Հիմնական տարրական գործառույթները՝ դրանց հատկությունները և գրաֆիկները: Հզորության ֆունկցիա Բերե՛ք ուժային ֆունկցիաների օրինակներ

24.09.2022Վերնագիր: Տիեզերք

Տրամադրում է տեղեկատու տվյալներ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի վերաբերյալ՝ հիմնական հատկություններ, գրաֆիկներ և բանաձևեր: Դիտարկվում են հետևյալ խնդիրները՝ սահմանման տիրույթ, արժեքների բազմություն, միապաղաղություն, հակադարձ ֆունկցիա, ածանցյալ, ինտեգրալ, հզորության շարքի ընդլայնում և ներկայացում կոմպլեքս թվերի միջոցով։

Բովանդակություն

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները

y = a x էքսպոնենցիալ ֆունկցիան իրական թվերի բազմության վրա ունի հետևյալ հատկությունները ().
(1.1) սահմանված և շարունակական, համար, բոլորի համար;
(1.2) համար ≠ 1 ունի բազմաթիվ իմաստներ;
(1.3) խստորեն աճում է ժամը, խիստ նվազում է,
հաստատուն է;
(1.4) ժամը ;
ժամը ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Այլ օգտակար բանաձևեր.
.
Տարբեր ցուցիչի բազա ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի վերածելու բանաձև.

Երբ b = e, մենք ստանում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի արտահայտությունը էքսպոնենցիալի միջոցով.

Մասնավոր արժեքներ

, , , , .

y = a x հիմքի տարբեր արժեքների համար:

Նկարը ցույց է տալիս էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները
y (x) = կացին
չորս արժեքների համար աստիճանի հիմքերը: a = 2 , ա = 8 , ա = 1/2 և a = 1/8 . Կարելի է տեսնել, որ մի > 1 էքսպոնենցիալ ֆունկցիան միապաղաղ մեծանում է։ Որքան մեծ է a աստիճանի հիմքը, այնքան ուժեղ է աճը։ ժամը 0 < a < 1 էքսպոնենցիալ ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է։ Որքան փոքր է a ցուցիչը, այնքան ավելի ուժեղ է նվազումը:

Բարձրանալ, իջնել

For-ի էքսպոնենցիալ ֆունկցիան խիստ միապաղաղ է և հետևաբար չունի ծայրահեղություններ: Նրա հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

	y = a x, a > 1	y = կացին, 0 < a < 1
Դոմեն	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Արժեքների տիրույթ	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Միապաղաղ	միապաղաղ մեծանում է	միապաղաղ նվազում է
Զրոներ, y = 0	Ոչ	Ոչ
Ընդհատման կետերը օրդինատների առանցքով, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Հակադարձ ֆունկցիա

a հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձը a հիմքի լոգարիթմն է:

Եթե, ապա
.
Եթե, ապա
.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տարբերակում

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան տարբերելու համար դրա հիմքը պետք է կրճատվի մինչև e թիվը, կիրառել ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման կանոնը։ բարդ գործառույթ.

Դա անելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել լոգարիթմների հատկությունը
և բանաձևը ածանցյալների աղյուսակից.
.

Թող տրվի էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.
.
Մենք այն բերում ենք e-ի հիմքին.

Կիրառենք բարդ ֆունկցիաների տարբերակման կանոնը. Դա անելու համար ներկայացրեք փոփոխականը

Հետո

Ածանցյալների աղյուսակից ունենք (x փոփոխականը փոխարինել z-ով).
.
Քանի որ հաստատուն է, ապա z-ի ածանցյալը x-ի նկատմամբ հավասար է
.
Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի.
.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

.
n-րդ կարգի ածանցյալ.
.
Բաղադրման բանաձևեր > > >

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տարբերակման օրինակ

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
y = 3 5 x

Լուծում

Է թվով արտահայտենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը։
3 = e ln 3
Հետո
.
Մուտքագրեք փոփոխական
.
Հետո

Ածանցյալների աղյուսակից մենք գտնում ենք.
.
Քանի որ 5ln 3հաստատուն է, ապա z-ի ածանցյալը x-ի նկատմամբ հավասար է.
.
Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի՝ ունենք.
.

Պատասխանել

Անբաժանելի

Արտահայտություններ՝ օգտագործելով բարդ թվեր

Դիտարկենք գործառույթը համալիր համարը զ:
զ (z) = a z
որտեղ z = x + iy; ես 2 = - 1 .
Եկեք արտահայտենք a բարդ հաստատունը r մոդուլով և φ փաստարկով.
a = r e i φ
Հետո

.
φ փաստարկը եզակիորեն սահմանված չէ: IN ընդհանուր տեսարան
φ = φ 0 + 2 πn,
որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Հետևաբար ֆունկցիան f (զ)նույնպես պարզ չէ. Դրա հիմնական նշանակությունը հաճախ դիտարկվում է
.

Հիշենք բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով ուժային ֆունկցիաների հատկությունները և գրաֆիկները:

Համար նույնիսկ n, :

Օրինակ գործառույթ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;1): Այս տեսակի ֆունկցիաների առանձնահատկությունն այն է, որ գծապատկերները սիմետրիկ են op-amp առանցքի նկատմամբ:

Բրինձ. 1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Կենտ n-ի համար՝

Օրինակ գործառույթ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;-1): Այս տիպի ֆունկցիաների առանձնահատկությունն այն է, որ դրանք կենտ են.

Բրինձ. 2. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հիշենք հիմնական սահմանումը.

Ռացիոնալ դրական ցուցիչ ունեցող ոչ բացասական a թվի հզորությունը կոչվում է թիվ։

Ռացիոնալ բացասական ցուցիչ ունեցող a դրական թվի հզորությունը կոչվում է թիվ։

Հավասարության համար.

Օրինակ: ; - արտահայտությունը, ըստ սահմանման, գոյություն չունի բացասական ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի. գոյություն ունի, քանի որ ցուցիչը ամբողջ թիվ է,

Անցնենք ուժային ֆունկցիաները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով դիտարկելուն։

Օրինակ:

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար կարող եք աղյուսակ ստեղծել: Մենք դա կանենք այլ կերպ. նախ կկառուցենք և կուսումնասիրենք հայտարարի գրաֆիկը, որը մեզ հայտնի է (Նկար 3):

Բրինձ. 3. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հայտարար ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է ֆիքսված կետով (1;1): Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելիս այս կետը մնում է, մինչդեռ արմատը նույնպես ձգտում է զրոյի, ֆունկցիան դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան ձգտում է զրոյի (Նկար 4):

Բրինձ. 4. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք ուսումնասիրվող ֆունկցիաների ընտանիքից ևս մեկ գործառույթ.

Կարևոր է, որ ըստ սահմանման

Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը հայտարարի մեջ՝ , այս ֆունկցիայի գրաֆիկը մեզ հայտնի է, այն մեծանում է իր սահմանման տիրույթում և անցնում (1;1) կետով (Նկար 5):

Բրինձ. 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելիս մնում է (1;1) կետը, մինչդեռ արմատը նույնպես հակված է զրոյի, ֆունկցիան՝ դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան հակված է զրոյի (Նկար 6):

Բրինձ. 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկված օրինակները օգնում են հասկանալ, թե ինչպես է հոսում գրաֆիկը և ինչ հատկություններ ունի ուսումնասիրվող ֆունկցիան՝ բացասական ռացիոնալ ցուցիչով ֆունկցիա:

Այս ընտանիքի ֆունկցիաների գրաֆիկներն անցնում են (1;1) կետով, ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում։

Ֆունկցիայի սահմանման շրջանակը.

Ֆունկցիան չի սահմանափակվում վերևից, այլ սահմանափակված է ներքևից: Ֆունկցիան չունի ոչ մեծագույն, ոչ էլ նվազագույն արժեքը:

Ֆունկցիան շարունակական է և վերցնում է բոլոր դրական արժեքները զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև (Նկար 15.7)

A և B կետերը վերցված են կորի վրա, դրանց միջով գծվում է հատված, ամբողջ կորը գտնվում է հատվածից ցածր, այս պայմանը բավարարվում է կորի կամայական երկու կետերի դեպքում, հետևաբար ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև։ Բրինձ. 7.