราจะได้

โดยที่สัมประสิทธิ์ของพลังงานจลน์เท่ากับ 1.13 สำหรับการไหลแบบปั่นป่วนและ -2 สำหรับการไหลแบบราบเรียบ - อัตราการไหลเฉลี่ย: - การลดลงของพลังงานกลจำเพาะของการไหลออกในพื้นที่ระหว่างส่วนที่ 1 และ 2 ซึ่งเกิดขึ้นจากแรงเสียดทานภายใน

โปรดทราบว่าการคำนวณคำศัพท์เพิ่มเติมในสมการ Beruli เป็นงานหลักของระบบไฮดรอลิกส์ทางวิศวกรรม

การแสดงกราฟิกของสมการเบอร์นูลลีสำหรับส่วนตัดขวางหลายส่วนของการไหลของของไหลจริงแสดงไว้ในรูปที่ สิบเก้า

รูปที่. 19. แผนภาพสมการเบอร์นูลลี

เส้น A ซึ่งผ่านระดับของเพียโซมิเตอร์ที่วัดความดันส่วนเกินที่จุด เรียกว่าเส้นเพียโซเมตริก มันแสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงในหัวคงที่ที่วัดจากระนาบเปรียบเทียบ

ส่วนที่ 3 ไดนามิกส์.

พลวัต ตัววัสดุ- ร่างกายที่มีมวล

จุดวัสดุ

วัสดุ

ก - ขวี -

ความเฉื่อย

พลัง -

,

ระบบ เฉื่อย

การเคลื่อนไหว ช่องว่าง เวลา

ระบบ

หัวข้อ 1

กฎข้อที่หนึ่ง(กฎความเฉื่อย).

โดดเดี่ยว

ตัวอย่างเช่น: - น้ำหนักตัว, -

- ความเร็วเริ่มต้น)

กฎข้อที่สอง(กฎพื้นฐานของพลวัต).

ในระหว่างการเร่งความเร็ว การเคลื่อนที่ของจุดจะแปรผันเท่ากัน (รูปที่ 5: ก -การเคลื่อนไหว - ช้า,; ข -การเคลื่อนไหว - เร่ง,. - มวลจุด - เวกเตอร์ความเร่ง, - เวกเตอร์แรง, - เวกเตอร์ความเร็ว)

ณ - จุดเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง หรือ ณ - อยู่นิ่ง (กฎของความเฉื่อย) กฎข้อที่สองทำให้สามารถสร้างการเชื่อมต่อระหว่าง น้ำหนักตัวตั้งอยู่ใกล้พื้นผิวโลกและของมัน น้ำหนัก , , ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงอยู่ที่ไหน

กฎข้อที่สาม(กฎความเท่าเทียมกันของการกระทำและปฏิกิริยา).

สองวัสดุจุดกระทำต่อกันด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากันและชี้ไปตามเส้นตรงที่เชื่อมจุดเหล่านี้ในทิศทางตรงกันข้าม

เนื่องจากแรงถูกนำไปใช้กับจุดต่างๆ ระบบของแรงจึงไม่สมดุล (รูปที่ 6) ในทางกลับกัน - อัตราส่วนของมวลของจุดที่มีปฏิสัมพันธ์นั้นแปรผกผันกับความเร่งของพวกมัน

กฎข้อที่สี่(กฎความเป็นอิสระของการกระทำของกองกำลัง).

อัตราเร่ง,ได้มาจากจุดที่แรงหลายแรงกระทำบนมันพร้อมๆ กัน เท่ากับผลรวมเชิงเรขาคณิตของความเร่งที่จุดหนึ่งจะได้รับเมื่อแรงแต่ละอันกระทำต่อมันแยกกัน

คำอธิบาย (รูปที่ 7)แรงลัพธ์ถูกกำหนดเป็น ตั้งแต่และ , แล้ว .

ปัญหาที่สอง (ผกผัน)

รู้ทันปัจจุบันจนถึงจุดแรง มวลและสภาวะเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ เพื่อกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุดหรือคุณลักษณะจลนศาสตร์อื่นๆ ของจุดนั้น

อักษรย่อเงื่อนไขการเคลื่อนที่ของจุดในแกนคาร์ทีเซียนคือพิกัดของจุดนั้น และการฉายภาพของความเร็วต้นบนแกนเหล่านี้ และ ณ เวลาหนึ่งที่สอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ของจุดนั้นและมีค่าเท่ากับ ศูนย์.

การแก้ปัญหาประเภทนี้จะลดลงเป็นการรวบรวมสมการเชิงอนุพันธ์ (หรือสมการเดียว) ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุและการแก้ปัญหาที่ตามมาโดยการบูรณาการโดยตรงหรือใช้ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

ธีม2... บทนำสู่ไดนามิกของระบบเครื่องกล

2.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

เครื่องกลระบบหรือระบบของจุดวัสดุคือชุดของจุดวัสดุที่มีปฏิสัมพันธ์

ตัวอย่างของระบบเครื่องกล:

1. ตัววัสดุ รวมทั้งของแข็งอย่างแน่นอน เป็นชุดของอนุภาควัสดุที่มีปฏิสัมพันธ์ ชุดของของแข็งที่เชื่อมต่อถึงกัน ชุดของดาวเคราะห์ ระบบสุริยะฯลฯ

2. ฝูงนกบินไม่ได้เป็นระบบกลไก เนื่องจากไม่มีแรงโต้ตอบระหว่างนก

ฟรีระบบเครื่องกล - ระบบการเคลื่อนที่ของจุดที่ไม่มีการเชื่อมต่อ ตัวอย่างเช่น:การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ

ไม่ฟรีระบบเครื่องกล - ระบบเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดที่มีการเชื่อมต่อ ตัวอย่างเช่น:การเคลื่อนไหวของชิ้นส่วนในกลไกใด ๆ เครื่องจักร ฯลฯ

การจำแนกกองกำลัง

ภายนอกแรง - แรงที่กระทำต่อจุดของระบบกลไกที่กำหนดจากระบบอื่น

ภายใน- แรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างจุดของระบบกลไกเดียว

จุดโดยพลการของระบบ (รูปที่ 1) ได้รับผลกระทบจาก: - ​​ผลลัพธ์ของแรงภายนอก (ดัชนี - อักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส exterieur - (ภายนอก)); - ผลลัพธ์ของแรงภายใน (ดัชนี - จากคำว่า interieur - (ภายใน)) แรงเดียวกันของปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อขึ้นอยู่กับสภาพของปัญหาสามารถเป็นได้ทั้งภายนอกและภายใน

คุณสมบัติของแรงภายใน

และ - จุดโต้ตอบของระบบกลไก (รูปที่ 2) ตามกฎข้อที่ 3 ของพลวัต

ในอีกด้านหนึ่ง: ... ดังนั้นเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงภายในของระบบกลไกจึงเท่ากับศูนย์:

ส่วนที่ 3 ไดนามิกส์.

แนวคิดพื้นฐานของกลศาสตร์คลาสสิก

พลวัต- ส่วนหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุ (จุด) ภายใต้การกระทำของแรงที่ใช้ ตัววัสดุ- ร่างกายที่มีมวล

จุดวัสดุ- ร่างกายวัสดุความแตกต่างในการเคลื่อนไหวของจุดที่ไม่มีนัยสำคัญ มันสามารถเป็นได้ทั้งร่างกาย ขนาดที่สามารถละเลยในระหว่างการเคลื่อนไหวของมัน และร่างกายของมิติที่ จำกัด ถ้ามันเคลื่อนที่ตามการแปล

วัสดุจุดเรียกอีกอย่างว่าอนุภาคซึ่งร่างกายที่แข็งกระด้างแตกสลายเมื่อพิจารณาถึงลักษณะเฉพาะแบบไดนามิก

ตัวอย่างของคะแนนวัสดุ (รูปที่ 1): ก -การเคลื่อนที่ของโลกรอบดวงอาทิตย์ โลกเป็นจุดวัตถุ ข- การเคลื่อนที่แบบแปลนของร่างกายที่แข็งกระด้าง ร่างกายที่แข็งแรงเป็นจุดที่เป็นวัตถุเนื่องจาก; วี -การหมุนของร่างกายรอบแกน อนุภาคของร่างกายเป็นจุดที่เป็นวัตถุ

ความเฉื่อย- คุณสมบัติของวัตถุที่จะเปลี่ยนความเร็วของการเคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลงภายใต้การกระทำของกองกำลังที่ใช้

พลัง- การวัดเชิงปริมาณของปฏิกิริยาทางกลระหว่างวัตถุหรือระหว่างวัตถุ (จุด) กับสนาม (ไฟฟ้า แม่เหล็ก ฯลฯ) แรงคือปริมาณเวกเตอร์ที่มีลักษณะเป็นค่า จุดใช้งาน และทิศทาง (แนวการกระทำ) (รูปที่ 2: - จุดใช้งานคือแนวการกระทำของแรง)

ในไดนามิกพร้อมกับแรงคงที่ยังมีแรงแปรผันที่สามารถขึ้นอยู่กับเวลาความเร็ว , ระยะทางหรือจากผลรวมของปริมาณเหล่านี้ กล่าวคือ

ระบบการอ้างอิง - ระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายซึ่งสัมพันธ์กับการศึกษาการเคลื่อนไหวของร่างกายอื่น เฉื่อยระบบ - ระบบที่การปฏิบัติตามกฎข้อที่หนึ่งและสองของพลวัต นี่คือระบบพิกัดนิ่งหรือระบบที่เคลื่อนที่เป็นแนวเดียวกันและเป็นเส้นตรง

การเคลื่อนไหวในกลศาสตร์คือการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของร่างกายในอวกาศและเวลา ช่องว่างในกลศาสตร์คลาสสิก สามมิติ ขึ้นอยู่กับเรขาคณิตแบบยุคลิด เวลาคือปริมาณสเกลาร์ที่ไหลในลักษณะเดียวกันในระบบอ้างอิงใดๆ

ระบบหน่วยคือชุดของหน่วยวัด ปริมาณทางกายภาพ... ในการวัดปริมาณทางกลทั้งหมด: หน่วยพื้นฐานสามหน่วยก็เพียงพอแล้ว: หน่วยความยาว เวลา มวล หรือแรง หน่วยวัดอื่น ๆ ของปริมาณทางกลได้มาจากสิ่งเหล่านี้ ใช้ระบบหน่วยสองประเภท: ระบบสากลของหน่วย SI (หรือเล็กกว่า - CGS) และระบบทางเทคนิคของหน่วย - ICGS

หัวข้อ 1... บทนำสู่ไดนามิกของจุดวัสดุ

1.1. กฎของพลวัตของจุดวัตถุ (กฎของกาลิเลโอ - นิวตัน)

กฎข้อที่หนึ่ง(กฎความเฉื่อย).

โดดเดี่ยวจากอิทธิพลภายนอก จุดวัสดุยังคงสถานะพักหรือเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงจนกว่าแรงที่ใช้จะบังคับให้เปลี่ยนสถานะนี้

การเคลื่อนที่ที่เกิดจากจุดที่ไม่มีแรงหรืออยู่ภายใต้การกระทำของระบบแรงที่สมดุลเรียกว่าการเคลื่อนที่เฉื่อย

ตัวอย่างเช่น:การเคลื่อนไหวร่างกายบนพื้นผิวแนวนอนเรียบ (แรงเสียดทานเป็นศูนย์) (รูปที่ 4: - น้ำหนักตัว, - การตอบสนองระนาบปกติ) ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

เมื่อร่างกายเคลื่อนไหวด้วยความเร็วเท่ากัน เมื่อร่างกายได้พักผ่อน ( - ความเร็วเริ่มต้น)

ปัญหาที่สองของไดนามิกแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนไหว กฎสำหรับการรวบรวมสมการดังกล่าวขึ้นอยู่กับว่าเราต้องการกำหนดการเคลื่อนที่ของจุดอย่างไร

1) การกำหนดการเคลื่อนที่ของจุดในลักษณะพิกัด

พิจารณาจุดวัสดุอิสระที่เคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของกองกำลัง , ,.., . ลองวาดแกนพิกัดคงที่ Oxyz(รูปที่ 4). ฉายทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันบนแกนเหล่านี้และคำนึงถึงสิ่งนั้น ฯลฯ เราจะได้ สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่โค้งของจุดในการฉายภาพบนแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม:

มะเดื่อ 4

เนื่องจากแรงที่กระทำต่อจุดใดจุดหนึ่งขึ้นอยู่กับเวลา ตำแหน่งของจุดและความเร็วของจุดนั้น ทางขวามือของสมการจึงสามารถบรรจุเวลาได้ เสื้อพิกัดจุด x, y, zและการฉายภาพความเร็ว ในกรณีนี้ ตัวแปรทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมไว้ที่ด้านขวาของสมการแต่ละสมการได้

เพื่อที่จะแก้ปัญหาพื้นฐานของไดนามิกด้วยความช่วยเหลือของสมการเหล่านี้ จำเป็นต้องรู้เงื่อนไขเริ่มต้นนอกเหนือจากแรงกระทำ ตำแหน่งและความเร็วของจุดในช่วงเวลาเริ่มต้น ในแกนพิกัด Oxyzเงื่อนไขเริ่มต้นถูกกำหนดในรูปแบบ: at

เมื่อรู้แรงกระทำ หลังจากรวมสมการแล้ว เราจะหาพิกัด x, y, zจุดเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันของเวลา เสื้อเหล่านั้น. หากฎการเคลื่อนที่ของจุด

ตัวอย่างที่ 3ให้เราศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ขว้างด้วยความเร็วเริ่มต้นที่มุมหนึ่งถึงขอบฟ้าโดยพิจารณาว่าเป็นจุดมวลวัตถุ ต.ในกรณีนี้ แรงต้านของอากาศจะถูกละเลย และสนามแรงโน้มถ่วงจะถือว่าสม่ำเสมอ ( R= const) สมมติว่าระยะการบินและความสูงของวิถีมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับรัศมีของโลก

วางต้นทาง อู๋ที่ตำแหน่งเริ่มต้นของจุด ลองกำหนดแกนในแนวตั้งขึ้น แกนนอน วัวเราวางไว้ในเครื่องบินที่ผ่าน ออยและเวกเตอร์ และแกน ออนซ์วาดแนวตั้งฉากกับสองแกนแรก (รูปที่ 5) แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน วัวจะเท่าเทียมกัน

มะเดื่อ 5

มาวาดจุดเคลื่อนที่กันเถอะ เอ็มที่ไหนสักแห่งบนวิถี จุดถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงเท่านั้น ซึ่งการฉายภาพบนแกนพิกัดจะเท่ากับ:,,.

แทนปริมาณเหล่านี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์และสังเกตว่า เป็นต้น เรากำลังหลังจากลดลงโดย มเราได้รับ:

คูณทั้งสองข้างของสมการเหล่านี้ด้วย dtและเมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้ว เราพบว่า:

เงื่อนไขเริ่มต้นในปัญหาของเรามีดังนี้:

ที่ t=0:

เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขเบื้องต้น เราจะมี:

, , .

แทนค่าเหล่านี้ กับ 1 , กับ 2 และ กับ 3 ลงในโซลูชันที่พบด้านบนและแทนที่ , , แต่เรามาถึงสมการ:

เมื่อรวมสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้:

การแทนที่ข้อมูลเริ่มต้นให้ กับ 4 =กับ 5 =กับ 6 = 0 และในที่สุดเราก็พบสมการการเคลื่อนที่ของจุดนั้น เอ็มเช่น:

จากสมการสุดท้าย การเคลื่อนที่เกิดขึ้นในระนาบ Oxy.

เมื่อมีสมการการเคลื่อนที่ของจุด จึงสามารถกำหนดคุณลักษณะทั้งหมดของการเคลื่อนที่ที่กำหนดโดยใช้วิธีจลนศาสตร์ได้

1. วิถีของจุด ขจัดเวลา t จากสมการสองสมการแรก (1) เราจะได้สมการวิถีของจุด:

นี่คือสมการพาราโบลาที่มีแกนขนานกับแกน ออย.ทางนี้, จุดหนักที่ขว้างเป็นมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าจะเคลื่อนที่ในอวกาศที่ไม่มีอากาศถ่ายเทตามแนวพาราโบลา (กาลิเลโอ)

2. ช่วงแนวนอน ลองกำหนดช่วงแนวนอนนั่นคือ วัดตามแนวแกน วัวระยะทาง OS = X... ความเท่าเทียมกัน (2) y= 0 หาจุดตัดของวิถีกับแกน โอ้... จากสมการ:

เราได้รับ

วิธีแก้ปัญหาแรกให้ประเด็น อู๋, จุดที่สอง กับ... เพราะฉะนั้น, X = X 2และในที่สุดก็

จากสูตร (3) จะเห็นได้ว่าช่วงแนวนอนเท่ากัน Xจะได้รับในมุมที่กล่าวคือ ถ้ามุม. ดังนั้นที่ความเร็วเริ่มต้นที่กำหนด จุดหนึ่งและจุดเดียวกัน C สามารถเข้าถึงได้โดยสองวิถี: แบน () และบานพับ ()

สำหรับความเร็วเริ่มต้นที่กำหนด ช่วงแนวนอนที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในพื้นที่สุญญากาศจะได้รับเมื่อ กล่าวคือ ที่มุม

3. ความสูงของวิถี ถ้าเราใส่สมการ (2)

แล้วมีความสูงของวิถี นู๋:

4. เวลาเที่ยวบิน จากสมการที่ 1 ของระบบ (1) จะเท่ากับเวลาบินทั้งหมด ตู่ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน เปลี่ยนที่นี่ Xค่าของมัน เราได้รับ

ที่มุมของช่วงที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าทั้งหมดที่พบจะเท่ากัน:

ผลลัพธ์ที่ได้นั้นค่อนข้างใช้ได้กับการกำหนดลักษณะการบินของขีปนาวุธ (ขีปนาวุธ) โดยประมาณโดยมีพิสัย 200 ... 600 กม. , เนื่องจากในระยะเหล่านี้ (และที่) โพรเจกไทล์ผ่านส่วนหลักของเส้นทางในสตราโตสเฟียร์ซึ่งสามารถมองข้ามแรงต้านของอากาศได้ ที่ช่วงที่สั้นกว่า ผลลัพธ์จะได้รับอิทธิพลอย่างมากจากแรงต้านของอากาศ และที่ช่วงมากกว่า 600 กม.แรงโน้มถ่วงไม่สามารถถือได้ว่าเป็นค่าคงที่อีกต่อไป

ตัวอย่างที่ 4จากปืนใหญ่ตั้งสูง ชม, ยิงมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า (รูปที่ 6) ลูกกระสุนปืนใหญ่พุ่งออกจากกระบอกปืนด้วยความเร็ว ยู... ให้เรากำหนดสมการการเคลื่อนที่ของนิวเคลียส

มะเดื่อ 6

ในการจัดทำสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่อย่างถูกต้อง จำเป็นต้องแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกันตามรูปแบบที่กำหนด

ก) กำหนดระบบพิกัด (จำนวนแกน ทิศทาง และจุดกำเนิด) แกนที่เลือกสรรมาอย่างดีจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

b) แสดงจุดในตำแหน่งตรงกลาง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าพิกัดของตำแหน่งดังกล่าวจำเป็นต้องเป็นค่าบวก (รูปที่ 6)

c) แสดงแรงที่กระทำต่อจุดในตำแหน่งตรงกลางนี้ (อย่าแสดงแรงเฉื่อย!)

ในตัวอย่างนี้ เป็นเพียงแรง ซึ่งเป็นน้ำหนักของแกนกลาง เราจะไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ

d) สร้างสมการอนุพันธ์ตามสูตร:. จากที่นี่เราได้สมการสองสมการ: และ

จ) แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างนี้ โครงร่างการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย ความยากอาจเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์เท่านั้น ซึ่งอาจเป็นเรื่องยาก

2) การกำหนดจุดเคลื่อนที่อย่างเป็นธรรมชาติ

วิธีการพิกัดมักใช้เพื่อกำหนดการเคลื่อนที่ของจุด ไม่จำกัดโดยเงื่อนไขใดๆ การเชื่อมต่อ หากมีการกำหนดข้อจำกัดในการเคลื่อนที่ของจุด ความเร็ว หรือพิกัด การระบุการเคลื่อนไหวในลักษณะพิกัดนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลย จะสะดวกกว่าหากใช้วิธีกำหนดการเคลื่อนไหวตามธรรมชาติ

ให้เรากำหนด ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของจุดบนเส้นคงที่ที่กำหนด ตามวิถีที่กำหนด (รูปที่ 7)

มะเดื่อ 7

ถึงที่หมาย เอ็มนอกจากแรงกระทำที่ระบุแล้ว ปฏิกิริยาของเส้นยังทำหน้าที่ แสดงส่วนประกอบของปฏิกิริยาตามแกนธรรมชาติ

· สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดเชื่อมต่อความเร่งของจุดกับแรงที่กระทำต่อจุดนั้น อันที่จริง สมการเชิงอนุพันธ์เป็นบันทึกของกฎพื้นฐานของไดนามิกในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่ชัดเจน
สำหรับการเคลื่อนที่แบบสัมบูรณ์ของจุด (การเคลื่อนไหวในกรอบอ้างอิงเฉื่อย) สมการเชิงอนุพันธ์ดูเหมือน:
.

สมการเวกเตอร์ สามารถเขียนเป็นเส้นโครงบนแกนของระบบพิกัดเฉื่อยสี่เหลี่ยม:

ด้วยวิถีการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่งที่ทราบ สมการสามารถเขียนเป็นเส้นโครงบนแกนของระบบพิกัดธรรมชาติได้:

ระบุว่า
ความเร่งในแนวสัมผัสอยู่ที่ไหน
- อัตราเร่งปกติ
สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

ทฤษฎีบททั่วไปของพลวัต

· ทฤษฎีบททั่วไปของไดนามิกสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการวัดการเคลื่อนไหวทางกลและปฏิกิริยาทางกล ข้อสรุปของทฤษฎีบทเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของกฎพื้นฐานของพลวัต

· ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนปริมาณการเคลื่อนที่:การเปลี่ยนแปลงปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ (ระบบเครื่องกล) ในช่วงระยะเวลาหนึ่งเท่ากับผลรวมของแรงกระตุ้นภายนอกในช่วงเวลาเดียวกัน - สำหรับจุดวัสดุ
- สำหรับระบบเครื่องกล

· ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์:การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของจุด (ระบบเครื่องกล) ระหว่างการเคลื่อนที่มีค่าเท่ากับผลรวมของงานของแรงภายนอกที่กระทำต่อการเคลื่อนที่นี้ - สำหรับจุดวัสดุ
- สำหรับระบบเครื่องกล

พลังงานจลน์ของระบบกลไกถูกกำหนดตาม ในขณะที่ของแข็ง จะได้รับการอ้างอิงต่อไปนี้:
- ด้วยการเคลื่อนไหวไปข้างหน้าของร่างกาย
- ด้วยการเคลื่อนไหวแบบหมุนของร่างกาย
- ด้วยการเคลื่อนไหวร่างกายขนานระนาบ

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกรอบแกน:
.

โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนรอบแกน z:
.

โมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมที่สัมพันธ์กับแกน Xและ y: .

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลถูกกำหนดโดยสูตร:
.

งานแรงโน้มถ่วง:
,
ที่ไหน พี- แรงโน้มถ่วง;
ชม- เปลี่ยนตำแหน่งของร่างกายในแนวตั้ง

แรงทำงานระหว่างการหมุนของร่างกาย
,
ที่ไหน เอ็ม- ช่วงเวลาแห่งพลัง
wคือความเร็วเชิงมุมของร่างกาย
มันควรจะเป็นพาหะในใจว่าการทำงานเป็นสเกลาร์อาจเป็นบวกหรือลบ งานจะเป็นบวกหากทิศทางการกระทําของแรงตรงกับทิศทางการเคลื่อนที่

หลักการของดาล็องแบร์

การกำหนดหลักการดาล็องแบร์: หากในช่วงเวลาใดแรงเฉื่อยถูกเพิ่มเข้าไปในแรงที่กระทำต่อจุดนั้นระบบผลลัพธ์ของแรงจะสมดุล:
.

สำหรับระบบเครื่องกล:
.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างในหัวข้อ: "สถิตยศาสตร์ร่างกายแข็ง"

ตัวอย่างที่ 1 สภาวะสมดุล

แขวนอยู่บนเส้นด้ายที่ทำมุม 45 องศากับผนังเรียบ ลูกบอลน้ำหนักสิบนิวตันอยู่ในสภาวะสมดุล (รูปที่. เอ). จำเป็นต้องกำหนดความดันของลูกบอลที่เป็นเนื้อเดียวกันบนผนังเรียบและความตึงของเกลียว

ที่ให้ไว้: พี= 10 นิวตัน; α = 45 °
หา: น ที -?

สารละลาย.
เราละทิ้งการเชื่อมต่อและแทนที่ผลกระทบต่อลูกบอลด้วยปฏิกิริยา
ปฏิกิริยาผนัง นู๋ตั้งฉากกับผนัง (จากจุดสัมผัส กับสู่ศูนย์กลางของลูกบอล อู๋) ปฏิกิริยาของด้าย ตู่- ตามด้ายจากจุด อาตรงประเด็น วี.
เผยให้เห็นระบบแรงทั้งหมดที่ใช้กับลูกบอลขณะพัก

เป็นระบบแรงที่มาบรรจบกันที่ศูนย์กลาง อู๋ลูกและประกอบด้วยน้ำหนักลูก R(แรงกระทำ), ปฏิกิริยาผนัง นู๋และปฏิกิริยาของด้าย ตู่(ข้าว. ข).

ปฏิกิริยา นู๋และ ตู่ไม่ทราบขนาด เพื่อกำหนดเงื่อนไขเหล่านี้ เราควรใช้เงื่อนไขดุลยภาพ (ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง - เรขาคณิต การวิเคราะห์)

ด้วยวิธีการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยมแบบปิดของแรงถูกสร้างขึ้น และใช้ความสัมพันธ์ของเรขาคณิตของโรงเรียน (ทฤษฎีบทของไซน์ ทฤษฎีบทของโคไซน์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ฯลฯ)

ในกรณีนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมกำลังปิด (รูปที่ วี) ซึ่งเราได้รับ:

หลังจากการแทนที่ค่าตัวเลขในสูตร เราได้รับ:
.

ตอบ: .

ตัวอย่างโซลูชัน