Դաս «թեորեմը Պյութագորասի թեորեմի հակադարձությունն է». Դաս «Պյութագորասի թեորեմին հակադարձ թեորեմ» Պյութագորասի թեորեմի բանաձևերը.

Պյութագորասի թեորեմ- Էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկը, որը հաստատում է հարաբերությունը

ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև:

Ենթադրվում է, որ դա ապացուցել է հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասը, ում անունով էլ այն կոչվել է։

Պյութագորասի թեորեմի երկրաչափական ձևակերպումը.

Թեորեմն ի սկզբանե ձևակերպված էր հետևյալ կերպ.

Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է քառակուսիների մակերեսների գումարին,

կառուցված ոտքերի վրա:

Պյութագորասի թեորեմի հանրահաշվական ձևակերպումը.

Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի երկարության քառակուսին հավասար է ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարին:

Այսինքն՝ եռանկյան հիպոթենուսի երկարությունը նշելով գ, և ոտքերի երկարությունները միջով աԵվ բ:

Երկու ձևակերպումներն էլ Պյութագորասի թեորեմհամարժեք են, բայց երկրորդ ձևակերպումն ավելի տարրական է՝ ոչ

պահանջում է տարածք հասկացությունը: Այսինքն՝ երկրորդ հայտարարությունը կարելի է ճշտել՝ տարածքի մասին ոչինչ չիմանալով և

ուղղանկյուն եռանկյան միայն կողմերի երկարությունները չափելով:

Փոխարկել Պյութագորասի թեորեմը.

Եթե ​​եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա

ուղղանկյուն եռանկյուն.

Կամ, այլ կերպ ասած.

Դրական թվերի յուրաքանչյուր եռակի համար ա, բԵվ գ, այնպիսին, որ

կա ոտքերով ուղղանկյուն եռանկյուն աԵվ բև հիպոթենուզա գ.

Պյութագորասի թեորեմ հավասարաչափ եռանկյունու համար.

Պյութագորասի թեորեմ հավասարակողմ եռանկյան համար.

Պյութագորասի թեորեմի ապացույցները.

Ներկայումս գիտական ​​գրականության մեջ գրանցվել է այս թեորեմի 367 ապացույց։ Հավանաբար թեորեմը

Պյութագորասը միակ թեորեմն է, որն ունի նման տպավորիչ թվով ապացույցներ։ Նման բազմազանություն

կարելի է բացատրել միայն թեորեմի հիմնարար նշանակությամբ երկրաչափության համար։

Իհարկե, կոնցեպտուալ առումով բոլորը կարելի է բաժանել փոքր թվով դասերի։ Դրանցից ամենահայտնին.

ապացույց տարածքի մեթոդ, աքսիոմատիկԵվ էկզոտիկ ապացույցներ(Օրինակ,

օգտագործելով դիֆերենցիալ հավասարումներ).

1. Պյութագորասի թեորեմի ապացույց՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյուններ։

Հանրահաշվական ձևակերպման հետևյալ ապացույցը կառուցված ապացույցներից ամենապարզն է

անմիջապես աքսիոմներից: Մասնավորապես, այն չի օգտագործում գործչի տարածքի հասկացությունը:

Թող ABCկա ուղղանկյուն եռանկյուն՝ ուղիղ անկյան տակ Գ. Եկեք նկարենք բարձրությունը Գև նշել

դրա հիմքը միջոցով Հ.

Եռանկյուն ACHնման է եռանկյունին ԱԲ C երկու անկյուններում: Նմանապես, եռանկյուն CBHհամանման ABC.

Ներկայացնելով նշումը.

մենք ստանում ենք.

,

որը համապատասխանում է -

Ծալված ա 2 և բ 2, մենք ստանում ենք.

կամ , որն այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

2. Պյութագորասի թեորեմի ապացուցում տարածքի մեթոդով:

Ստորև բերված ապացույցները, չնայած իրենց թվացյալ պարզությանը, ամենևին էլ այնքան էլ պարզ չեն: բոլորն էլ

օգտագործել տարածքի հատկությունները, որոնց ապացույցներն ավելի բարդ են, քան հենց Պյութագորասի թեորեմի ապացույցը:

• Ապացուցում հավասարազորության միջոցով:

Դասավորենք չորս հավասար ուղղանկյուն

եռանկյուն, ինչպես ցույց է տրված նկարում

ճիշտ.

Կողքերով քառանկյուն գ- քառակուսի,

քանի որ երկու սուր անկյունների գումարը 90° է, և

բացված անկյուն - 180°:

Ամբողջ գործչի մակերեսը հավասար է, մի կողմից.

քառակուսու մակերեսը կողմով ( ա+բ), իսկ մյուս կողմից՝ չորս եռանկյունների մակերեսների գումարը և

Ք.Ե.Դ.

3. Պյութագորասի թեորեմի ապացույցը անվերջ փոքր մեթոդով.

​

Նայելով նկարում ներկայացված գծագրին և

դիտելով կողմի փոփոխությունըա, մենք կարող ենք

գրի՛ր հետևյալ առնչությունը անվերջության համար

փոքր կողային ավելացումներՀետԵվ ա(օգտագործելով նմանություն

եռանկյուններ):

Օգտագործելով փոփոխական տարանջատման մեթոդը, մենք գտնում ենք.

Հիպոթենուսի փոփոխության ավելի ընդհանուր արտահայտություն երկու կողմից ավելացումների դեպքում.

Ինտեգրելով այս հավասարումը և օգտագործելով նախնական պայմանները, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք հասնում ենք ցանկալի պատասխանին.

Ինչպես հեշտ է տեսնել, վերջնական բանաձևում քառակուսի կախվածությունը հայտնվում է գծայինի շնորհիվ

համաչափությունը եռանկյան կողմերի և հավելումների միջև, մինչդեռ գումարը կապված է անկախի հետ

ներդրումներ տարբեր ոտքերի աճից:

Ավելի պարզ ապացույց կարելի է ձեռք բերել, եթե ենթադրենք, որ ոտքերից մեկը չի աճում

(այս դեպքում ոտքը բ) Այնուհետև ինտեգրման հաստատունի համար մենք ստանում ենք.

Պյութագորասի թեորեմն ասում է.

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուն.

a 2 + b 2 = c 2,

• աԵվ բ- ոտքեր, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն:
• Հետ- եռանկյունու հիպոթենուզա.

Պյութագորասի թեորեմի բանաձևերը

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Պյութագորասի թեորեմի ապացույց

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

S = \frac(1)(2) ab

Կամայական եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար մակերեսի բանաձևը հետևյալն է.

• էջ- կիսաշրջագծային. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r- ներգծված շրջանագծի շառավիղը: Ուղղանկյան համար r=\frac(1)(2)(a+b-c):

Այնուհետև մենք հավասարեցնում ենք երկու բանաձևերի աջ կողմերը եռանկյան տարածքի համար.

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \ձախ((a+b)^(2) -c^(2) \աջ)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Փոխադարձ Պյութագորասի թեորեմ.

Եթե ​​եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է։ Այսինքն՝ դրական թվերի ցանկացած եռակի համար ա, բԵվ գ, այնպիսին, որ

a 2 + b 2 = c 2,

կա ոտքերով ուղղանկյուն եռանկյուն աԵվ բև հիպոթենուզա գ.

Պյութագորասի թեորեմ- Էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնարար թեորեմներից մեկը, որը հաստատում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունները: Դա ապացուցել է գիտուն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Պյութագորասը։

Թեորեմի իմաստըայն, որ դրա օգնությամբ դուք կարող եք ապացուցել այլ թեորեմներ և լուծել խնդիրներ։

Լրացուցիչ նյութ.

Դասի նպատակները.

Ուսումնական՝ ձևակերպել և ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը և Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը։ Ցույց տալ դրանց պատմական և գործնական նշանակությունը։

Զարգացնել ուսանողների ուշադրությունը, հիշողությունը, տրամաբանական մտածողությունը, տրամաբանելու, համեմատելու և եզրակացություններ անելու կարողությունը:

Ուսումնական. զարգացնել հետաքրքրություն և սեր առարկայի նկատմամբ, ճշգրտություն, ընկերներին և ուսուցիչներին լսելու կարողություն:

Սարքավորումներ՝ Պյութագորասի դիմանկարը, համախմբման առաջադրանքներով պաստառներ, «Երկրաչափություն» դասագիրք 7-9-րդ դասարանների համար (I.F. Sharygin):

Դասի պլան.

I. Կազմակերպչական պահ – 1ր.

II. Տնային աշխատանքների ստուգում – 7 րոպե:

III. Ուսուցչի ներածական խոսք, պատմական նախադրյալներ – 4-5ր.

IV. Պյութագորասի թեորեմի ձևակերպում և ապացուցում – 7 ր.

V. Թեորեմի ձևակերպումը և ապացուցումը Պյութագորասի թեորեմի հակադարձում – 5 րոպե:

Նոր նյութի համախմբում.

ա) բանավոր – 5-6 րոպե.
բ) գրավոր – 7-10 րոպե.

VII. Տնային աշխատանք – 1ր.

VIII. Դասի ամփոփում – 3ր.

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական պահ.

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

7.1 կետ թիվ 3 (տախտակի մոտ՝ ըստ պատրաստի գծագրի).

Վիճակը: Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը հիպոթենուսը բաժանում է 1 և 2 երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք այս եռանկյան ոտքերը:

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b 1; CD = h C

Լրացուցիչ հարց՝ հարաբերակցությունները գրի՛ր ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ:

Բաժին 7.1, թիվ 5. Ուղղանկյուն եռանկյունը կտրեք երեք նմանատիպ եռանկյունների:

Բացատրիր.

ASN ~ ABC ~ SVN

(Ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել նմանատիպ եռանկյունների համապատասխան գագաթները գրելու ճիշտության վրա)

Ճշմարտությունը հավերժ կմնա հենց որ թույլ մարդը ճանաչի այն:

Եվ հիմա Պյութագորասի թեորեմը ճիշտ է, ինչպես նրա հեռավոր դարում։

Պատահական չէ, որ դասս սկսեցի գերմանացի վիպասան Շամիսոյի խոսքերով. Մեր այսօրվա դասը Պյութագորասի թեորեմի մասին է: Գրենք դասի թեման։

Ձեր առջև մեծ Պյութագորասի դիմանկարն է: Ծնվել է մ.թ.ա 576թ. Ապրելով 80 տարի՝ նա մահացավ մ.թ.ա. 496 թվականին։ Հայտնի է որպես հին հույն փիլիսոփա և ուսուցիչ։ Նա վաճառական Մնեսարխոսի որդին էր, ով նրան հաճախ էր տանում իր ճամփորդությունների, ինչի շնորհիվ տղայի մոտ զարգացավ հետաքրքրասիրություն և նոր բաներ սովորելու ցանկություն։ Պյութագորաս մականունն է, որը նրան տրվել է իր պերճախոսության համար («Պյութագորաս» նշանակում է «խոսքով համոզիչ»): Ինքը ոչինչ չի գրել։ Նրա բոլոր մտքերը արձանագրել են իր աշակերտները։ Իր տված առաջին դասախոսության արդյունքում Պյութագորասը ձեռք բերեց 2000 աշակերտ, ովքեր իրենց կանանց և երեխաների հետ միասին ստեղծեցին հսկայական դպրոց և ստեղծեցին պետություն, որը կոչվում էր «Մեծ Հունաստան», որը հիմնված էր Պյութագորասի օրենքների և կանոնների վրա, որոնք հարգում էին: որպես աստվածային պատվիրաններ. Նա առաջինն էր, ով կյանքի իմաստի մասին իր հիմնավորումն անվանեց փիլիսոփայություն (փիլիսոփայություն): Նա հակված էր միստիֆիկացման և ցուցադրական պահվածքի։ Մի օր Պյութագորասը թաքնվեց գետնի տակ և ամեն ինչի մասին իմացավ մորից: Այնուհետև, կմախքի պես չորացած, նա հրապարակային ժողովում հայտարարեց, որ եղել է Հադեսում և ցույց տվեց զարմանալի գիտելիքներ երկրային իրադարձությունների մասին: Դրա համար հուզված բնակիչները նրան ճանաչեցին որպես Աստված։ Պյութագորասը երբեք չէր լաց լինում և ընդհանրապես անհասանելի էր կրքերին ու հուզմունքին: Նա հավատում էր, որ ինքը սերմից է, որն ավելի լավ է, քան մարդկայինը։ Պյութագորասի ամբողջ կյանքը լեգենդ է, որը հասել է մեր ժամանակներին և պատմել հին աշխարհի ամենատաղանդավոր մարդու մասին:

Դուք գիտեք Պյութագորասի թեորեմի ձևակերպումը ձեր հանրահաշվի դասընթացից: Եկեք հիշենք նրան:

Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

Այնուամենայնիվ, այս թեորեմը հայտնի էր Պյութագորասից շատ տարիներ առաջ: Պյութագորասից 1500 տարի առաջ հին եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն է և օգտագործում էին այս հատկությունը՝ հողատարածքներ պլանավորելիս և շենքեր կառուցելիս ուղիղ անկյուններ կառուցելու համար: Մեզ հասած ամենահին չինական մաթեմատիկական և աստղագիտական ​​աշխատության մեջ՝ «Zhiu-bi»-ն, որը գրվել է Պյութագորասից 600 տարի առաջ, ի թիվս այլ առաջարկների, որոնք վերաբերում են ուղղանկյուն եռանկյունին, պարունակում է Պյութագորասի թեորեմը: Նույնիսկ ավելի վաղ այս թեորեմը հայտնի էր հինդուներին: Այսպիսով, Պյութագորասը չի հայտնաբերել ուղղանկյուն եռանկյունու այս հատկությունը, նա, հավանաբար, առաջինն էր, ով ընդհանրացրեց և ապացուցեց այն, այն տեղափոխեց պրակտիկայի ոլորտից գիտության ոլորտ.

Հին ժամանակներից մաթեմատիկոսները ավելի ու ավելի շատ ապացույցներ են գտնում Պյութագորասի թեորեմի վերաբերյալ։ Հայտնի է դրանցից ավելի քան մեկուկես հարյուրը։ Հիշենք հանրահաշվի դասընթացից մեզ հայտնի Պյութագորասի թեորեմի հանրահաշվական ապացույցը։ («Մաթեմատիկա. հանրահաշիվ. ֆունկցիաներ. տվյալների վերլուծություն» Գ.Վ. Դորոֆեև, Մ., «Դրոֆա», 2000 թ.):

Հրավիրեք ուսանողներին հիշել նկարի ապացույցը և գրել այն գրատախտակին:

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Հին հինդուները, որոնց պատկանում է այս պատճառաբանությունը, սովորաբար այն չէին գրում, այլ գծագրությունն ուղեկցում էին միայն մեկ բառով՝ «Նայեք»։

Եկեք ժամանակակից ներկայացման մեջ դիտարկենք Պյութագորասին պատկանող ապացույցներից մեկը։ Դասի սկզբում հիշեցինք ուղղանկյուն եռանկյան հարաբերությունների թեորեմը.

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Ավելացնենք վերջին երկու հավասարումները` անդամով.

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2; a 2 + b 2 = c 2

Չնայած այս ապացույցի ակնհայտ պարզությանը, այն հեռու է ամենապարզից: Ի վերջո, դրա համար անհրաժեշտ էր գծել բարձրությունը ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ և դիտարկել նմանատիպ եռանկյուններ: Խնդրում եմ, գրեք այս ապացույցը ձեր նոթատետրում:

Ո՞ր թեորեմն է կոչվում այս թեորեմի հակադարձ: (...եթե պայմանը և եզրակացությունը փոխվել են):

Այժմ փորձենք ձևակերպել Պյութագորասի թեորեմին հակառակ թեորեմը։

Եթե ​​a, b և c կողմերով եռանկյան մեջ c 2 = a 2 + b 2 հավասարությունը բավարարված է, ապա այս եռանկյունը ուղղանկյուն է, իսկ ուղիղ անկյունը հակառակ է c կողմին։

(Հակադարձ թեորեմի ապացույցը պաստառի վրա)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Ապացուցել.

ABC - ուղղանկյուն,

Ապացույց:

Դիտարկենք A 1 B 1 C 1 ուղղանկյուն եռանկյունը,

որտեղ C 1 = 90 °, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Այնուհետեւ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2:

Այսինքն, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC երեք կողմից ABC-ն ուղղանկյուն է

C = 90°, ինչը պետք է ապացուցել:

1. Պատրաստի գծագրերով պաստառի հիման վրա։

Նկար 1. գտնել AD, եթե ВD = 8, ВДА = 30°:

Նկ.2. գտե՛ք CD, եթե BE = 5, BAE = 45°:

Նկար 3. գտե՛ք BD, եթե BC = 17, AD = 16:

2. Ուղղանկյուն եռանկյուն է, եթե նրա կողմերն արտահայտված են թվերով.

Որո՞նք են թվերի եռյակների անունները վերջին երկու դեպքերում: (Պյութագորաս):

Թիվ 9. Հավասարակողմ եռանկյան կողմը հավասար է a. Գտե՛ք այս եռանկյան բարձրությունը, շրջագծված շրջանագծի շառավիղը և ներգծված շրջանագծի շառավիղը:

Թիվ 14. Ապացուցեք, որ ուղղանկյուն եռանկյունում շրջագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է դեպի հիպոթենուս գծված միջնագիծը և հավասար է հիպոթենուսի կեսին:

Պարբերություն 7.1, էջ 175-177, քննեք թեորեմ 7.4 (ընդհանրացված Պյութագորասի թեորեմ), թիվ 1 (բանավոր), թիվ 2, թիվ 4:

Ի՞նչ նոր բան սովորեցիք այսօր դասարանում: ……………

Պյութագորասը նախ և առաջ փիլիսոփա էր: Հիմա ուզում եմ ձեզ կարդալ նրա մի քանի ասույթներ, որոնք դեռ արդիական են մեր ժամանակներում՝ ձեզ և ինձ համար։

• Թոզ մի՛ բարձրացրեք կյանքի ճանապարհին:
• Արեք միայն այն, ինչը ձեզ հետագայում չի վշտացնի և չի ստիպի ապաշխարել:
• Երբեք մի արա այն, ինչ չգիտես, այլ սովորիր այն ամենը, ինչ պետք է իմանաս, և այդ դեպքում հանգիստ կյանք կվարես:
• Մի փակեք ձեր աչքերը, երբ ցանկանում եք քնել, առանց դասակարգելու ձեր անցած օրվա բոլոր գործողությունները:
• Սովորեք ապրել պարզ և առանց շքեղության:

Թեմա: Թեորեմը հակասում է Պյութագորասի թեորեմին:

Դասի նպատակները. 1) դիտարկել թեորեմը Պյութագորասի թեորեմի հակառակը. դրա կիրառումը խնդիրների լուծման գործընթացում. համախմբել Պյութագորասի թեորեմը և բարելավել դրա կիրառման համար խնդիրների լուծման հմտությունները.

2) զարգացնել տրամաբանական մտածողությունը, ստեղծագործական որոնումը, ճանաչողական հետաքրքրությունը.

3) ուսանողների մեջ ձևավորել ուսման նկատմամբ պատասխանատու վերաբերմունք և մաթեմատիկական խոսքի մշակույթ:

Դասի տեսակը. Նոր գիտելիքներ սովորելու դաս.

Դասի առաջընթաց

І. Կազմակերպչական պահ

ІІ. Թարմացնել գիտելիք

Դաս ինձ համարկամենաԵս ուզում էիսկսել քառատողով.

Այո՛, գիտելիքի ճանապարհը հարթ չէ

Բայց մենք գիտենք մեր դպրոցական տարիներից,

Կան ավելի շատ առեղծվածներ, քան պատասխաններ,

Եվ որոնման սահմանափակում չկա:

Այսպիսով, վերջին դասին դուք սովորեցիք Պյութագորասի թեորեմը: Հարցեր.

Ո՞ր գործչի համար է ճիշտ Պյութագորասի թեորեմը:

Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն եռանկյուն:

Նշեք Պյութագորասի թեորեմը:

Ինչպե՞ս կարելի է գրել Պյութագորասի թեորեմը յուրաքանչյուր եռանկյունու համար:

Ո՞ր եռանկյուններն են կոչվում հավասար:

Ձևակերպե՞լ եռանկյունների հավասարության չափանիշները:

Հիմա եկեք մի փոքր անկախ աշխատանք կատարենք.

Խնդիրների լուծում գծագրերի միջոցով:

№1

(1 բ.) Գտեք՝ AB.

№2

(1 բ.) Գտեք՝ VS.

№3

( 2 բ.)Գտեք՝ AC

№4

(1 միավոր)Գտեք՝ AC

№5 Տրված է ABC-ի կողմիցԴռոմբուս

(2 բ.) AB = 13 սմ

AC = 10 սմ

Գտեք՝ ԲԴ

Ինքնաթեստ թիվ 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Ուսումնասիրելով նոր նյութական.

Հին եգիպտացիները գետնի վրա ուղիղ անկյուններ էին շինում այսպես. նրանք հանգույցներով պարանը բաժանեցին 12 հավասար մասերի, կապեցին դրա ծայրերը, որից հետո պարանը ձգեցին գետնին այնպես, որ եռանկյունի ձևավորվեց 3, 4 և կողերով: 5 բաժին. Եռանկյան անկյունը, որը գտնվում էր 5 բաժանում ունեցող կողմի դիմաց, ուղիղ էր։

Կարո՞ղ եք բացատրել այս դատողության ճիշտությունը:

Հարցի պատասխանի որոնման արդյունքում ուսանողները պետք է հասկանան, որ մաթեմատիկական տեսանկյունից դրվում է հարցը՝ արդյոք եռանկյունը ուղղանկյուն կլինի։

Մենք խնդիր ենք դնում՝ ինչպես առանց չափումներ կատարելու որոշել, թե արդյոք տրված կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն կլինի։ Այս խնդրի լուծումը դասի նպատակն է։

Գրեք դասի թեման:

Թեորեմ. Եթե ​​եռանկյան երկու կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդ կողմի քառակուսուին, ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է։

Ապացուցե՛ք թեորեմը ինքնուրույն (դասագրքի միջոցով կազմե՛ք ապացուցման պլան):

Այս թեորեմից հետևում է, որ 3, 4, 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն է (եգիպտական):

Ընդհանուր առմամբ, թվեր, որոնց համար գործում է հավասարություն , կոչվում են պյութագորասյան եռյակներ։ Իսկ այն եռանկյունները, որոնց կողմերի երկարությունները արտահայտված են Պյութագորասի եռյակներով (6, 8, 10), պյութագորասյան եռանկյուններ են։

Համախմբում.

Որովհետև , ապա 12, 13, 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն չէ։

Որովհետև , ապա 1, 5, 6 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն է։

№ 430 (ա, բ, գ)

( - ոչ)

Դպրոցական ուսումնական պլանի թեմաների վերանայումը տեսադասերի միջոցով նյութն ուսումնասիրելու և յուրացնելու հարմար միջոց է: Տեսանյութն օգնում է ուսանողների ուշադրությունը կենտրոնացնել հիմնական տեսական հասկացությունների վրա և բաց չթողնել կարևոր մանրամասները։ Անհրաժեշտության դեպքում ուսանողները միշտ կարող են նորից լսել տեսադասը կամ վերադառնալ մի քանի թեմաներ:

8-րդ դասարանի այս տեսադասը կօգնի աշակերտներին սովորել նոր թեմա երկրաչափությունից:

Նախորդ թեմայում ուսումնասիրեցինք Պյութագորասի թեորեմը և վերլուծեցինք դրա ապացույցը։

Կա նաև մի թեորեմ, որը հայտնի է որպես հակադարձ Պյութագորասի թեորեմ։ Եկեք մանրամասն նայենք դրան:

Թեորեմ. Եռանկյունը ուղղանկյուն է, եթե ունի հետևյալ հավասարությունը. եռանկյան քառակուսի մի կողմի արժեքը նույնն է, ինչ մյուս երկու կողմերի գումարը:

Ապացույց. Ենթադրենք, մեզ տրված է ABC եռանկյուն, որում գործում է AB 2 = CA 2 + CB 2 հավասարությունը: Անհրաժեշտ է ապացուցել, որ C անկյունը հավասար է 90 աստիճանի։ Դիտարկենք A 1 B 1 C 1 եռանկյունը, որի անկյունը C 1 հավասար է 90 աստիճանի, C 1 A 1 կողմը հավասար է CA-ի, իսկ B 1 C 1 կողմը հավասար է BC:

Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը՝ A 1 C 1 B 1 եռանկյան մեջ գրում ենք կողմերի հարաբերությունը՝ A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2: Արտահայտությունը փոխարինելով հավասար կողմերով՝ ստանում ենք A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2:

Թեորեմի պայմաններից գիտենք, որ AB 2 = CA 2 + CB 2: Այնուհետև կարող ենք գրել A 1 B 1 2 = AB 2, որից հետևում է, որ A 1 B 1 = AB:

Մենք գտանք, որ ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյուններում երեք կողմերը հավասար են՝ A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB: Այսպիսով, այս եռանկյունները հավասար են: Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ C անկյունը հավասար է C 1 անկյունին և, համապատասխանաբար, հավասար է 90 աստիճանի։ Մենք որոշել ենք, որ ABC եռանկյունը ուղղանկյուն է, իսկ C անկյունը 90 աստիճան է։ Մենք ապացուցել ենք այս թեորեմը։

Հաջորդը, հեղինակը բերում է օրինակ. Ենթադրենք, մեզ տրված է կամայական եռանկյուն: Հայտնի են նրա կողմերի չափերը՝ 5, 4 և 3 միավոր։ Եկեք ստուգենք Պյութագորասի թեորեմի հակառակ թեորեմի պնդումը՝ 5 2 = 3 2 + 4 2: Հայտարարությունը ճշմարիտ է, ինչը նշանակում է, որ այս եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Հետևյալ օրինակներում եռանկյունները նույնպես ուղղանկյուն եռանկյուններ կլինեն, եթե նրանց կողմերը հավասար են.

5, 12, 13 միավոր; 13 2 = 5 2 + 12 2 հավասարությունը ճշմարիտ է.

8, 15, 17 միավոր; 17 2 = 8 2 + 15 2 հավասարությունը ճշմարիտ է.

7, 24, 25 միավոր; 25 2 = 7 2 + 24 2 հավասարությունը ճիշտ է:

Հայտնի է Պյութագորասի եռանկյունի հասկացությունը։ Սա ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի կողմերը հավասար են ամբողջ թվերին: Եթե ​​Պյութագորասի եռանկյան ոտքերը նշանակվում են a-ով և c-ով, իսկ հիպոթենուսը՝ b-ով, ապա այս եռանկյունու կողմերի արժեքները կարելի է գրել հետևյալ բանաձևերով.

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

որտեղ m, n, k ցանկացած բնական թվեր են, և m-ի արժեքը մեծ է n-ի արժեքից:

Հետաքրքիր փաստ. 5, 4 և 3 կողմերով եռանկյունին անվանում են նաև եգիպտական ​​եռանկյունի:

Այս վիդեո դասում մենք սովորեցինք Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը: Մենք մանրամասն ուսումնասիրեցինք ապացույցները։ Աշակերտները սովորեցին նաև, թե որ եռանկյուններն են կոչվում Պյութագորասյան եռանկյուններ:

Այս տեսադասի օգնությամբ ուսանողները կարող են հեշտությամբ ծանոթանալ «Պյութագորասի հակադարձ թեորեմը» թեմային: