คำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยการขยายแถวหรือคอลัมน์ การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ตามสตริง การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์เซียน

20.11.2021หัวข้อ: ตำนานและตำนาน

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยขยายเป็นองค์ประกอบของบางแถวหรือบางคอลัมน์

สารละลาย.อันดับแรก เรามาทำการแปลงเบื้องต้นในแถวของดีเทอร์มีแนนต์ ทำค่าศูนย์ให้ได้มากที่สุดในแถวหรือในคอลัมน์ ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นให้ลบเก้าในสามออกจากบรรทัดแรก ห้าในสามจากบรรทัดที่สองและสามบรรทัดที่สามจากสี่ เราได้รับ:

ดีเทอร์มีแนนต์ที่เป็นผลลัพธ์จะถูกย่อยสลายโดยองค์ประกอบของคอลัมน์แรก:

ดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้รับของลำดับที่สามยังถูกขยายในแง่ขององค์ประกอบแถวและคอลัมน์ โดยมีค่าศูนย์ก่อนหน้านี้ เช่น ในคอลัมน์แรก เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ลบสองบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรก และลบที่สองออกจากบรรทัดที่สาม:

ตอบ.

12. สลัด 3 คำสั่ง

1. กฎสามเหลี่ยม

แผนผังกฎนี้สามารถอธิบายได้ดังนี้:

ผลคูณขององค์ประกอบในดีเทอร์มีแนนต์แรกที่เชื่อมต่อด้วยเส้นตรงนั้นใช้เครื่องหมายบวก ในทำนองเดียวกัน สำหรับดีเทอร์มีแนนต์ที่สอง ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องจะถูกนำด้วยเครื่องหมายลบ กล่าวคือ

2. กฎของซาร์รัส

ทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์จะเพิ่มสองคอลัมน์แรกและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักและบนเส้นทแยงมุมขนานกับเครื่องหมายบวก และผลคูณขององค์ประกอบด้านทแยงมุมและเส้นทแยงมุมขนานกับเครื่องหมายลบ:

3. การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ตามแถวหรือคอลัมน์

ดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของสตริงดีเทอร์มีแนนต์โดยการเสริมพีชคณิต มักจะเลือกแถว / คอลัมน์ที่มีศูนย์ เส้นหรือคอลัมน์ที่มีการสลายตัวจะแสดงด้วยลูกศร

ออกกำลังกาย.ขยายตามบรรทัดแรก คำนวณดีเทอร์มีแนนต์

สารละลาย.

ตอบ.

4.การลดดีเทอร์มีแนนต์เป็นรูปสามเหลี่ยม

ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นในแถวหรือคอลัมน์ ดีเทอร์มีแนนต์จะลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นค่าตามคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย.ขั้นแรก เราสร้างศูนย์ในคอลัมน์แรกใต้เส้นทแยงมุมหลัก การแปลงทั้งหมดจะง่ายขึ้นถ้าองค์ประกอบเท่ากับ 1 ในการทำเช่นนี้ เราจะสลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองของดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งตามคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ จะนำไปสู่ความจริงที่ว่ามันจะเปลี่ยนเครื่องหมาย ตรงกันข้าม:

ต่อไป เราได้ค่าศูนย์ในคอลัมน์ที่สองแทนที่องค์ประกอบที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลัก อีกครั้ง หากองค์ประกอบในแนวทแยงเท่ากัน การคำนวณก็จะง่ายขึ้น ในการทำเช่นนี้ เราสลับบรรทัดที่สองและสาม (และในขณะเดียวกันก็เปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของดีเทอร์มีแนนต์):

ต่อไป เราสร้างศูนย์ในคอลัมน์ที่สองภายใต้เส้นทแยงมุมหลัก สำหรับสิ่งนี้เราดำเนินการดังนี้: เราเพิ่มสามบรรทัดที่สองในแถวที่สาม และสองแถวที่สองไปยังแถวที่สี่ เราได้:

นอกจากนี้ จากบรรทัดที่สาม เราเอา (-10) สำหรับดีเทอร์มีแนนต์ และสร้างศูนย์ในคอลัมน์ที่สามภายใต้เส้นทแยงมุมหลัก และสำหรับสิ่งนี้ เราเพิ่มอันที่สามในบรรทัดสุดท้าย:

1.ทฤษฎีบทการสลายตัว:

ดีเทอร์มีแนนต์ใดๆ เท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของอนุกรมโดยสมบูรณ์เกี่ยวกับพีชคณิต

สำหรับ ผม-บรรทัดที่:

หรือเพื่อ เจคอลัมน์ที่:

ตัวอย่าง 7.1 คำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยการขยายองค์ประกอบของบรรทัดแรก:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

ทฤษฎีบทการสลายตัวช่วยให้เราสามารถแทนที่การคำนวณของดีเทอร์มีแนนต์หนึ่งตัว น-ลำดับโดยการคำนวณ นตัวกำหนด ( น- 1) คำสั่งที่

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ขอแนะนำให้ใช้ตัวกำหนดลำดับสูงใช้วิธี "การคูณศูนย์" ตามคุณสมบัติ 6 ของส่วนที่ 5 แนวคิดคือ:

ขั้นแรก "คูณศูนย์" ในแถวที่ต้องการ เช่น รับแถวที่มีองค์ประกอบเดียวไม่เท่ากับศูนย์ส่วนที่เหลือเป็นศูนย์

จากนั้นขยายดีเทอร์มีแนนต์ตามองค์ประกอบของอนุกรมนี้

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทการสลายตัว ดีเทอร์มีแนนต์เดิมจึงเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์โดยใช้ส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิต

ตัวอย่าง 7.2 คำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

คูณศูนย์ในคอลัมน์แรก

ลบบรรทัดแรกคูณด้วย 2 จากบรรทัดที่สอง ลบบรรทัดแรกคูณด้วย 3 และลบบรรทัดแรกคูณด้วย 4 จากบรรทัดที่สาม การแปลงเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มีแนนต์

โดยคุณสมบัติ 4 ของส่วนที่ 5 เราสามารถหาดีเทอร์มีแนนต์จากคอลัมน์ที่ 1 จากคอลัมน์ที่ 2 และจากคอลัมน์ที่ 3 นอกเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์

ข้อพิสูจน์:ดีเทอร์มีแนนต์ที่มีแถวศูนย์เท่ากับศูนย์

2... ทฤษฎีบทการทดแทน:

ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่จับคู่กันของตัวเลขบางตัวโดยการเสริมพีชคณิตของชุดดีเทอร์มีแนนต์บางชุดจะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้มาจากค่าที่ให้มา หากองค์ประกอบของอนุกรมนี้ถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่นำมา

สำหรับบรรทัดที่:

1. ทฤษฎีบทโมฆะ:

ผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของอนุกรมโดยผลคูณเชิงพีชคณิตของอนุกรมคู่ขนานเท่ากับศูนย์

โดยแท้จริงแล้ว โดยทฤษฎีบทการแทนที่ เราได้ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งใน k- บรรทัดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเช่นเดียวกับใน ผม-บรรทัดที่

แต่โดยคุณสมบัติ 3 ของส่วนที่ 5 ดีเทอร์มีแนนต์นี้เป็นศูนย์

ดังนั้น ทฤษฎีบทการสลายตัวและผลที่ตามมาสามารถเขียนได้ดังนี้:

8. ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับเมทริกซ์ คำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 8.1 . เมทริกซ์ตารางสี่เหลี่ยมต่อไปนี้เรียกว่า:

นอกจากนี้ยังใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ต่อไปนี้: , หรือ .

ชื่อแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ในแถว

ปริมาณเรียกว่า ขนาดเมทริกซ์

ถ้าแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์มีการแลกเปลี่ยนกัน เราก็จะได้เมทริกซ์ที่เรียกว่า ขนย้าย... เมทริกซ์สลับกับ , มักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ .

ตัวอย่างเช่น:

คำจำกัดความ 8.2... เมทริกซ์สองตัว อาและ บีเรียกว่า เท่ากัน, ถ้า

1) เมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน นั่นคือ และ ;

2) องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากันนั่นคือ

แล้ว . (8.2)

ในที่นี้ ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ (8.2) เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกันของสเกลาร์ (8.1)

9. ความหลากหลายของเมทริกซ์

1) เมทริกซ์ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า ศูนย์เมทริกซ์:

2) ถ้าเมทริกซ์มีเพียงหนึ่งแถวก็จะเรียกว่า เมทริกซ์แถว,ตัวอย่างเช่น . ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวมีชื่อว่า เมทริกซ์คอลัมน์,ตัวอย่างเช่น .

ทรานสโพสแปลงเมทริกซ์คอลัมน์เป็นเมทริกซ์แถวและในทางกลับกัน

3) ถ้า ม=นจากนั้นเมทริกซ์จะเรียกว่า เมทริกซ์สี่เหลี่ยมของลำดับที่ n

เส้นทแยงมุมของพจน์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ลากจากมุมซ้ายบนไปมุมขวาล่างเรียกว่า หลัก... เส้นทแยงมุมอีกอันของสมาชิกเริ่มจากมุมล่างซ้ายไปมุมขวาบนเรียกว่า หลักประกัน.

สำหรับเมทริกซ์กำลังสอง สามารถคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ได้ เดต (เอ).

คำจำกัดความ 1 7. ผู้เยาว์องค์ประกอบของดีเทอร์มีแนนต์เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้จากที่กำหนดโดยการลบแถวและคอลัมน์ที่องค์ประกอบที่เลือกตั้งอยู่

การกำหนด: องค์ประกอบที่เลือกของดีเทอร์มีแนนต์ รองลงมา

ตัวอย่าง. สำหรับ

คำจำกัดความ 1 แปด. ส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิตองค์ประกอบของดีเทอร์มีแนนต์จะเรียกว่า ไมเนอร์ ถ้าผลรวมของดัชนีขององค์ประกอบที่กำหนด i + j เป็นจำนวนคู่ หรือจำนวนตรงข้ามกับ ไมเนอร์ ถ้า i + j เป็นเลขคี่ กล่าวคือ

พิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม - การขยายแถวหรือคอลัมน์ที่เรียกว่า สำหรับสิ่งนี้ เราพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 1.1... ดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ใดๆ ของมันโดยการเสริมพีชคณิตของพวกมัน นั่นคือ

โดยที่ i = 1,2,3

การพิสูจน์.

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับแถวแรกของดีเทอร์มีแนนต์ เพราะสำหรับแถวหรือคอลัมน์อื่น เราสามารถให้เหตุผลที่คล้ายกันและได้ผลลัพธ์เดียวกัน

มาหาการเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิตขององค์ประกอบของบรรทัดแรกกัน:

ดังนั้น ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ก็เพียงพอที่จะหาพีชคณิตเสริมกับองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ใดๆ และคำนวณผลรวมของผลิตภัณฑ์โดยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของดีเทอร์มีแนนต์

ตัวอย่าง. ให้เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยใช้การขยายในคอลัมน์แรก โปรดทราบว่าในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องค้นหาเพราะฉะนั้นเราจะพบและ เพราะฉะนั้น,

ตัวกำหนดของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น.

คำจำกัดความ 1 9... ตัวกำหนดลำดับที่ N

คือผลรวม n! สมาชิกของ ซึ่งแต่ละอันตรงกับหนึ่งใน n! ของเซตที่จัดลำดับซึ่งได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนคู่ของ r จากเซต 1,2,…, n

หมายเหตุ 1. คุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สามใช้ได้กับดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่ n ด้วย

หมายเหตุ 2 ในทางปฏิบัติ ตัวกำหนดของลำดับที่สูงกว่าคำนวณโดยใช้การขยายตามแถวหรือคอลัมน์ ซึ่งช่วยให้เราสามารถลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ที่คำนวณได้ และลดปัญหาในการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สามในท้ายที่สุด

ตัวอย่าง. เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่ 4 โดยใช้การสลายตัวในคอลัมน์ที่ 2 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ค้นหาและ:

เพราะฉะนั้น,

ทฤษฎีบทของลาปลาซเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพีชคณิตเชิงเส้น ได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์-ไซมอน ลาปลาซ (ค.ศ. 1749 - พ.ศ. 2370) ผู้ซึ่งได้รับเครดิตว่าเป็นผู้กำหนดทฤษฎีบทนี้ในปี พ.ศ. 2315 แม้ว่ากรณีพิเศษของทฤษฎีบทนี้เกี่ยวกับการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแถว (คอลัมน์) เป็นที่รู้จักของไลบนิซ .

การดำเนินการผู้เยาว์ถูกกำหนดดังนี้:

ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

จำนวนผู้เยาว์ที่ใช้ผลรวมในทฤษฎีบทของลาปลาซ เท่ากับจำนวนวิธีในการเลือกคอลัมน์จาก นั่นคือ สัมประสิทธิ์ทวินาม

เนื่องจากแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เทียบเท่ากับคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ ทฤษฎีบทของ Laplace จึงสามารถกำหนดสูตรสำหรับคอลัมน์ของเมทริกซ์ได้

การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแถว (คอลัมน์) (ผลที่ 1)

กรณีเฉพาะของทฤษฎีบทของ Laplace เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง - การขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแถวหรือคอลัมน์ ช่วยให้คุณแสดงดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ใดๆ ของแถวหรือคอลัมน์นั้นด้วยการเติมเต็มเชิงพีชคณิตของพวกมัน

อนุญาต เป็นเมทริกซ์ขนาดกำลังสอง ให้หมายเลขแถวหรือหมายเลขคอลัมน์เมทริกซ์ด้วย จากนั้นสามารถคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

ตอบ.

12. สลัด 3 คำสั่ง

1. กฎสามเหลี่ยม

แผนผังกฎนี้สามารถอธิบายได้ดังนี้:

2. กฎของซาร์รัส

3. การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ตามแถวหรือคอลัมน์

ออกกำลังกาย.ขยายตามบรรทัดแรก คำนวณดีเทอร์มีแนนต์

สารละลาย.

ตอบ.

4.การลดดีเทอร์มีแนนต์เป็นรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับแนวคิดของส่วนประกอบรองและพีชคณิต

ผู้เยาว์องค์ประกอบเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เหลือหลังจากลบเส้นและคอลัมน์ที่จุดตัดที่องค์ประกอบนี้ตั้งอยู่ องค์ประกอบรองของตัวกำหนดลำดับมีคำสั่ง เราจะแสดงมันโดย

ตัวอย่างที่ 1อนุญาต , แล้ว .

ผู้เยาว์นี้ได้มาจาก A โดยการลบแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม

ส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิตเรียกว่าองค์ประกอบรองที่สอดคล้องกันคูณด้วยเช่น โดยที่หมายเลขของแถวและ -column ที่จุดตัดขององค์ประกอบนี้อยู่ที่ไหน

แปด.(การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์โดยองค์ประกอบของสตริงบางตัว) ดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของแถวบางแถวโดยการเสริมพีชคณิตที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2อนุญาต , แล้ว

ตัวอย่างที่ 3หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ โดยขยายตามองค์ประกอบของบรรทัดแรก

อย่างเป็นทางการ ทฤษฎีบทนี้และคุณสมบัติอื่นๆ ของดีเทอร์มีแนนต์ใช้ได้กับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สูงกว่าลำดับที่สามเท่านั้น เนื่องจากเรายังไม่ได้พิจารณาดีเทอร์มีแนนต์อื่นๆ คำจำกัดความต่อไปนี้จะขยายคุณสมบัติเหล่านี้ไปยังดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับใดๆ

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ คำสั่งเป็นตัวเลขที่คำนวณโดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทการสลายตัวและคุณสมบัติอื่นๆ ของดีเทอร์มีแนนต์ตามลำดับ

คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าผลลัพธ์ของการคำนวณไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของแถวและคอลัมน์ที่ใช้คุณสมบัติข้างต้น ดีเทอร์มีแนนต์พบได้อย่างชัดเจนด้วยความช่วยเหลือของคำจำกัดความนี้

แม้ว่าคำจำกัดความนี้ไม่มีสูตรที่ชัดเจนสำหรับการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ แต่ให้คุณสามารถหามันได้โดยการลดให้เป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับที่ต่ำกว่า นิยามดังกล่าวเรียกว่า กำเริบ

ตัวอย่างที่ 4คำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

แม้ว่าทฤษฎีบทการสลายตัวสามารถนำไปใช้กับแถวหรือคอลัมน์ใดๆ ของเมทริกซ์ที่กำหนด แต่ก็มีการคำนวณที่เกี่ยวข้องน้อยกว่าในการสลายตัวบนคอลัมน์ที่มีศูนย์ให้ได้มากที่สุด

เนื่องจากเมทริกซ์ไม่มีองค์ประกอบที่เป็นศูนย์ เราจึงได้มันมาโดยใช้คุณสมบัติ Vii... คูณแถวแรกตามลำดับด้วยตัวเลข และเพิ่มลงในบรรทัดและรับ: