1 คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ ลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ตามแถว (คอลัมน์) การหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์โดยนิยาม

การกำหนดปัญหา

การกำหนดนี้ถือว่าผู้ใช้คุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานของวิธีการเชิงตัวเลข เช่น ดีเทอร์มีแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน และวิธีคำนวณด้วยวิธีต่างๆ ในรายงานเชิงทฤษฎีนี้ ในภาษาที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ จะมีการแนะนำแนวคิดและคำจำกัดความพื้นฐานก่อน บนพื้นฐานของการวิจัยเพิ่มเติม ผู้ใช้อาจไม่มีความรู้พิเศษในด้านวิธีการเชิงตัวเลขและพีชคณิตเชิงเส้น แต่สามารถใช้ประโยชน์จากผลงานนี้ได้อย่างง่ายดาย เพื่อความชัดเจน จึงนำเสนอโปรแกรมสำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ด้วยวิธีการต่างๆ ที่เขียนด้วยภาษาโปรแกรม C ++ โปรแกรมนี้ใช้เป็นม้านั่งในห้องปฏิบัติการเพื่อสร้างภาพประกอบสำหรับรายงาน และยังมีการศึกษาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นอีกด้วย ความไร้ประโยชน์ของการคำนวณเมทริกซ์ผกผันได้รับการพิสูจน์แล้ว ดังนั้นงานนี้จึงให้วิธีการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการแก้สมการโดยไม่ต้องคำนวณ มันอธิบายว่าเหตุใดจึงมีวิธีการต่างๆ มากมายในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน และกล่าวถึงข้อเสียของพวกมัน ข้อผิดพลาดในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์จะได้รับการพิจารณาและประเมินความถูกต้องที่ทำได้ นอกจากคำศัพท์ภาษารัสเซียแล้ว งานนี้ยังใช้ภาษาอังกฤษที่เทียบเท่ากันเพื่อทำความเข้าใจว่าชื่อใดเพื่อค้นหาขั้นตอนทางตัวเลขในห้องสมุดและความหมายของพารามิเตอร์เหล่านี้หมายถึงอะไร

คำจำกัดความพื้นฐานและคุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

ดีเทอร์มิแนนต์

ให้เราแนะนำนิยามของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับใดๆ นิยามนี้จะเป็น กำเริบนั่นคือ เพื่อสร้างว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับคืออะไร เราต้องรู้อยู่แล้วว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับคืออะไร สังเกตด้วยว่าดีเทอร์มีแนนต์สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสจะแสดงด้วยหรือระบุ

คำจำกัดความ 1 ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สี่เหลี่ยม ลำดับที่สองคือตัวเลข .

ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์กำลังสองของคำสั่งเรียกว่าจำนวน

โดยที่ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่ได้มาจากเมทริกซ์โดยการลบแถวแรกและคอลัมน์ที่มีตัวเลข

เพื่อความชัดเจน เราจดวิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับที่สี่:

ความคิดเห็นการคำนวณจริงของดีเทอร์มีแนนต์สำหรับเมทริกซ์ลำดับที่สูงกว่าของสาม ตามคำจำกัดความ จะใช้ในกรณีพิเศษ ตามกฎแล้ว การคำนวณจะดำเนินการตามอัลกอริธึมอื่น ๆ ซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลังและต้องใช้การคำนวณน้อยกว่า

ความคิดเห็นในคำจำกัดความที่ 1 จะแม่นยำกว่าที่จะบอกว่าดีเทอร์มีแนนต์เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุดของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับและรับค่าในชุดตัวเลข

ความคิดเห็นในวรรณคดี แทนที่จะใช้คำว่า "ดีเทอร์มิแนนต์" คำว่า "ดีเทอร์มิแนนต์" ก็ถูกใช้เช่นกัน ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน จากคำว่า "ดีเทอร์มิแนนต์" การกำหนดเดตก็ปรากฏขึ้น

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งเรากำหนดไว้ในรูปแบบของข้อความสั่ง

คำชี้แจง 1เมื่อเมทริกซ์ถูกย้าย ดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ

คำชี้แจง 2ดีเทอร์มีแนนต์ของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์กำลังสองเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มีแนนต์ของปัจจัย นั่นคือ

คำชี้แจง 3หากมีการสลับแถวสองแถวในเมทริกซ์ ดีเทอร์มีแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

คำชี้แจง 4ถ้าเมทริกซ์มีแถวเหมือนกันสองแถว ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเป็นศูนย์

ในอนาคต เราต้องเพิ่มสตริงและคูณสตริงด้วยตัวเลข เราจะดำเนินการเหล่านี้ในแถว (คอลัมน์) ในลักษณะเดียวกับการดำเนินการกับเมทริกซ์แถว (เมทริกซ์คอลัมน์) นั่นคือองค์ประกอบที่ชาญฉลาด ผลลัพธ์จะเป็นแถว (คอลัมน์) ซึ่งตามกฎแล้วไม่ตรงกับแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิม หากมีการดำเนินการสำหรับการเพิ่มแถว (คอลัมน์) และคูณด้วยตัวเลข เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการรวมเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ได้ นั่นคือ ผลรวมที่มีสัมประสิทธิ์ตัวเลข

คำชี้แจง 5หากแถวของเมทริกซ์คูณด้วยตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้

คำชี้แจงที่ 6หากเมทริกซ์มีแถวศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเป็นศูนย์

คำชี้แจง 7หากแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์เท่ากับอีกแถวหนึ่งคูณด้วยตัวเลข (แถวนั้นเป็นสัดส่วน) ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะเป็นศูนย์

คำชี้แจง 8ให้แถวที่ i ในเมทริกซ์มีรูปแบบ จากนั้นเมื่อได้เมทริกซ์จากเมทริกซ์โดยแทนที่แถวที่ i ด้วยแถวและเมทริกซ์ - โดยการแทนที่แถวที่ i ด้วยแถว

คำชี้แจง 9หากแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์ถูกเพิ่มไปยังอีกแถวหนึ่ง คูณด้วยตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

คำชี้แจง 10.หากหนึ่งในแถวของเมทริกซ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่น ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะเป็นศูนย์

คำจำกัดความ 2 ส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิตองค์ประกอบเมทริกซ์คือจำนวนเท่ากับ โดยที่คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากเมทริกซ์โดยการลบแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j ส่วนประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์แสดงโดย

ตัวอย่าง.ปล่อยให้เป็น ... แล้ว

ความคิดเห็นการใช้การบวกพีชคณิต นิยาม 1 ของดีเทอร์มีแนนต์สามารถเขียนได้ดังนี้:

คำชี้แจง 11 การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ตามสตริงใดๆ

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ตรงตามสูตร

ตัวอย่าง.คำนวณ .

สารละลาย.ลองใช้การขยายในบรรทัดที่สาม มันทำกำไรได้มากกว่า เนื่องจากในบรรทัดที่สาม ตัวเลขสองในสามเป็นศูนย์ เราได้รับ

คำชี้แจง 12.สำหรับเมทริกซ์กำลังสองของคำสั่งที่ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น: .

คำชี้แจง 13คุณสมบัติทั้งหมดของดีเทอร์มีแนนต์ที่กำหนดสูตรสำหรับแถว (คำสั่ง 1 - 11) ยังใช้ได้สำหรับคอลัมน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในคอลัมน์ j-th นั้นถูกต้อง และความเท่าเทียมกัน ที่ .

คำชี้แจง 14.ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ผลที่ตามมาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์เท่ากับหนึ่ง

เอาท์พุตคุณสมบัติที่แสดงด้านบนทำให้สามารถค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับที่สูงเพียงพอด้วยการคำนวณที่ค่อนข้างน้อย อัลกอริทึมการคำนวณมีดังนี้

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างศูนย์ในคอลัมน์ให้จำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของคำสั่ง ถ้าเช่นนั้นเราจะสลับบรรทัดแรกกับบรรทัดอื่นที่องค์ประกอบแรกไม่เป็นศูนย์ เป็นผลให้ดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่ที่มีเครื่องหมายตรงข้าม หากองค์ประกอบแรกของแต่ละแถวเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์จะมีคอลัมน์ศูนย์ และตามข้อความที่ 1, 13 ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์

ดังนั้นเราจึงพิจารณาว่าอยู่ในเมทริกซ์ดั้งเดิมแล้ว ปล่อยให้บรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลง เพิ่มในบรรทัดที่สองบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข จากนั้นองค์ประกอบแรกของแถวที่สองจะเป็น .

องค์ประกอบที่เหลือของบรรทัดที่สองใหม่จะแสดงด้วย ตามข้อ 9 ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่คือ บรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลขและบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม องค์ประกอบแรกของบรรทัดที่สามใหม่จะเป็น

องค์ประกอบที่เหลือของบรรทัดที่สามใหม่จะแสดงด้วย ตามข้อ 9 ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่คือ

เราจะดำเนินการตามขั้นตอนการรับศูนย์แทนองค์ประกอบแรกของเส้น สุดท้าย เราคูณบรรทัดแรกด้วยตัวเลขแล้วบวกกับบรรทัดสุดท้าย เป็นผลให้ได้เมทริกซ์เราแสดงว่ามีรูปแบบ

และ. ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ เราใช้การขยายในคอลัมน์แรก

ตั้งแต่นั้นมา

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์คำสั่งอยู่ทางขวามือ ใช้อัลกอริทึมเดียวกันกับมัน และการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะลดลงเหลือการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ เราทำซ้ำกระบวนการจนกว่าจะถึงดีเทอร์มีแนนต์อันดับสอง ซึ่งคำนวณตามคำจำกัดความ

หากเมทริกซ์ไม่มีคุณสมบัติเฉพาะ จะไม่สามารถลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมากเมื่อเปรียบเทียบกับอัลกอริธึมที่เสนอ อีกด้านที่ดีของอัลกอริธึมนี้คือ ง่ายต่อการใช้เพื่อสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของคำสั่งจำนวนมาก ในโปรแกรมมาตรฐานสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ อัลกอริธึมนี้ใช้กับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่เกี่ยวข้องกับการลดอิทธิพลของข้อผิดพลาดในการปัดเศษและข้อผิดพลาดของข้อมูลที่ป้อนเข้าในการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง.คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ .

สารละลาย.ปล่อยให้บรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลง ในบรรทัดที่สอง เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข:

ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เปลี่ยนแปลง ในบรรทัดที่สาม เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข:

ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เปลี่ยนแปลง ในบรรทัดที่สี่ ให้บวกบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข:

ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เปลี่ยนแปลง เป็นผลให้เราได้รับ

โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ 3 ทางด้านขวา เราปล่อยให้บรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลงไปยังบรรทัดที่สองเราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข :

ในบรรทัดที่สาม เราบวกอันแรกคูณด้วยตัวเลข :

เป็นผลให้เราได้รับ

ตอบ. .

ความคิดเห็นแม้ว่าเศษส่วนจะถูกนำมาใช้ในการคำนวณ แต่ผลลัพธ์ก็คือจำนวนเต็ม อันที่จริง การใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์และข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขเดิมเป็นจำนวนเต็ม สามารถหลีกเลี่ยงการดำเนินการที่มีเศษส่วนได้ แต่ในทางวิศวกรรม ตัวเลขมักจะไม่เต็ม ดังนั้น ตามกฎแล้ว องค์ประกอบของดีเทอร์มีแนนต์จะเป็นเศษส่วนทศนิยม และไม่สามารถใช้เทคนิคบางอย่างเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

เมทริกซ์ผกผัน

คำจำกัดความ 3เมทริกซ์เรียกว่า เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์กำลังสองถ้า

จากคำจำกัดความที่ว่าเมทริกซ์ผกผันจะเป็นเมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ (มิฉะนั้นหนึ่งในผลิตภัณฑ์หรือจะไม่ได้กำหนดไว้)

เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์แสดงโดย ดังนั้นหากมีอยู่แล้วล่ะก็

จากคำจำกัดความของเมทริกซ์ผกผัน มันตามมาว่าเมทริกซ์นั้นคืออินเวอร์สของเมทริกซ์นั่นเอง เกี่ยวกับเมทริกซ์เราสามารถพูดได้ว่าพวกมันผกผันกันหรือผกผันซึ่งกันและกัน

หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เป็นศูนย์ แสดงว่าไม่มีค่าผกผัน

เนื่องจากเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันว่าดีเทอร์มีแนนต์ของ Maritsa เท่ากับศูนย์หรือไม่ เราจึงแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้

คำจำกัดความ 4เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่า เสื่อมโทรมหรือ เมทริกซ์พิเศษ, ถ้า ไม่เสื่อมสภาพหรือ เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์, ถ้า .

คำแถลง.หากมีเมทริกซ์ผกผันก็จะไม่ซ้ำกัน

คำแถลง.หากเมทริกซ์จตุรัสไม่เสื่อมสภาพก็จะมีผกผันและ (1) พีชคณิตประกอบกับองค์ประกอบอยู่ที่ไหน

ทฤษฎีบท.เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ไม่เสื่อมสภาพ เมทริกซ์ผกผันจะไม่ซ้ำกัน และสูตร (1) ถูกต้อง

ความคิดเห็นควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสถานที่ที่การเติมพีชคณิตในสูตรของเมทริกซ์ผกผัน: ดัชนีแรกแสดงตัวเลข คอลัมน์และที่สองคือตัวเลข สตริงซึ่งคุณต้องเขียนส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิตที่คำนวณได้

ตัวอย่าง. .

สารละลาย.หาดีเทอร์มีแนนต์

เนื่องจากเมทริกซ์ไม่เสื่อมและมีอยู่ผกผัน ค้นหาการเติมเต็มพีชคณิต:

เราเขียนเมทริกซ์ผกผันโดยวางการเติมเต็มพีชคณิตที่พบเพื่อให้ดัชนีแรกสอดคล้องกับคอลัมน์และที่สองในแถว: (2)

เมทริกซ์ผลลัพธ์ (2) คือคำตอบของปัญหา

ความคิดเห็นในตัวอย่างที่แล้ว การเขียนคำตอบแบบนี้จะแม่นยำกว่า:
(3)

อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์ (2) มีขนาดกะทัดรัดกว่าและสะดวกกว่าในการคำนวณเพิ่มเติม หากจำเป็น ดังนั้น การเขียนคำตอบในรูปแบบ (2) จะดีกว่าถ้าองค์ประกอบของเมทริกซ์เป็นจำนวนเต็ม ในทางกลับกัน หากองค์ประกอบของเมทริกซ์เป็นเศษส่วนทศนิยม ก็ควรเขียนเมทริกซ์ผกผันโดยไม่มีตัวประกอบอยู่ข้างหน้า

ความคิดเห็นเมื่อหาเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องทำการคำนวณค่อนข้างมากและกฎที่ไม่ธรรมดาสำหรับการจัดเรียงการเติมเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตในเมทริกซ์สุดท้าย ดังนั้นจึงมีโอกาสเกิดข้อผิดพลาดสูง เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด คุณควรตรวจสอบ: คำนวณผลคูณของเมทริกซ์ดั้งเดิมและเมทริกซ์สุดท้ายในลำดับเดียวหรืออย่างอื่น หากผลลัพธ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ก็จะพบค่าผกผันอย่างถูกต้อง มิฉะนั้น คุณต้องค้นหาข้อผิดพลาด

ตัวอย่าง.หาค่าผกผันของเมทริกซ์ .

สารละลาย. - มีอยู่

ตอบ: .

เอาท์พุตการหาเมทริกซ์ผกผันตามสูตร (1) ต้องใช้การคำนวณมากเกินไป สิ่งนี้ไม่เป็นที่ยอมรับสำหรับเมทริกซ์ของลำดับที่สี่และสูงกว่า อัลกอริทึมจริงสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันจะได้รับในภายหลัง

การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

วิธีเกาส์เซียนสามารถใช้เพื่อค้นหาดีเทอร์มีแนนต์และผกผันของเมทริกซ์

กล่าวคือ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับเดต

เมทริกซ์ผกผันพบได้โดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน:

คอลัมน์ j-th ของเมทริกซ์เอกลักษณ์อยู่ที่ไหน คือเวกเตอร์ที่ต้องการ

เวกเตอร์โซลูชันที่ได้รับ - เห็นได้ชัดว่าสร้างคอลัมน์ของเมทริกซ์ตั้งแต่

สูตรดีเทอร์มิแนนต์

1. หากเมทริกซ์ไม่เสื่อมสภาพแล้ว และ (ผลคูณขององค์ประกอบเดือย)

สำหรับดีเทอร์มีแนนต์ของคำสั่งที่สี่และสูงกว่า มักจะใช้วิธีการคำนวณอื่น ๆ มากกว่าการใช้สูตรสำเร็จรูปสำหรับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของคำสั่งที่สองและสาม วิธีหนึ่งในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของออร์เดอร์ที่สูงกว่าคือการใช้ผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทของลาปลาซ (สามารถเห็นทฤษฎีบทในหนังสือของ AG Kurosh "หลักสูตรพีชคณิตระดับสูง") ผลสืบเนื่องนี้ช่วยให้เราสามารถขยายดีเทอร์มีแนนต์เหนือองค์ประกอบของบางแถวหรือบางคอลัมน์ ในกรณีนี้ การคำนวณของดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ n จะลดลงเหลือการคำนวณของดีเทอร์มีแนนต์ n ของลำดับที่ (n-1) - นั่นคือสาเหตุที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ ตัวอย่างเช่น การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สี่จะลดลงเหลือการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์สี่ตัวของลำดับที่สาม

สมมติว่าเราได้รับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของลำดับที่ n นั่นคือ $ A = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ end (array) \ right) $. ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้สามารถคำนวณได้โดยการขยายตามแถวหรือคอลัมน์

ลองแก้ไขบางบรรทัด ซึ่งจำนวนนั้นเท่ากับ $ i $ จากนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $ A_ (n \ คูณ n) $ สามารถขยายได้ในแถวที่ i ที่เลือกโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

\ เริ่มต้น (สมการ) \ เดลต้า A = \ ผลรวม \ จำกัด _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (ใน) A_ (ใน) \ end (สมการ)

$ A_ (ij) $ หมายถึงการเติมเต็มพีชคณิตของ $ a_ (ij) $ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดนี้ ขอแนะนำให้ดูหัวข้อ Algebraic Complements and Minors บันทึก $ a_ (ij) $ หมายถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์หรือดีเทอร์มีแนนต์ที่จุดตัดของแถวที่ i ของคอลัมน์ที่ j สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่หัวข้อเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์ เงื่อนไขพื้นฐาน

สมมติว่าเราต้องการหาผลรวมของ $ 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 $ วลีใดอธิบายเครื่องหมาย $ 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 $ ได้ คุณสามารถพูดแบบนี้: มันคือผลรวมของหนึ่งกำลังสอง สองกำลังสอง สามกำลังสอง สี่กำลังสอง และห้ากำลังสอง และคุณสามารถพูดสั้นๆ ได้ว่า: มันเป็นผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 5 ในการสรุปผลรวมให้กระชับยิ่งขึ้น จะใช้สัญกรณ์ที่ใช้ตัวอักษร $ \ sum $ (นี่คืออักษรกรีก "ซิกมา")

แทนที่จะเป็น $ 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 $ เราสามารถใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: $ \ sum \ unlimited_ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 $ ชื่อตัวอักษร $ i $ ดัชนีผลรวมและตัวเลข 1 (ค่าเริ่มต้น $ i $) และ 5 (ค่าสุดท้าย $ i $) เรียกว่า ขีด จำกัด การรวมล่างและบนตามลำดับ

มาถอดรหัสบันทึก $ \ sum \ unlimited_ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 $ โดยละเอียด ถ้า $ i = 1 $ แล้ว $ i ^ 2 = 1 ^ 2 $ ดังนั้นเทอมแรกของผลรวมนี้จะเป็นตัวเลข $ 1 ^ 2 $:

$$ \ ผลรวม \ จำกัด _ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 = 1 ^ 2 + \ ldots $$

จำนวนเต็มถัดไปหลังจากหนึ่งคือสอง ดังนั้นการแทนที่ $ i = 2 $ เราจะได้: $ i ^ 2 = 2 ^ 2 $ จำนวนเงินจะเป็นดังนี้:

$$ \ ผลรวม \ จำกัด _ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ ldots $$

หลังจากสอง ตัวเลขถัดไปคือสาม ดังนั้น แทนที่ $ i = 3 $ จะได้: $ i ^ 2 = 3 ^ 2 $ และผลรวมจะอยู่ในรูปแบบ:

$$ \ sum \ unlimited_ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ ldots $$

ยังคงใช้แทนตัวเลขสองตัวเท่านั้น: 4 และ 5 หากคุณแทนที่ $ i = 4 $ แล้ว $ i ^ 2 = 4 ^ 2 $ และหากคุณแทนที่ $ i = 5 $ แล้ว $ i ^ 2 = 5 ^ 2 เหรียญ ค่าของ $ i $ ถึงขีดจำกัดบนของการรวม ดังนั้นเทอม $ 5 ^ 2 $ จะเป็นค่าสุดท้าย ดังนั้นจำนวนเงินสุดท้ายจะเป็นดังนี้:

$$ \ ผลรวม \ จำกัด _ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 $$

ผลรวมนี้สามารถคำนวณได้โดยการเพิ่มตัวเลข: $ \ sum \ unlimited_ (i = 1) ^ (5) i ^ 2 = 55 $

สำหรับการปฏิบัติ ให้ลองเขียนและคำนวณผลรวมต่อไปนี้: $ \ sum \ unlimited_ (k = 3) ^ (8) (5k + 2) $ ดัชนีผลรวมที่นี่คือตัวอักษร $ k $ ขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 3 และขีดจำกัดของการรวมบนคือ 8

$$ \ ผลรวม \ จำกัด _ (k = 3) ^ (8) (5k + 2) = 17 + 22 + 27 + 32 + 37 + 42 = 177 $$

มีอะนาล็อกของสูตร (1) สำหรับคอลัมน์ด้วย สูตรสำหรับการขยายดีเทอร์มีแนนต์ในคอลัมน์ j-th มีดังนี้:

\ เริ่มต้น (สมการ) \ เดลต้า A = \ ผลรวม \ จำกัด _ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ end (สมการ)

กฎที่แสดงโดยสูตร (1) และ (2) สามารถกำหนดได้ดังนี้ ดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์บางแถวโดยการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบเหล่านี้ เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สี่ ซึ่งเขียนในรูปแบบทั่วไป ตัวอย่างเช่น ลองขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สี่ (องค์ประกอบของคอลัมน์นี้ถูกเน้นด้วยสีเขียว):

$$ \ เดลต้า = \ ซ้าย | \ เริ่มต้น (อาร์เรย์) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & \ normgreen (a_ (14)) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) & \ normgreen (a_ (24)) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) & \ normgreen (a_ (34)) \\ a_ (41) & a_ (42) & a_ (43) & \ normgreen (a_ (44)) \\ \ end (array) \ right | $$ $$ \ Delta = \ normgreen (a_ (14)) \ cdot (A_ (14)) + \ normgreen (a_ (24)) \ cdot (A_ (24)) + \ normgreen (a_ (34)) \ cdot (A_ (34)) + \ normgreen (a_ (44)) \ cdot (A_ (44)) $$

ในทำนองเดียวกัน การขยาย ตัวอย่างเช่น ในบรรทัดที่สาม เราได้สูตรต่อไปนี้สำหรับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

$$ \ เดลต้า = a_ (31) \ cdot (A_ (31)) + a_ (32) \ cdot (A_ (32)) + a_ (33) \ cdot (A_ (33)) + a_ (34) \ cdot (A_ (34)) $$

ตัวอย่าง # 1

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $ A = \ left (\ start (array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \ end (array) \ right) $ โดยใช้ การสลายตัวในแถวแรกและคอลัมน์ที่สอง

เราจำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สาม $ \ Delta A = \ left | \ begin (array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \ end (array) \ right | $. หากต้องการขยายในบรรทัดแรก คุณต้องใช้สูตร ให้เราเขียนการสลายตัวนี้ในรูปแบบทั่วไป:

$$ \ เดลต้า A = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) $$

สำหรับเมทริกซ์ของเรา $ a_ (11) = 5 $, $ a_ (12) = - 4 $, $ a_ (13) = 3 $ ในการคำนวณพีชคณิตเสริม $ A_ (11) $, $ A_ (12) $, $ A_ (13) $ เราจะใช้สูตร # 1 จากหัวข้อใน ดังนั้นการเติมเต็มพีชคณิตที่จำเป็นมีดังนี้:

\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot \ ซ้าย | \ begin (array) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \ end (array) \ right | = 2 \ cdot 4 - (- 1) \ cdot 0 = 8; \\ & A_ (12) = ( -1) ^ 3 \ cdot \ ซ้าย | \ begin (array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | = - (7 \ cdot 4 - (- 1) \ cdot 9) = - 37; \\ & A_ ( 13) = (- 1) ^ 4 \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \ end (array) \ right | = 7 \ cdot 0-2 \ cdot 9 = -18. \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง)

เราพบการเติมเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตได้อย่างไร แสดงซ่อน

แทนค่าที่พบทั้งหมดลงในสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น เราได้รับ:

$$ \ เดลต้า A = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = 5 \ cdot (8) + (- 4) \ cdot (-37) +3 \ cdot (-18) = 134. $$

อย่างที่คุณเห็น เราได้ลดขั้นตอนการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สามเพื่อคำนวณค่าของดีเทอร์มีแนนต์สามตัวของลำดับที่สอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้ลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ดั้งเดิม

โดยปกติแล้ว ในกรณีง่ายๆ เช่นนี้ พวกเขาจะไม่อธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด โดยค้นหาการเติมเต็มเชิงพีชคณิตแยกกัน จากนั้นจึงแทนที่พวกมันลงในสูตรสำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ส่วนใหญ่มักจะเขียนสูตรทั่วไปต่อไปจนกว่าจะได้รับคำตอบ นี่คือวิธีที่เราจะเริ่มขยายดีเทอร์มีแนนต์ไปยังคอลัมน์ที่สอง

เรามาเริ่มขยายดีเทอร์มีแนนต์ในคอลัมน์ที่สองกัน เราจะไม่ทำการคำนวณเสริม เราจะใช้สูตรต่อไปจนกว่าจะได้คำตอบ โปรดทราบว่าในคอลัมน์ที่สอง องค์ประกอบหนึ่งมีค่าเป็นศูนย์ กล่าวคือ $ a_ (32) = 0 $ นี่แสดงให้เห็นว่าคำว่า $ a_ (32) \ cdot A_ (32) = 0 \ cdot A_ (23) = 0 $ โดยใช้สูตรการสลายตัวในคอลัมน์ที่สอง เราได้รับ:

$$ \ เดลต้า A = a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (22) \ cdot A_ (22) + a_ (32) \ cdot A_ (32) = - 4 \ cdot (-1) \ cdot \ ซ้าย | \ start (array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | +2 \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | = 4 \ cdot 37 + 2 \ cdot (-7) = 134. $$

ได้รับคำตอบแล้ว ตามธรรมชาติแล้ว ผลลัพธ์ของการสลายตัวในคอลัมน์ที่สองจะใกล้เคียงกับผลลัพธ์ของการสลายตัวในแถวแรก เพราะเราสลายตัวดีเทอร์มีแนนต์เดียวกัน โปรดทราบว่าเราทำการคำนวณน้อยลงเมื่อขยายในคอลัมน์ที่สอง เนื่องจากองค์ประกอบหนึ่งในคอลัมน์ที่สองเป็นศูนย์ อยู่บนพื้นฐานของการพิจารณาดังกล่าวที่สำหรับการขยายพวกเขาพยายามเลือกคอลัมน์หรือแถวที่มีศูนย์มากกว่า

ตอบ: $ \ เดลต้า A = 134 $

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $ A = \ left (\ start (array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (array) \ right) $ โดยใช้การขยายในแถวหรือคอลัมน์ที่เลือก

สำหรับการสลายตัว จะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการเลือกแถวหรือคอลัมน์ที่มีศูนย์มากที่สุด โดยธรรมชาติ ในกรณีนี้ การย่อยสลายโดยบรรทัดที่สามเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผล เนื่องจากมีองค์ประกอบสององค์ประกอบเท่ากับศูนย์ โดยใช้สูตร เราเขียนการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในบรรทัดที่สาม:

$$ \ เดลต้า A = a_ (31) \ cdot A_ (31) + a_ (32) \ cdot A_ (32) + a_ (33) \ cdot A_ (33) + a_ (34) \ cdot A_ (34) $$

เนื่องจาก $ a_ (31) = - 5 $, $ a_ (32) = 0 $, $ a_ (33) = - 4 $, $ a_ (34) = 0 $ ดังนั้นสูตรที่เขียนด้านบนจะกลายเป็นดังนี้:

$$ \ เดลต้า A = -5 \ cdot A_ (31) -4 \ cdot A_ (33) $$

ให้เราหันไปที่การเติมเต็มพีชคณิต $ A_ (31) $ และ $ A_ (33) $ ในการคำนวณ เราจะใช้สูตรหมายเลข 2 จากหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับตัวกำหนดลำดับที่สองและสาม (ในส่วนเดียวกันมีตัวอย่างโดยละเอียดของการใช้สูตรนี้)

\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & A_ (31) = (- 1) ^ 4 \ cdot \ left | \ เริ่มต้น (อาร์เรย์) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \ end (อาร์เรย์) \ right | = 10; \\ & A_ (33) = ( -1) ^ 6 \ cdot \ ซ้าย | \ เริ่มต้น (อาร์เรย์) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \ end (อาร์เรย์) \ right | = -34 \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง)

แทนที่ข้อมูลที่ได้รับลงในสูตรสำหรับดีเทอร์มีแนนต์ เราจะได้:

$$ \ เดลต้า A = -5 \ cdot A_ (31) -4 \ cdot A_ (33) = - 5 \ cdot 10-4 \ cdot (-34) = 86 $$

โดยหลักการแล้ว โซลูชันทั้งหมดสามารถเขียนได้ในบรรทัดเดียว หากคุณข้ามคำอธิบายและการคำนวณขั้นกลางทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาจะถูกเขียนดังนี้:

$$ \ เดลต้า A = a_ (31) \ cdot A_ (31) + a_ (32) \ cdot A_ (32) + a_ (33) \ cdot A_ (33) + a_ (34) \ cdot A_ (34) = \\ = -5 \ cdot (-1) ^ 4 \ cdot \ left | \ เริ่มต้น (อาร์เรย์) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \ end (อาร์เรย์) \ right | -4 \ cdot (-1) ^ 6 \ cdot \ ซ้าย | \ เริ่มต้น (อาร์เรย์) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \ end (อาร์เรย์) \ right | = -5 \ cdot 10-4 \ cdot ( -34) = 86. $$

ตอบ: $ \ เดลต้า A = 86 $

1.ทฤษฎีบทการสลายตัว:

ดีเทอร์มีแนนต์ใดๆ เท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของอนุกรมโดยสมบูรณ์เกี่ยวกับพีชคณิต

สำหรับ ผม-บรรทัดที่:

หรือเพื่อ NSคอลัมน์ที่:

ตัวอย่าง 7.1 คำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยการขยายองค์ประกอบของบรรทัดแรก:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

ทฤษฎีบทการสลายตัวช่วยให้เราสามารถแทนที่การคำนวณของดีเทอร์มีแนนต์หนึ่งตัว NS-ลำดับโดยการคำนวณ NSตัวกำหนด ( NS- 1) คำสั่งที่

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ขอแนะนำให้ใช้ตัวกำหนดลำดับสูงใช้วิธี "การคูณศูนย์" ตามคุณสมบัติ 6 ของส่วนที่ 5 แนวคิดคือ:

ขั้นแรก "คูณศูนย์" ในแถวที่ต้องการ เช่น รับแถวที่มีองค์ประกอบเดียวไม่เท่ากับศูนย์ส่วนที่เหลือเป็นศูนย์

จากนั้นขยายดีเทอร์มีแนนต์ตามองค์ประกอบของอนุกรมนี้

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทการสลายตัว ดีเทอร์มีแนนต์เดิมจึงเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์โดยใช้ส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิต

ตัวอย่าง 7.2 คำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

.

คูณศูนย์ในคอลัมน์แรก

ลบบรรทัดแรกคูณด้วย 2 จากบรรทัดที่สอง ลบบรรทัดแรกคูณด้วย 3 และลบบรรทัดแรกคูณด้วย 4 จากบรรทัดที่สาม การแปลงเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มีแนนต์

โดยคุณสมบัติ 4 ของส่วนที่ 5 เราสามารถหาดีเทอร์มีแนนต์จากคอลัมน์ที่ 1 จากคอลัมน์ที่ 2 และจากคอลัมน์ที่ 3 นอกเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์

ข้อพิสูจน์:ดีเทอร์มีแนนต์ที่มีแถวศูนย์เท่ากับศูนย์

2... ทฤษฎีบทการทดแทน:

ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่จับคู่กันของตัวเลขบางตัวโดยการเสริมพีชคณิตของชุดดีเทอร์มีแนนต์บางชุดจะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้มาจากค่าที่กำหนด หากองค์ประกอบของอนุกรมนี้ถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่นำมา

สำหรับบรรทัดที่:

1. ทฤษฎีบทโมฆะ:

ผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของอนุกรมโดยผลคูณเชิงพีชคณิตของอนุกรมคู่ขนานเท่ากับศูนย์

โดยแท้จริงแล้ว โดยทฤษฎีบทการแทนที่ เราได้ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งใน k- บรรทัดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเช่นเดียวกับใน ผม-บรรทัดที่

แต่โดยคุณสมบัติ 3 ของส่วนที่ 5 ดีเทอร์มีแนนต์นี้เป็นศูนย์

ดังนั้น ทฤษฎีบทการสลายตัวและผลที่ตามมาสามารถเขียนได้ดังนี้:

8. ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับเมทริกซ์ คำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 8.1 . เมทริกซ์ตารางสี่เหลี่ยมต่อไปนี้เรียกว่า:

นอกจากนี้ยังใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ต่อไปนี้: , หรือ .

ชื่อแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ในแถว

ปริมาณเรียกว่า ขนาดเมทริกซ์

ถ้าแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์มีการแลกเปลี่ยนกัน เราก็จะได้เมทริกซ์ที่เรียกว่า ขนย้าย... เมทริกซ์สลับกับ , มักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ .

ตัวอย่างเช่น:

คำจำกัดความ 8.2... เมทริกซ์สองตัว NSและ NSเรียกว่า เท่ากับ, ถ้า

1) เมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน นั่นคือ และ ;

2) องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากันนั่นคือ

แล้ว . (8.2)

ในที่นี้ ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ (8.2) เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกันของสเกลาร์ (8.1)

9. ความหลากหลายของเมทริกซ์

1) เมทริกซ์ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า ศูนย์เมทริกซ์:

2) ถ้าเมทริกซ์มีเพียงหนึ่งแถวก็จะเรียกว่า เมทริกซ์แถว,ตัวอย่างเช่น . ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวมีชื่อว่า เมทริกซ์คอลัมน์,ตัวอย่างเช่น .

ทรานสโพสแปลงเมทริกซ์คอลัมน์เป็นเมทริกซ์แถวและในทางกลับกัน

3) ถ้า NS=NSจากนั้นเมทริกซ์จะเรียกว่า เมทริกซ์สี่เหลี่ยมของลำดับที่ n

เส้นทแยงมุมของพจน์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ลากจากมุมซ้ายบนไปมุมขวาล่างเรียกว่า หลัก... เส้นทแยงมุมอีกอันของสมาชิกเริ่มจากมุมล่างซ้ายไปมุมขวาบนเรียกว่า หลักประกัน.

สำหรับเมทริกซ์กำลังสอง สามารถคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ได้ เดต (เอ).

ในการแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงมักมีความจำเป็นมาก คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์... ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ปรากฏในพีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ดังนั้น เราไม่สามารถทำได้โดยปราศจากทักษะในการแก้ดีเทอร์มิแนนต์ นอกจากนี้ สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคิดเลขของดีเทอร์มิแนนต์ได้ฟรี โดยตัวมันเองจะไม่สอนวิธีแก้ดีเทอร์มิแนนต์ให้คุณ แต่มันสะดวกมาก เพราะการรู้คำตอบที่ถูกต้องล่วงหน้าจะเป็นประโยชน์เสมอ!

ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของดีเทอร์มีแนนต์ และโดยทั่วไป ฉันจะพยายามย่อคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ให้น้อยที่สุด มันจะไม่ทำให้ผู้อ่านส่วนใหญ่ง่ายขึ้น บทความนี้มีจุดประสงค์เพื่อสอนวิธีแก้ปัญหาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สอง สาม และสี่ เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ และแม้แต่กาน้ำชาแบบเต็ม (ว่างเปล่า) ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา หลังจากศึกษาเนื้อหาอย่างรอบคอบแล้ว จะสามารถแก้ดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างถูกต้อง

ในทางปฏิบัติ คุณสามารถหาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สองได้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น: และดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สาม ตัวอย่างเช่น .

ตัวกำหนดของคำสั่งที่สี่ ไม่ใช่ของเก่าเช่นกันและเราจะมาที่ส่วนท้ายของบทเรียน

หวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งต่อไปนี้:ตัวเลขภายในดีเทอร์มีแนนต์อยู่ด้วยตัวเอง และไม่มีปัญหาเรื่องการลบใดๆ! คุณไม่สามารถสลับหมายเลขได้!

(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสามารถทำการเรียงสับเปลี่ยนคู่ของแถวหรือคอลัมน์ของดีเทอร์มีแนนต์โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย แต่บ่อยครั้งก็ไม่จำเป็น - ดูบทเรียนถัดไป คุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์และลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์)

ดังนั้น หากกำหนดดีเทอร์มีแนนต์ใดๆ ให้ อย่าสัมผัสอะไรข้างใน!

การกำหนด: ถ้าให้เมทริกซ์ แล้วดีเทอร์มีแนนต์ของมันถูกแสดงไว้ นอกจากนี้ บ่อยครั้ง ดีเทอร์มีแนนต์เขียนแทนด้วยตัวอักษรละตินหรือกรีก

1)การแก้ (ค้นหา, เปิดเผย) ดีเทอร์มีแนนต์หมายความว่าอย่างไรการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์หมายถึงการหาจำนวน เครื่องหมายคำถามในตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวเลขธรรมดาโดยสมบูรณ์

2) ตอนนี้มันยังคงคิดออก จะหาหมายเลขนี้ได้อย่างไร?ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้กฎ สูตร และอัลกอริธึมบางอย่าง ซึ่งตอนนี้จะมีการหารือกัน

เริ่มจากรอบคัดเลือก "สอง" ถึง "สอง":

สิ่งนี้ควรจำไว้ อย่างน้อยในระหว่างการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษาที่มหาวิทยาลัย

มาดูตัวอย่างทันที:

พร้อม. สิ่งที่สำคัญที่สุดคือไม่ต้องสับสนในสัญญาณ

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามคูณสามเปิดได้ 8 วิธี 2 วิธีง่าย 6 วิธีปกติ

มาเริ่มกันด้วย 2 วิธีง่ายๆ

คล้ายกับตัวระบุ "สองต่อสอง" ตัวระบุ "สามคูณสาม" สามารถขยายได้โดยใช้สูตร:

สูตรมีความยาวและง่ายต่อการทำผิดพลาดโดยไม่ตั้งใจ จะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญได้อย่างไร? ด้วยเหตุนี้ วิธีที่สองในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์จึงถูกคิดค้นขึ้น ซึ่งจริง ๆ แล้วตรงกับวิธีแรก เรียกว่าวิธี Sarrus หรือวิธี "ลายทางขนาน"
บรรทัดล่างคือทางด้านขวาของดีเทอร์มีแนนต์ คอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองถูกกำหนดและวาดเส้นอย่างเรียบร้อยด้วยดินสอ:

ตัวประกอบบนเส้นทแยงมุม "สีแดง" จะรวมอยู่ในสูตรที่มีเครื่องหมาย "บวก"
ปัจจัยในเส้นทแยงมุม "สีน้ำเงิน" รวมอยู่ในสูตรด้วยเครื่องหมายลบ:

ตัวอย่าง:

เปรียบเทียบทั้งสองโซลูชัน ง่ายที่จะเห็นว่านี่คือหนึ่งเดียว ในกรณีที่สอง ตัวคูณของสูตรจะถูกจัดเรียงใหม่เล็กน้อย และที่สำคัญที่สุด ความน่าจะเป็นที่จะผิดพลาดนั้นน้อยกว่ามาก

ทีนี้มาดูหกวิธีปกติในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

ทำไมปกติ? เพราะในกรณีส่วนใหญ่ ผู้ผ่านการคัดเลือกจะต้องเปิดเผยในลักษณะนี้

อย่างที่คุณเห็น ตัวระบุสามคูณสามมีสามคอลัมน์และสามแถว
ดีเทอร์มีแนนต์แก้ได้โดยการขยายออก ตามแถวหรือคอลัมน์ใด ๆ.
ดังนั้นจึงได้ 6 วิธีในขณะที่ใช้ในทุกกรณี ประเภทเดียวกันอัลกอริทึม

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบแถว (คอลัมน์) โดยการเสริมพีชคณิตที่สอดคล้องกัน กลัว? ทุกอย่างง่ายกว่ามาก เราจะใช้วิธีการที่ไม่ถูกหลักวิทยาศาสตร์ แต่เข้าใจได้ เข้าถึงได้แม้กระทั่งคนที่ไม่ถนัดวิชาคณิตศาสตร์

ในตัวอย่างต่อไป เราจะขยายดีเทอร์มีแนนต์ ในบรรทัดแรก.
สำหรับสิ่งนี้เราต้องการเมทริกซ์ของสัญญาณ: เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสัญญาณถูกเซ

ความสนใจ! เมทริกซ์ของสัญญาณเป็นสิ่งประดิษฐ์ของฉันเอง แนวคิดนี้ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ ไม่จำเป็นต้องใช้ในการออกแบบขั้นสุดท้าย จะช่วยให้คุณเข้าใจอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์เท่านั้น

ฉันจะให้โซลูชันที่สมบูรณ์แก่คุณก่อน อีกครั้ง เราใช้ดีเทอร์มีแนนต์ทดลองและทำการคำนวณ:

และคำถามหลัก: วิธีรับสิ่งนี้จากรอบคัดเลือก "สามต่อสาม":
?

ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ "สามคูณสาม" จึงถูกรีดิวซ์เพื่อแก้ดีเทอร์มีแนนต์เล็กสามตัว หรือที่เรียกอีกอย่างว่า มิโนโรฟ... ฉันแนะนำให้จำคำศัพท์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเป็นที่น่าจดจำ: ผู้เยาว์มีขนาดเล็ก

เนื่องจากเลือกวิธีการสลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์ ในบรรทัดแรกเห็นได้ชัดว่าทุกสิ่งหมุนรอบตัวเธอ:

รายการมักจะดูจากซ้ายไปขวา (หรือจากบนลงล่างหากมีการเลือกคอลัมน์)

ไปกันเถอะ ขั้นแรกเราจะจัดการกับองค์ประกอบแรกของเส้น นั่นคือ กับหน่วย:

1) จากเมทริกซ์ของสัญญาณเราเขียนเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง:

2) จากนั้นเราเขียนองค์ประกอบเอง:

3) ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่องค์ประกอบแรกตั้งอยู่อย่างไตร่ตรอง:

ตัวเลขสี่ตัวที่เหลือประกอบเป็นดีเทอร์มีแนนต์ "สองต่อสอง" ซึ่งเรียกว่า มิโนรมขององค์ประกอบนี้ (หน่วย)

มาดูองค์ประกอบที่สองของเส้นกัน

4) จากเมทริกซ์ของสัญญาณเราเขียนเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง:

5) จากนั้นเราเขียนองค์ประกอบที่สอง:

6) คิดไตร่ตรองแถวและคอลัมน์ที่องค์ประกอบที่สองตั้งอยู่:

องค์ประกอบที่สามของบรรทัดแรก ไม่มีความคิดริเริ่ม:

7) จากเมทริกซ์ของสัญญาณเราเขียนเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง:

8) เราเขียนองค์ประกอบที่สาม:

9) ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบที่สามอย่างไตร่ตรอง:

เราเขียนตัวเลขสี่ตัวที่เหลือเป็นตัวดีเทอร์มีแนนต์เล็กๆ

การกระทำที่เหลือไม่ใช่เรื่องยาก เพราะเรารู้วิธีนับดีเทอร์มีแนนต์แบบสองต่อสองอยู่แล้ว อย่าสับสนในสัญญาณ!

ในทำนองเดียวกัน ดีเทอร์มีแนนต์สามารถขยายได้ตามแถวหรือคอลัมน์ใดๆโดยธรรมชาติแล้ว ในทั้งหกกรณี คำตอบก็เหมือนกัน

ดีเทอร์มีแนนต์สี่คูณสี่สามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน
ในกรณีนี้เมทริกซ์สัญญาณของเราจะเพิ่มขึ้น:

ในตัวอย่างต่อไปนี้ ฉันได้ขยายรอบคัดเลือก ในคอลัมน์ที่สี่:

และมันเกิดขึ้นได้อย่างไรลองคิดดูเอาเอง ข้อมูลเพิ่มเติมจะมาในภายหลัง ถ้าใครอยากแก้ดีเทอร์มีแนนต์ถึงที่สุด คำตอบที่ถูกต้องคือ 18. ในทางปฏิบัติ การเปิดดีเทอร์มีแนนต์โดยคอลัมน์อื่นหรือแถวอื่นจะดีกว่า

ฝึกฝน เปิดเผย คำนวณ เป็นสิ่งที่ดีและมีประโยชน์ แต่คุณจะใช้เวลากับดีเทอร์มีแนนต์ใหญ่แค่ไหน? จะเร็วกว่าและเชื่อถือได้มากกว่านี้ไม่ได้หรือ ฉันแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับวิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ที่มีประสิทธิภาพในบทเรียนที่สอง - คุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ ลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์

ระวัง!