ในบทเรียนนี้ เราจะดูการดำเนินการเวกเตอร์เพิ่มเติมอีกสองรายการ: ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของ vectorsและ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีที่ต้องการมัน)... ไม่เป็นไรบางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจาก ผลคูณดอทของเวกเตอร์, มันต้องใช้เวลามากขึ้นเรื่อย ๆ นั่นคือการเสพติดเวกเตอร์ บางคนอาจรู้สึกว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าของเรขาคณิตวิเคราะห์ นี่ไม่เป็นความจริง. ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงนี้ โดยทั่วไปมีฟืนไม่เพียงพอ ยกเว้นมีฟืนเพียงพอสำหรับบูราติโน อันที่จริง เนื้อหานั้นธรรมดามากและเรียบง่าย - แทบไม่ซับซ้อนกว่าอันเดียวกันเลย ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเคยเชื่อไปแล้ว จะต้องไม่ผิดในการคำนวณ ทำซ้ำเป็นคาถาแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์เป็นประกายระยิบระยับในที่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นเพื่อกู้คืนหรือฟื้นความรู้พื้นฐานของเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบในการปฏิบัติงาน

ทำอย่างไรถึงจะพอใจในทันที? เมื่อฉันยังเด็ก ฉันรู้วิธีเล่นปาหี่ด้วยลูกบอลสองหรือสามลูก มันเปิดออกอย่างคล่องแคล่ว ตอนนี้คุณไม่ต้องเล่นกลแล้วเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์ระนาบที่มีสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม? นี่คือสาเหตุที่การกระทำเหล่านี้เกิดขึ้น - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ มันง่ายกว่าอยู่แล้ว!

การดำเนินการนี้ เช่นเดียวกับในผลิตภัณฑ์ดอท เกี่ยวข้องกับ สองเวกเตอร์... ขอให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่มีวันเสื่อมสลาย

การกระทำนั้นเอง หมายถึงด้วยวิธีดังต่อไปนี้ . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันเคยใช้เพื่อแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์แบบนั้น ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าอยู่ใน ผลคูณดอทของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้อง และที่นี่ เวกเตอร์สองตัวถูกคูณด้วย แล้ว อะไรคือความแตกต่าง? ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดคือ อย่างแรกเลย ในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ส่งผลให้เกิด VECTOR: นั่นคือ เราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. อันที่จริงแล้วจึงเป็นชื่อของการดำเนินการ ในวรรณคดีการศึกษาต่าง ๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้จดหมาย

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

ขั้นแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: โดยผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่ใช่ collinearเวกเตอร์, ตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ระยะเวลาซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และถูกชี้นำเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เราวิเคราะห์คำจำกัดความโดยกระดูก มีสิ่งที่น่าสนใจมากมาย!

จึงสามารถเน้นจุดสำคัญต่อไปนี้:

1) เวกเตอร์ดั้งเดิมแสดงด้วยลูกศรสีแดงตามคำจำกัดความ ไม่ใช่ collinear... มันจะเป็นการเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลัง

2) พาหะนำ ในลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "A" คูณด้วย "bh"และไม่ใช่ "bh" ถึง "a" ผลของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งทำเครื่องหมายเป็นสีน้ำเงิน หากเวกเตอร์คูณกันในลำดับที่กลับกัน เราจะได้เวกเตอร์ยาวเท่ากันและมีทิศตรงข้าม (สีแดงเข้ม) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .

3) ตอนนี้ มาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กัน นี่เป็นจุดที่สำคัญมาก! LENGTH ของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์สีแดงเข้ม) มีค่าเท่ากับ AREA ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีดำ

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง และแน่นอน ความยาวระบุของผลิตภัณฑ์กากบาทไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เราจำหนึ่งในสูตรทางเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านประชิดโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน... ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันเน้นว่าในสูตรที่เรากำลังพูดถึง LENGTH ของเวกเตอร์ ไม่ใช่เกี่ยวกับเวกเตอร์เอง ประเด็นในทางปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

มารับสูตรสำคัญที่สองกัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) สามารถพบได้โดยสูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือเวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นคือ ... แน่นอน เวกเตอร์ที่กำกับทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรสีแดงเข้ม) ก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำกับเพื่อให้ พื้นฐานมันมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ เปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดในรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายด้วยนิ้วของคุณ มือขวา... รวมจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางกับพิ้งกี้กดลงบนฝ่ามือของคุณ ผลที่ตามมา นิ้วหัวแม่มือ- ผลิตภัณฑ์ข้ามจะเงยหน้าขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (ในรูปคือ) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในสถานที่เป็นผลให้นิ้วหัวแม่มือคลี่ออกและผลิตภัณฑ์กากบาทจะดูถูกแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่เน้นด้านขวา บางทีคุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานของการวางแนวด้านซ้ายคืออะไร? "กำหนด" ให้กับนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับฐานซ้ายและทิศทางซ้ายของช่องว่าง (ในกรณีนี้ นิ้วโป้งจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ล่าง)... พูดเปรียบเปรยฐานเหล่านี้ "บิด" หรือปรับพื้นที่ในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรพิจารณาว่าเป็นสิ่งที่ห่างไกลหรือเป็นนามธรรม ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุสะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถรวมเข้ากับ "ต้นฉบับ" ได้ อ้อ เอาสามนิ้วไปส่องกระจกแล้ววิเคราะห์ภาพสะท้อน ;-)

...ดีแค่ไหนที่รู้ตอนนี้ ไปทางขวาและซ้ายพื้นฐานเพราะคำแถลงของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการปฐมนิเทศแย่มาก =)

ผลคูณของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

คำจำกัดความได้รับการวิเคราะห์อย่างละเอียดแล้ว ยังต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวราบ หากเวกเตอร์เป็น collinear พวกมันสามารถอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวและสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราจะ "พับ" เป็นเส้นตรงเส้นเดียว พื้นที่ดังกล่าวตามที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นศูนย์ จากสูตรก็เหมือนกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่นั้นเป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า แล้ว และ ... สังเกตว่าผลคูณไขว้นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติสิ่งนี้มักจะถูกละเลยและเขียนว่ามันเป็นศูนย์ด้วย

กรณีพิเศษคือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์โดยตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความสอดคล้องกันของเวกเตอร์สามมิติได้ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้ด้วย

ในการแก้ตัวอย่างในทางปฏิบัติ คุณอาจต้อง ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าไซน์จากมัน

เรามาจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ if

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ if

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในเงื่อนไขของเงื่อนไขเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) โดยเงื่อนไข จะต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์) ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ:

เนื่องจากคำถามถูกถามเกี่ยวกับความยาว ดังนั้นในคำตอบ เราจึงระบุมิติข้อมูล - หน่วย

ข) โดยเงื่อนไข จะต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีตัวเลขเท่ากับความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ตอบ:

โปรดทราบว่าคำตอบเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นไม่ใช่คำถามเลย เราถูกถามเกี่ยวกับ พื้นที่รูปตามลำดับ มิติคือหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะพิจารณาว่าสิ่งที่จำเป็นจะต้องพบโดยเงื่อนไขเสมอ และจากสิ่งนี้ เรากำหนด แจ่มใสคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นวรรณกรรม แต่มีนักอ่านวรรณกรรมเพียงพอในหมู่ครู และงานที่มีโอกาสดีจะกลับมาแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การจู้จี้ที่ตึงเครียดเป็นพิเศษ - หากคำตอบไม่ถูกต้อง ผู้คนจะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ / หรือไม่เข้าใจสาระสำคัญของงาน ช่วงเวลานี้ต้องอยู่ภายใต้การควบคุมเสมอ แก้ปัญหาใดๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง และในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ "en" หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะติดอยู่ในสารละลายเพิ่มเติมก็ได้ แต่เพื่อย่อให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำอย่างนั้น ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 2

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณมีอยู่ในความคิดเห็นของคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้วรูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้

เพื่อแก้ปัญหาอื่นๆ เราต้องการ:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์ข้ามแล้ว แต่ฉันจะรวมไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและจำนวนใด ๆ คุณสมบัติต่อไปนี้ถูกต้อง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่น รายการนี้มักจะไม่เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในทางปฏิบัติ ปล่อยให้มันเป็นไป

2) - คุณสมบัติยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า สารต้านการเปลี่ยนแปลง... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) - การรวมกันหรือ สมาคมกฎของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่จะถูกลบออกนอกผลิตภัณฑ์เวกเตอร์อย่างราบรื่น แท้จริงแล้วพวกเขาควรทำอย่างไรที่นั่น?

4) - การกระจายหรือ แจกจ่ายกฎของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหากับการขยายวงเล็บเช่นกัน

เพื่อเป็นการสาธิต ให้พิจารณาตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

สารละลาย:ตามเงื่อนไข จะต้องค้นหาความยาวของผลคูณอีกครั้ง มาเขียนภาพขนาดย่อของเรากัน:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่นอกส่วนของผลคูณเวกเตอร์

(2) เราย้ายค่าคงที่ออกจากโมดูลในขณะที่โมดูล "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวไม่สามารถเป็นลบได้

(3) สิ่งที่ตามมามีความชัดเจน

ตอบ:

ได้เวลาใส่ฟืนลงบนกองไฟแล้ว:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ if

สารละลาย: พื้นที่ของสามเหลี่ยมหาได้จากสูตร ... สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นเป็นตัวแทนของผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมนี้เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างที่ 3 และ 4 ของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์... เพื่อความชัดเจน ให้แบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในรูปของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ อันที่จริง แสดงเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์... ยังไม่มีคำเกี่ยวกับความยาว!

(1) แทนนิพจน์เวกเตอร์

(2) การใช้กฎการกระจาย เราขยายวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎที่เชื่อมโยงกัน เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดออกนอกผลคูณของเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อย การกระทำที่ 2 และ 3 สามารถทำได้พร้อมกัน

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่น่าพอใจ ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงในรูปของเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้บรรลุ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การกระทำนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

การตัดสินใจขั้นที่ 2-3 สามารถทำได้ในบรรทัดเดียว

ตอบ:

ปัญหาที่พิจารณาพบได้บ่อยในเอกสารทดสอบ ต่อไปนี้คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทช่วยสอน มาดูกันว่าคุณระมัดระวังแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ในพิกัด

สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มีแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ อย่างเข้มงวด- ก่อนอื่นพิกัดของเวกเตอร์ "ve" จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ "double-ve" หากเวกเตอร์จำเป็นต้องคูณในลำดับที่ต่างกัน ก็ควรสลับเส้น:

ตัวอย่าง 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์พื้นที่ต่อไปนี้เป็นแบบ collinear หรือไม่:
NS)
NS)

สารละลาย: การตรวจสอบอิงตามหนึ่งในข้อความในบทเรียนนี้: หากเวกเตอร์เป็น collinear ผลคูณของพวกมันจะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้าม:

ดังนั้น เวกเตอร์จึงไม่ใช่แนวร่วม

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้าม:

ตอบ: a) ไม่ใช่ collinear b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีงานไม่มากที่ใช้ผลคูณของเวกเตอร์แบบผสม อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างจะอยู่ที่คำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณผสมของเวกเตอร์เป็นผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:

ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวด้วยรถไฟขบวนเล็ก ๆ และกำลังรอ พวกเขาแทบรอไม่ไหวที่จะคิดออก

ขั้นแรกให้คำจำกัดความและรูปภาพอีกครั้ง:

คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ coplanarเวกเตอร์, ตามลำดับนี้ถูกเรียก ปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นบนเวกเตอร์ที่กำหนด โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “-” หากฐานเหลือ

มาวาดรูปให้เสร็จกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นจะถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งลงไปในคำจำกัดความ:

2) พาหะนำ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือ การเรียงสับเปลี่ยนของเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ ตามที่คุณอาจเดาได้ จะไม่ผ่านโดยไม่มีผลที่ตามมา

3) ก่อนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะสังเกตข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER:. ในวรรณคดีเพื่อการศึกษา การออกแบบอาจแตกต่างกันบ้าง ฉันใช้เพื่อแสดงถึงงานผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

A-priory สารผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลกับแนวคิดเรื่องการวางแนวฐานและอวกาศอีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบในระดับเสียงได้ กล่าวง่ายๆ งานผสมอาจเป็นลบได้:

สูตรสำหรับคำนวณปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์นั้นเป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง

งานทดสอบครั้งที่ 1

เวกเตอร์ องค์ประกอบของพีชคณิตที่สูงขึ้น

1-20. ความยาวของเวกเตอร์และเป็นที่รู้จัก คือมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

คำนวณ: 1) และ 2) 3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และ

วาดรูป.

สารละลาย. การใช้คำจำกัดความของ dot product ของเวกเตอร์:

และคุณสมบัติของดอทผลิตภัณฑ์: ,

1) ค้นหาสเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์:

นั่นคือ แล้ว.

การโต้เถียงในทำนองเดียวกันเราได้รับ

นั่นคือ แล้ว.

โดยนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:,

พิจารณาว่า

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เท่ากับ

21-40. พิกัดของจุดยอดทั้งสามเป็นที่รู้จัก A, B, Dสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดี... ต้องใช้พีชคณิตเวกเตอร์:

NS(3;0;-7), NS(2;4;6), NS(-7;-5;1)

สารละลาย.

เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นลดลงครึ่งหนึ่งที่จุดตัด ดังนั้นพิกัดของจุด อี- จุดตัดของเส้นทแยงมุม - หาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน BD... แสดงถึงพวกเขาผ่าน NS อี ,y อี , z อีเราได้รับสิ่งนั้น

พวกเราได้รับ.

การรู้พิกัดของจุด อี- ตรงกลางของเส้นทแยงมุม BDและพิกัดของปลายด้านหนึ่ง NS(3;0;-7), โดยใช้สูตรเรากำหนดพิกัดที่ต้องการของจุดยอด กับสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ดังนั้นด้านบน

2) ในการหาการฉายภาพของเวกเตอร์บนเวกเตอร์ เราพบพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:,

ในทำนองเดียวกัน การฉายภาพเวกเตอร์บนเวกเตอร์หาได้จากสูตร:

3) มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะพบเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์

และโดยคุณสมบัติดอทผลิตภัณฑ์:

แล้ว

4) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานพบเป็นโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

5) ปริมาตรของพีระมิดพบเป็นหนึ่งในหกของโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ โดยที่ O (0; 0; 0) แล้ว

จากนั้นปริมาตรที่ต้องการ (ลูกบาศก์หน่วย)

41-60. กำหนดเมทริกซ์:

ВС -1 + 3A ที

ตำนาน:

อันดับแรก เราหาค่าผกผันของเมทริกซ์ C

ในการทำเช่นนี้ เราพบดีเทอร์มีแนนต์:

ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น เมทริกซ์จึงไม่เสื่อมสภาพ และสำหรับมัน คุณสามารถหาเมทริกซ์ผกผัน С -1

ให้เราหาการเติมเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตด้วยสูตรโดยที่องค์ประกอบรองลงมา:

แล้ว , .

61–80. แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

วิธีการของแครมเมอร์ 2. วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ก) วิธีการของแครมเมอร์

หาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ

เนื่องจากระบบมีทางเดียวเท่านั้น

ให้เราหาดีเทอร์มีแนนต์และแทนที่คอลัมน์ที่หนึ่ง สอง และสามในเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระตามลำดับ

ตามสูตรของแครมเมอร์:

NS)วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

เราเขียนระบบนี้ในรูปแบบเมทริกซ์และแก้มันโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ปล่อยให้เป็น NS- เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ; NS- เมทริกซ์คอลัมน์ของ unknowns NS, y, zและ NS- คอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกฟรี:

ด้านซ้ายของระบบ (1) สามารถเขียนเป็นผลคูณของเมทริกซ์ และด้านขวามือเป็นเมทริกซ์ NS... ดังนั้นเราจึงมีสมการเมทริกซ์

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ NSไม่ใช่ศูนย์ (รายการ "a") จากนั้นเมทริกซ์ NSมีเมทริกซ์ผกผัน เราคูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (2) ทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ เราจะได้

ตั้งแต่ไหน อีเป็นเมทริกซ์หน่วย a แล้ว

ให้เรามีเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมสภาพ A:

จากนั้นเราจะหาเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:

ที่ไหน NS อิจ- ส่วนประกอบพีชคณิตขององค์ประกอบ NS อิจในดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ NSซึ่งเป็นผลคูณของ (-1) i + j โดยผู้เยาว์ (ดีเทอร์มิแนนต์) n-1คำสั่งที่ได้รับโดยการขีดฆ่า ฉัน-thสตริงและ j-thคอลัมน์ในดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A:

จากที่นี่เราจะได้เมทริกซ์ผกผัน:

คอลัมน์ X: X = A -1 H

81–100. แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเกาส์เซียน

สารละลาย. ลองเขียนระบบในรูปแบบของเมทริกซ์ขยาย:

เราทำการแปลงเบื้องต้นด้วยสตริง

จากแถวที่ 2 เราลบแถวแรกคูณด้วย 2 จากแถวที่ 3 เราลบแถวแรกคูณด้วย 4 จากแถวที่ 4 เราลบแถวแรก เราได้เมทริกซ์:

ต่อไป เราได้ศูนย์ในคอลัมน์แรกของแถวถัดไป สำหรับสิ่งนี้ เราลบแถวที่สามออกจากแถวที่สอง จากแถวที่สาม ลบแถวที่สอง คูณด้วย 2 จากแถวที่สี่ ลบแถวที่สอง คูณด้วย 3 เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์ของรูปแบบ:

ลบที่สามออกจากบรรทัดที่สี่

ลองสลับบรรทัดสุดท้ายและบรรทัดสุดท้าย:

เมทริกซ์สุดท้ายเทียบเท่ากับระบบสมการ:

จากสมการสุดท้ายของระบบที่เราพบ

แทนสมการสุดท้าย เราจะได้ .

จากสมการที่สองของระบบที่ว่า

จากสมการแรกเราพบ x:

ตอบ:

งานสอบครั้งที่2

เรขาคณิตวิเคราะห์

1-20. พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยมจะได้รับ เอบีซีหา:

1) ความยาวด้าน NSวี;

2) สมการข้าง ABและ ดวงอาทิตย์และความลาดชันของพวกเขา

3) มุม วีเป็นเรเดียนที่มีความแม่นยำสองหลัก

4) สมการความสูง ซีดีและความยาวของมัน

5) สมการมัธยฐาน AE

ความสูง ซีดี;

ถึงขนานกับด้านข้าง เอบี

7) สร้างภาพวาด

A (3; 6), B (15; -3), C (13; 11)

สารละลาย.

ใช้ (1) เราพบความยาวด้าน AB:

2) สมการข้าง ABและ ดวงอาทิตย์และความลาดชันของพวกเขา:

สมการเส้นตรงผ่านจุดต่างๆ และมีรูปแบบ

แทนที่ใน (2) พิกัดของจุด NSและ วี, เราได้รับสมการข้าง AB:

(AB).

(BC).

3) มุม วีเป็นเรเดียนที่มีทศนิยมสองตำแหน่ง

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นคือความชันซึ่งมีค่าเท่ากันและคำนวณโดยสูตร

มุมที่ต้องการ วีเกิดขึ้นจากเส้นตรง ABและ ดวงอาทิตย์, ความลาดชันที่พบ:; ... ใช้ (3) เราได้รับ

; , หรือ

4) สมการความสูง ซีดีและความยาวของมัน

ระยะทางจากจุด C ถึงเส้น AB:

5) สมการมัธยฐาน AEและพิกัดของจุด K ของจุดตัดของค่ามัธยฐานนี้ด้วย

ความสูง ซีดี.

ตรงกลางด้าน BC:

จากนั้นสมการ AE:

เราแก้ระบบสมการ:

6) สมการเส้นตรงผ่านจุด ถึงขนานกับด้านข้าง AB:

เนื่องจากเส้นที่ต้องการขนานกับด้าน ABแล้วความชันจะเท่ากับความชันของเส้นตรง AB... แทนด้วย (4) พิกัดของจุดที่พบ ถึงและความชันเราจะได้

; (KF).

พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 12 ตร.ม. หน่วย สองยอดของมันคือจุด เอ (-1; 3)และ ข (-2; 4).หาจุดยอดอีกสองจุดของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ ถ้าทราบว่าจุดตัดของเส้นทแยงมุมอยู่บนแกน abscissa วาดรูป.

สารละลาย. ให้จุดตัดของเส้นทแยงมุมมีพิกัด

แล้วจะเห็นได้ชัดว่าและ

ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นหาได้จากสูตร

จากนั้นพิกัดของอีกสองจุดยอด

ในปัญหา 51-60 พิกัดของจุดจะได้รับ A และ B... ที่จำเป็น:

เขียนสมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลาที่ผ่านจุดที่กำหนด เอ และ บีถ้าจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลาอยู่บน abscissa

ค้นหากึ่งแกน จุดโฟกัส ความเยื้องศูนย์ และสมการของเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลานี้

หาจุดตัดของไฮเปอร์โบลาที่มีวงกลมอยู่ตรงกลางจุดกำเนิด ถ้าวงกลมนี้ผ่านจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา

สร้างไฮเปอร์โบลา เส้นกำกับและวงกลม

A (6; -2), B (-8; 12)

สารละลาย. เขียนสมการไฮเพอร์โบลาที่ต้องการในรูปแบบบัญญัติ

ที่ไหน NS- กึ่งแกนจริงของไฮเพอร์โบลา NS -กึ่งแกนจินตภาพ แทนพิกัดของจุด NSและ วีในสมการนี้ เราพบกึ่งแกนเหล่านี้:

- สมการไฮเพอร์โบลา:.

กึ่งแกน a = 4,

ทางยาวโฟกัส โฟกัส (-8.0) และ (8.0)

ความเยื้องศูนย์

เส้นกำกับ:

ถ้าวงกลมผ่านจุดกำเนิด จะได้สมการ

แทนกลอุบายอันใดอันหนึ่ง เราพบสมการของวงกลม

ค้นหาจุดตัดของไฮเปอร์โบลาและวงกลม:

เราสร้างภาพวาด:

ในงาน 61-80 ให้พล็อตฟังก์ชันในระบบพิกัดเชิงขั้วด้วยจุดโดยให้ค่า  ตลอดช่วง  /8 (0   2). หาสมการของเส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม (ครึ่งแกนบวกของ abscissa เกิดขึ้นพร้อมกับแกนเชิงขั้วและขั้ว - กับจุดกำเนิด)

สารละลาย.มาสร้างเส้นต่อจุดกัน โดยก่อนหน้านี้ได้กรอกตารางค่าและ φ

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงแนวคิดของผลคูณของเวกเตอร์สองตัว เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น จดสูตรสำหรับค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ แสดงรายการและพิสูจน์คุณสมบัติของมัน หลังจากนั้น เราจะอาศัยความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไปต่างๆ

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

ก่อนกำหนดผลคูณของเวกเตอร์ ลองหาการวางแนวของเวกเตอร์แฝดสามลำดับในปริภูมิสามมิติกันก่อน

กันเวกเตอร์ออกจากจุดหนึ่ง แฝดสามสามารถไปทางขวาหรือซ้ายทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ ลองดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ว่าการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์เกิดขึ้นได้อย่างไร หากการหมุนที่สั้นที่สุดเกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกาจะเรียกว่าเวกเตอร์แฝด ขวา, มิฉะนั้น - ซ้าย.

ตอนนี้เราหาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัวและ ให้เรากันเวกเตอร์กันและจากจุด A ลองสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งคู่และ และ แน่นอน เมื่อสร้างเวกเตอร์ เราสามารถทำสองสิ่ง โดยให้ทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

คำสั่ง triplet ของเวกเตอร์สามารถอยู่ทางขวาหรือซ้ายทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

ดังนั้นเราจึงเข้าใกล้นิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดใน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมพื้นที่สามมิติ

คำนิยาม.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์และให้อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติเรียกว่าเวกเตอร์เช่นนั้น

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และแสดงเป็น

พิกัดสินค้าเวกเตอร์

ทีนี้ ให้นิยามที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กัน ซึ่งช่วยให้คุณสามารถหาพิกัดของมันได้จากพิกัดของเวกเตอร์ที่ให้มาและ

คำนิยาม.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของพื้นที่สามมิติ ผลคูณของเวกเตอร์สองตัว และ เป็นเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์พิกัดคือ

คำจำกัดความนี้ให้ผลคูณในรูปแบบพิกัดแก่เรา

สะดวกในการแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในรูปแบบของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมของลำดับที่สาม แถวแรกคือเวกเตอร์หน่วย แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ และแถวที่สามประกอบด้วยพิกัดของ เวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด:

หากเราขยายดีเทอร์มีแนนต์นี้ด้วยองค์ประกอบของบรรทัดแรก เราก็จะได้ความเท่าเทียมกันจากนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัด (หากจำเป็น ให้อ้างอิงกับบทความ):

ควรสังเกตว่ารูปแบบพิกัดของผลิตภัณฑ์ข้ามมีความสอดคล้องอย่างสมบูรณ์กับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้ นอกจากนี้ ทั้งสองคำจำกัดความของ cross product นั้นเทียบเท่ากัน คุณสามารถดูข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ได้ในหนังสือที่ระบุท้ายบทความ

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากผลคูณไขว้ในพิกัดสามารถแสดงได้ในรูปแบบของดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ ต่อไปนี้จึงมีเหตุผลอย่างง่ายดายบนพื้นฐานของ คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ตัวอย่างเช่น ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต้านการสลับสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

A-priory และ ... เรารู้ว่าค่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะกลับกัน หากมีการสลับสองแถว ดังนั้น ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติของการต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและแนวทางแก้ไข

โดยทั่วไปมีงานสามประเภท

ในปัญหาของประเภทแรก ให้กำหนดความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน และจำเป็นต้องหาความยาวของผลคูณของเวกเตอร์ ในกรณีนี้จะใช้สูตร .

ตัวอย่าง.

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และถ้าทราบ .

สารละลาย.

เรารู้จากคำจำกัดความว่าความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น .

ตอบ:

.

ปัญหาประเภทที่สองเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ซึ่งค้นหาผลคูณความยาวหรืออย่างอื่นผ่านพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด และ .

มีตัวเลือกมากมายให้เลือกที่นี่ ตัวอย่างเช่นไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์และสามารถระบุได้ แต่เป็นการขยายในเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์ม และหรือเวกเตอร์และสามารถระบุได้โดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์สองตัวอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ... ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

สารละลาย.

ตามคำจำกัดความที่สอง ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดเขียนเป็น:

เราจะบรรลุผลเช่นเดียวกันหากผลคูณเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนต์

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ไหน

สารละลาย.

อันดับแรก เราหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เนื่องจากเวกเตอร์และมีพิกัดและตามนั้น (หากจำเป็นให้ดูบทความ พิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) จากนั้นตามคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เรามี

นั่นคือผลคูณข้าม มีพิกัดในระบบพิกัดที่กำหนด

เราหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน (เราได้สูตรนี้สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในส่วน การหาความยาวของเวกเตอร์):

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

พิกัดของสามจุดอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากและในเวลาเดียวกัน

สารละลาย.

เวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (ดูบทความ การหาพิกัดของเวกเตอร์ผ่านพิกัดของจุด). หากเราพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ แล้วโดยนิยาม มันคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง k และ k นั่นคือ มันคือคำตอบสำหรับปัญหาของเรา หามัน

ตอบ:

- หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ในงานประเภทที่สาม ทดสอบทักษะการใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากใช้คุณสมบัติแล้วจะใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์และตั้งฉากกับความยาวของพวกมันคือ 3 และ 4 ตามลำดับ หาความยาวของผลคูณ .

สารละลาย.

โดยคุณสมบัติของการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียน

เนื่องจากคุณสมบัติการรวมกัน เราจึงนำสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกนอกเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย:

ผลคูณของเวกเตอร์และมีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก และ , แล้ว .

เนื่องจากผลคูณเป็นสิ่งที่ต่อต้านการสลับกันดังนั้น

ดังนั้น โดยใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน .

โดยเงื่อนไขของเวกเตอร์และตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากัน นั่นคือ เรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อค้นหาความยาวที่ต้องการ

ตอบ:

.

ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำจำกัดความ ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์คือ ... และจากวิชาเรขาคณิตของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เรารู้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นผลคูณครึ่งหนึ่งของความยาวของสองด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น ความยาวของผลคูณเวกเตอร์จะเท่ากับสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีเวกเตอร์และด้าน ถ้าแยกกันจากจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านและมุมระหว่างพวกเขาเท่ากับ นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์