Թեքությունը հավասար է 1. Ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ: Շոշափող թեքություն

Թեմայի շարունակություն՝ հարթության վրա ուղիղի հավասարումը հիմնված է հանրահաշվի դասերից ուղիղ գծի ուսումնասիրության վրա։ Այս հոդվածը տրամադրում է ընդհանուր տեղեկություններ թեքության հետ ուղիղ գծի հավասարման թեմայի վերաբերյալ: Եկեք դիտարկենք սահմանումները, ստանանք ինքնին հավասարումը և բացահայտենք կապը այլ տեսակի հավասարումների հետ: Ամեն ինչ կքննարկվի խնդրի լուծման օրինակներով:

Նման հավասարում գրելուց առաջ անհրաժեշտ է սահմանել ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի O x առանցքը իրենց անկյունային գործակցով։ Ենթադրենք, որ հարթության վրա տրված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգ O x:

Սահմանում 1

Ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի O x առանցքը,գտնվում է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում O x y հարթության վրա, սա այն անկյունն է, որը չափվում է O x դրական ուղղությունից դեպի ուղիղ գիծ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Երբ ուղիղը զուգահեռ է O x-ին կամ համընկնում է դրանում, թեքության անկյունը 0 է։ Այնուհետև տրված α ուղիղ գծի թեքության անկյունը սահմանվում է [ 0, π) միջակայքի վրա։

Սահմանում 2

Ուղիղ թեքությունտրված ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափողն է։

Ստանդարտ նշանակում է k. Սահմանումից մենք գտնում ենք, որ k = t g α . Երբ ուղիղը զուգահեռ է Ox-ին, ասում են, որ թեքությունը գոյություն չունի, քանի որ այն գնում է դեպի անսահմանություն։

Թեքությունը դրական է, երբ ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է և հակառակը։ Նկարը ցույց է տալիս տեղանքի տարբեր տատանումները Աջ անկյունըգործակցի արժեքով կոորդինատային համակարգի համեմատ:

Այս անկյունը գտնելու համար անհրաժեշտ է կիրառել անկյունային գործակիցի սահմանումը և հաշվարկել հարթության թեքության անկյան շոշափողը։

Լուծում

Պայմանից ունենք, որ α = 120°: Ըստ սահմանման, թեքությունը պետք է հաշվարկվի: Գտնենք այն k = t g α = 120 = - 3 բանաձեւից։

Պատասխան. k = - 3 .

Եթե ​​հայտնի է անկյունային գործակիցը, և անհրաժեշտ է գտնել աբսցիսային առանցքի թեքության անկյունը, ապա պետք է հաշվի առնել անկյունային գործակիցի արժեքը։ Եթե ​​k > 0, ապա աջ անկյունը սուր է և հայտնաբերվում է α = a r c t g k բանաձևով: Եթե ​​կ< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Օրինակ 2

Որոշի՛ր տրված ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի O x՝ 3 անկյունային գործակցով։

Լուծում

Պայմանից ունենք, որ անկյունային գործակիցը դրական է, ինչը նշանակում է, որ դեպի O x թեքության անկյունը 90 աստիճանից փոքր է։ Հաշվարկները կատարվում են օգտագործելով α = a r c t g k = a r c t g 3:

Պատասխան՝ α = a r c t g 3:

Օրինակ 3

Գտե՛ք ուղիղ գծի թեքության անկյունը O x առանցքի նկատմամբ, եթե թեքությունը = - 1 3:

Լուծում

Եթե ​​որպես անկյունային գործակցի նշանակում վերցնենք k տառը, ապա α-ն տրված ուղիղ գծի թեքության անկյունն է O x դրական ուղղությամբ։ Այսպիսով, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6:

Պատասխան. 5 π 6 .

y = k x + b ձևի հավասարումը, որտեղ k-ը թեքությունն է, իսկ b-ն իրական թիվ է, կոչվում է թեքությամբ ուղիղի հավասարում: Հավասարումը բնորոշ է ցանկացած ուղիղ գծի համար, որը զուգահեռ չէ O y առանցքին:

Եթե ​​մանրամասն դիտարկենք հարթության վրա ուղիղ գիծը ֆիքսված կոորդինատային համակարգում, որը նշված է անկյունային գործակից ունեցող հավասարմամբ, որն ունի y = k x + b ձև: Այս դեպքում նշանակում է, որ հավասարումը համապատասխանում է գծի ցանկացած կետի կոորդինատներին։ Եթե ​​M, M 1 (x 1, y 1) կետի կոորդինատները փոխարինենք y = k x + b հավասարման մեջ, ապա այս դեպքում ուղիղը կանցնի այս կետով, հակառակ դեպքում կետը չի պատկանում ուղիղին։

Օրինակ 4

Տրված է ուղիղ գիծ y = 1 3 x - 1 թեքությամբ: Հաշվի՛ր, արդյոք M 1 (3, 0) և M 2 (2, - 2) կետերը պատկանում են տվյալ ուղղին։

Լուծում

Անհրաժեշտ է M 1 (3, 0) կետի կոորդինատները փոխարինել տրված հավասարման մեջ, ապա ստանում ենք 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0։ Հավասարությունը ճշմարիտ է, ինչը նշանակում է, որ կետը պատկանում է գծին:

Եթե ​​փոխարինենք M 2 կետի կոորդինատները (2, - 2), ապա կստանանք ձևի սխալ հավասարություն՝ 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3։ Կարելի է եզրակացնել, որ M 2 կետը չի պատկանում գծին։

Պատասխան. M 1-ը պատկանում է գծին, իսկ M 2-ը՝ ոչ:

Հայտնի է, որ գիծը սահմանվում է y = k · x + b հավասարմամբ՝ անցնելով M 1 (0, b) միջով, փոխարինելիս ստացանք b = k · 0 + b ⇔ b = b ձևի հավասարություն։ Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ հարթության վրա y = k x + b անկյունային գործակից ունեցող ուղիղ գծի հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է 0, b կետով: Այն կազմում է α անկյուն O x առանցքի դրական ուղղությամբ, որտեղ k = t g α:

Դիտարկենք, որպես օրինակ, ուղիղ գիծ, ​​որը սահմանվում է օգտագործելով y = 3 x - 1 ձևով նշված անկյունային գործակիցը: Մենք ստանում ենք, որ ուղիղ գիծը կանցնի 0, - 1 կոորդինատ ունեցող կետով α = a r c t g 3 = π 3 ռադիանների թեքությամբ O x առանցքի դրական ուղղությամբ: Սա ցույց է տալիս, որ գործակիցը 3 է։

Տրված կետով անցնող թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը

Անհրաժեշտ է լուծել խնդիր, որտեղ անհրաժեշտ է ստանալ M 1 կետով անցնող տրված թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը (x 1, y 1):

y 1 = k · x + b հավասարությունը կարելի է վավեր համարել, քանի որ ուղիղն անցնում է M 1 կետով (x 1, y 1): b թիվը հանելու համար անհրաժեշտ է ձախ և աջ կողմերից հանել թեքության հետ հավասարումը։ Այստեղից հետևում է, որ y - y 1 = k · (x - x 1) . Այս հավասարությունը կոչվում է M 1 (x 1, y 1) կետի կոորդինատներով անցնող տրված թեքությամբ k ուղիղ գծի հավասարում։

Օրինակ 5

Գրի՛ր M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (4, - 1) կոորդինատներով, որի անկյունային գործակիցը հավասար է - 2-ի։

Լուծում

Պայմանով մենք ունենք x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2: Այստեղից տողի հավասարումը կգրվի հետևյալ կերպ. y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7. .

Պատասխան. y = - 2 x + 7:

Օրինակ 6

Գրի՛ր անկյունային գործակից ունեցող ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է M 1 կետով (3, 5) կոորդինատներով՝ y = 2 x - 2 ուղիղին զուգահեռ։

Լուծում

Պայմանով ունենք, որ զուգահեռ ուղիղներն ունեն թեքության միանման անկյուններ, ինչը նշանակում է, որ անկյունային գործակիցները հավասար են։ Այս հավասարումից թեքությունը գտնելու համար հարկավոր է հիշել դրա հիմնական բանաձևը y = 2 x - 2, հետևում է, որ k = 2: Թեքության գործակցով ստեղծում ենք հավասարում և ստանում.

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Պատասխան. y = 2 x - 1 .

Անցում թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումից դեպի այլ տեսակի ուղիղ գծերի հավասարումներ և ետ

Այս հավասարումը միշտ չէ, որ կիրառելի է խնդիրներ լուծելու համար, քանի որ այն այնքան էլ հարմար չէ գրված: Դա անելու համար հարկավոր է այն ներկայացնել այլ ձևով: Օրինակ, y = k x + b ձևի հավասարումը թույլ չի տալիս գրել ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները կամ նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Դա անելու համար դուք պետք է սովորեք ներկայացնել տարբեր տեսակի հավասարումներով:

Մենք կարող ենք ստանալ կանոնական հավասարումգիծ հարթության վրա՝ օգտագործելով թեքությամբ գծի հավասարումը: Մենք ստանում ենք x - x 1 a x = y - y 1 a y: Անհրաժեշտ է b տերմինը տեղափոխել ձախ կողմ և բաժանել ստացված անհավասարության արտահայտությամբ։ Այնուհետև մենք ստանում ենք y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k ձևի հավասարումը:

Թեքությամբ ուղիղի հավասարումը դարձել է այս գծի կանոնական հավասարումը։

Օրինակ 7

y = - 3 x + 12 անկյունային գործակից ունեցող ուղիղ գծի հավասարումը հասցրե՛ք կանոնական ձևի։

Լուծում

Հաշվարկենք և ներկայացնենք այն ուղիղ գծի կանոնական հավասարման տեսքով։ Մենք ստանում ենք ձևի հավասարում.

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Պատասխան՝ x 1 = y - 12 - 3:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ամենահեշտն է ստացվում y = k · x + b-ից, սակայն դրա համար անհրաժեշտ է փոխակերպումներ կատարել՝ y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0: Անցում է կատարվում ընդհանուր հավասարումուղիղ գիծ այլ տեսակի հավասարումների.

Օրինակ 8

Տրվում է y = 1 7 x - 2 ձևի ուղիղ գծի հավասարում: Պարզեք, արդյոք a → = (- 1, 7) կոորդինատներով վեկտորը նորմալ գծի վեկտոր է:

Լուծում

Լուծելու համար անհրաժեշտ է անցնել այս հավասարման մեկ այլ ձևի, դրա համար գրում ենք.

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Փոփոխականների դիմաց գործակիցները գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են։ Գրենք այսպես՝ n → = 1 7, - 1, հետևաբար 1 7 x - y - 2 = 0։ Հասկանալի է, որ a → = (- 1, 7) վեկտորը համագիծ է n → = 1 7, - 1 վեկտորին, քանի որ մենք ունենք a → = - 7 · n → արդար կապը։ Հետևում է, որ a → = - 1, 7 սկզբնական վեկտորը 1 7 x - y - 2 = 0 տողի նորմալ վեկտորն է, ինչը նշանակում է, որ այն համարվում է նորմալ վեկտոր y = 1 7 x - 2 տողի համար։

Պատասխան.Է

Եկեք լուծենք այս մեկի հակադարձ խնդիրը։

A x + B y + C = 0 հավասարման ընդհանուր ձևից, որտեղ B ≠ 0, անհրաժեշտ է անցնել անկյունային գործակից ունեցող հավասարման: Դա անելու համար մենք լուծում ենք y-ի հավասարումը: Մենք ստանում ենք A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B:

Արդյունքը հավասարություն է, որի թեքությունը հավասար է - A B-ին:

Օրինակ 9

Տրված է 2 3 x - 4 y + 1 = 0 ձևի ուղիղ հավասարումը։ Ստացեք տրված ուղիղի հավասարումը անկյունային գործակցով.

Լուծում

Ելնելով պայմանից՝ անհրաժեշտ է լուծել y-ը, այնուհետև ստանում ենք ձևի հավասարում.

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4:

Պատասխան՝ y = 1 6 x + 1 4:

Նմանապես լուծվում է x a + y b = 1 ձևի հավասարումը, որը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարում հատվածներով կամ կանոնական x - x 1 a x = y - y 1 a y ձևի: Մենք պետք է լուծենք այն y-ի համար, միայն դրանից հետո մենք հավասարություն ենք ստանում թեքության հետ.

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Կանոնական հավասարումը կարող է կրճատվել անկյունային գործակից ունեցող ձևի: Սրա համար:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Օրինակ 10

Կա ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է x 2 + y - 3 = 1 հավասարմամբ: Կրճատել անկյունային գործակցով հավասարման ձևի:

Լուծում.

Ելնելով պայմանից՝ անհրաժեշտ է վերափոխել, այնուհետև ստանում ենք _բանաձև_ ձևի հավասարում։ Հավասարման երկու կողմերը պետք է բազմապատկվեն - 3-ով` պահանջվող թեքության հավասարումը ստանալու համար: Փոխակերպվելով՝ մենք ստանում ենք.

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3:

Պատասխան. y = 3 2 x - 3:

Օրինակ 11

Կրճատել x - 2 2 = y + 1 5 ձևի ուղիղ գծի հավասարումը անկյունային գործակից ունեցող ձևի:

Լուծում

Անհրաժեշտ է հաշվարկել x - 2 2 = y + 1 5 արտահայտությունը համամասնությամբ։ Մենք ստանում ենք, որ 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Այժմ դուք պետք է ամբողջությամբ միացնեք այն, դա անելու համար.

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Պատասխան՝ y = 5 2 x - 6:

Նման խնդիրներ լուծելու համար x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ձևի գծի պարամետրային հավասարումները պետք է կրճատվեն մինչև գծի կանոնական հավասարումը, միայն դրանից հետո կարելի է անցնել հավասարմանը. թեքության գործակիցը.

Օրինակ 12

Գտե՛ք ուղիղի թեքությունը, եթե այն տրված է պարամետրական հավասարումներով x = λ y = - 1 + 2 · λ։

Լուծում

Պարամետրային տեսքից անհրաժեշտ է անցում կատարել թեքության։ Դա անելու համար մենք գտնում ենք կանոնական հավասարումը տրված պարամետրայինից.

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2:

Այժմ անհրաժեշտ է լուծել այս հավասարությունը y-ի նկատմամբ, որպեսզի ստացվի անկյունային գործակցով ուղիղ գծի հավասարումը։ Դա անելու համար եկեք այն գրենք այսպես.

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Դրանից բխում է, որ գծի թեքությունը 2 է։ Սա գրված է որպես k = 2:

Պատասխան. k = 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

IN Դեկարտյան կոորդինատներյուրաքանչյուր տող որոշվում է առաջին աստիճանի հավասարմամբ և, ընդհակառակը, առաջին աստիճանի յուրաքանչյուր հավասարում որոշում է տող:

Ձևի հավասարումը

կոչվում է ուղիղի ընդհանուր հավասարում։

Նկարում որոշված ​​անկյունը կոչվում է դեպի Ox առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյուն: Ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափողը Ox առանցքին կոչվում է ուղիղ գծի անկյունային գործակից; այն սովորաբար նշվում է k տառով.

Հավասարումը կոչվում է թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարում; k-ն անկյունային գործակիցն է, b-ն այն հատվածի արժեքն է, որը կտրված է Oy առանցքի ուղիղ գծով՝ սկզբից հաշվելով։

Եթե ​​ընդհանուր հավասարմամբ տրված է ուղիղ գիծ

,

ապա նրա անկյունային գործակիցը որոշվում է բանաձևով

Հավասարումը ուղիղ գծի հավասարումն է, որն անցնում է (, ) կետով և ունի k անկյունային գործակից։

Եթե ​​ուղիղ գիծն անցնում է (, ), (, ) կետերով, ապա դրա թեքությունը որոշվում է բանաձևով

Հավասարումը

երկու կետերով (, ) և (, ) անցնող ուղիղի հավասարումն է։

Եթե ​​հայտնի են երկու ուղիղների անկյունային գործակիցները, ապա այս ուղիղների միջև անկյուններից մեկը որոշվում է բանաձևով.

.

Երկու ուղիղ գծերի զուգահեռության նշան է նրանց անկյունային գործակիցների հավասարությունը.

Երկու ուղիղ գծերի ուղղահայացության նշան է հարաբերակցությունը, կամ.

Այլ կերպ ասած՝ ուղղահայաց գծերի անկյունային գործակիցները բացարձակ արժեքով հակադարձ են, իսկ նշանով՝ հակառակ։

4. Գծի ընդհանուր հավասարում

Հավասարումը

Ah+Bu+C=0

(Որտեղ A, B, Cկարող է ունենալ ցանկացած արժեք, քանի դեռ գործակիցները Ա, Բերկուսն էլ միանգամից զրո չէին) ներկայացնում է ուղիղ գիծ. Ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել այս տեսակի հավասարմամբ: Դրա համար էլ նրան կանչում են գծի ընդհանուր հավասարումը.

Եթե ԱX, ապա այն ներկայացնում է ուղիղ գիծ, OX առանցքին զուգահեռ.

Եթե IN=0, այսինքն, հավասարումը չի պարունակում ժամը, ապա այն ներկայացնում է ուղիղ գիծ, OY առանցքին զուգահեռ.

Կոգլա INհավասար չէ զրոյի, ապա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կարող է լինել լուծել հարաբերական կարգինժամը , ապա այն վերածվում է ձևի

(Որտեղ ա=-Ա/Բ; b=-C/B).

Նմանապես, երբ Աոչ զրոյական, ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կարող է լուծվել նկատմամբ X.

Եթե ՀԵՏ=0, այսինքն՝ ուղիղի ընդհանուր հավասարումը չի պարունակում ազատ անդամ, այնուհետև այն ներկայացնում է սկզբնակետով անցնող ուղիղ.

5. Տրված թեքությամբ տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Ա(x 1 , y 1) տվյալ ուղղությամբ, որը որոշվում է թեքությամբ կ,

y - y 1 = կ(x - x 1). (1)

Այս հավասարումը սահմանում է կետի միջով անցնող գծերի մատիտ Ա(x 1 , y 1), որը կոչվում է ճառագայթային կենտրոն:

6. երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարում.

. Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը. Ա(x 1 , y 1) և Բ(x 2 , y 2), գրված է այսպես.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը որոշվում է բանաձևով

7. Գծի հավասարումը հատվածներում

Եթե ​​ուղիղի ընդհանուր հավասարման մեջ, ապա բաժանելով (1)-ը, մենք ստանում ենք ուղիղի հավասարումը հատվածներով.

Որտեղ,. Ուղիղ գիծը հատում է առանցքը կետում, առանցքը կետում:

8. Բանաձև՝ հարթության ուղիղ գծերի միջև անկյուն

U Նպատակ α երկու ուղիղ գծերի միջև, որոնք տրված են հավասարումներով. y=k 1 x+b 1 (առաջին տող) և y=k 2 x+b 2 (երկրորդ ուղիղ գիծ), կարելի է հաշվարկել բանաձևով (անկյունը չափվում է 1-ին ուղիղ գծից մինչև 2-րդ. ժամացույցի հակառակ ուղղությամբ ):

9. Երկու գծերի հարաբերական դիրքը հարթության վրա:

Թող հիմա երկուսն էլ հավասարումներուղղակիորեն գրված է ընդհանուր տեսարան.

Թեորեմ. Թող

- տարածված են հավասարումներերկու ուղիղ գծերի վրա համակարգելՕքսի ինքնաթիռ. Հետո

1) եթե, ապա ուղիղև համընկնում;

2) եթե , ապա ուղիղ և

զուգահեռ;

3) եթե, ապա ուղիղհատվում են.

Ապացույց. Վիճակը համարժեք է նորմայի համակցվածությանը վեկտորներուղղակի տվյալներ.

Հետևաբար, եթե, ապա ուղիղհատվում են.

Եթե , ապա , , եւ հավասարումը ուղիղընդունում է ձևը՝

Կամ , այսինքն. ուղիղհամապատասխանեցնել։ Նշենք, որ համաչափության գործակիցը, հակառակ դեպքում՝ ընդհանուրի բոլոր գործակիցները հավասարումներհավասար կլիներ զրոյի, ինչը անհնար է։

Եթե ուղիղչեն համընկնում և չեն հատվում, ապա գործը մնում է, այսինքն. ուղիղզուգահեռ։

Թեորեմն ապացուցված է.

Սովորեք վերցնել ֆունկցիաների ածանցյալները:Ածանցյալը բնութագրում է այս ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած որոշակի կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը: Այս դեպքում գրաֆիկը կարող է լինել կամ ուղիղ կամ կոր գիծ: Այսինքն՝ ածանցյալը բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը ժամանակի որոշակի կետում։ Հիշեք ընդհանուր կանոնները, որոնցով վերցվում են ածանցյալները, և միայն դրանից հետո անցեք հաջորդ քայլին:

• Կարդացեք հոդվածը.
• Ինչպես վերցնել ամենապարզ ածանցյալները, օրինակ՝ ածանցյալ էքսպոնենցիալ հավասարում, նկարագրված է. Հետևյալ քայլերով ներկայացված հաշվարկները հիմնված կլինեն այնտեղ նկարագրված մեթոդների վրա:

Սովորեք տարբերակել խնդիրները, որոնցում թեքությունը պետք է հաշվարկվի ֆունկցիայի ածանցյալի միջոցով:Խնդիրները միշտ չէ, որ պահանջում են գտնել ֆունկցիայի թեքությունը կամ ածանցյալը: Օրինակ, ձեզ կարող են խնդրել գտնել ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը A(x,y) կետում: Ձեզանից կարող է պահանջվել նաև գտնել շոշափողի թեքությունը A(x,y) կետում: Երկու դեպքում էլ անհրաժեշտ է վերցնել ֆունկցիայի ածանցյալը։

Վերցրեք ձեզ տրված ֆունկցիայի ածանցյալը:Այստեղ գրաֆիկ կառուցելու կարիք չկա, անհրաժեշտ է միայն ֆունկցիայի հավասարումը: Մեր օրինակում վերցրեք ֆունկցիայի ածանցյալը f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ցուցադրման ոճ f(x)=2x^(2)+6x). Վերցրեք ածանցյալը վերը նշված հոդվածում նշված մեթոդների համաձայն.

Քեզ տրված կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր գտած ածանցյալով՝ թեքությունը հաշվարկելու համար:Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է որոշակի կետի թեքությանը: Այլ կերպ ասած, f"(x)-ը ֆունկցիայի թեքությունն է ցանկացած կետում (x,f(x)):Մեր օրինակում.

Մաթեմատիկայի մեջ դեկարտյան կոորդինատային հարթության վրա ուղիղի դիրքը նկարագրող պարամետրերից մեկն այս ուղիղի անկյունային գործակիցն է։ Այս պարամետրը բնութագրում է ուղիղ գծի թեքությունը դեպի աբսցիսայի առանցքը: Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է գտնել թեքությունը, նախ հիշեք XY կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի հավասարման ընդհանուր ձևը:

Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած տող կարող է ներկայացվել ax+by=c արտահայտությամբ, որտեղ a, b և c կամայական իրական թվեր են, բայց a 2 + b 2 ≠ 0:

Օգտագործելով պարզ փոխակերպումներ՝ նման հավասարումը կարելի է բերել y=kx+d ձևի, որում k և d-ն իրական թվեր են։ k թիվը թեքությունն է, իսկ այս տիպի ուղիղի հավասարումը կոչվում է թեքությամբ հավասարում։ Ստացվում է, որ թեքությունը գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է նվազեցնել սկզբնական հավասարումը վերևում նշված ձևին: Ավելի ամբողջական հասկանալու համար դիտարկեք կոնկրետ օրինակ.

Խնդիր. Գտե՛ք 36x - 18y = 108 հավասարմամբ տրված գծի թեքությունը։

Լուծում. Փոխակերպենք սկզբնական հավասարումը:

Պատասխան՝ Այս գծի պահանջվող թեքությունը 2 է։

Եթե ​​հավասարման փոխակերպման ժամանակ մենք ստացել ենք x = const նման արտահայտություն և արդյունքում չենք կարող ներկայացնել y-ը որպես x-ի ֆունկցիա, ապա գործ ունենք X առանցքի զուգահեռ ուղիղ գծի հետ ուղիղ գիծը հավասար է անսահմանության:

y = const հավասարմամբ արտահայտված տողերի համար թեքությունը զրո է: Սա բնորոշ է աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերի համար։ Օրինակ:

Խնդիր՝ Գտե՛ք 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 հավասարմամբ տրված ուղիղի թեքությունը։

Լուծում. Բուն հավասարումը բերենք իր ընդհանուր ձևին

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ստացված արտահայտությունից y-ն անհնար է արտահայտել, հետևաբար այս ուղիղի անկյունային գործակիցը հավասար է անսահմանության, իսկ ուղիղը ինքնին զուգահեռ կլինի Y առանցքին։

Երկրաչափական իմաստ

Ավելի լավ հասկանալու համար եկեք նայենք նկարին.

Նկարում մենք տեսնում ենք այնպիսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, ինչպիսին է y = kx: Պարզեցնելու համար վերցնենք c = 0 գործակիցը: OAB եռանկյան մեջ BA կողմի և AO-ի հարաբերությունը հավասար կլինի k անկյունային գործակցին: Միևնույն ժամանակ, VA/AO հարաբերակցությունը α սուր անկյան շոշափողն է ուղղանկյուն եռանկյուն OAV. Ստացվում է, որ ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը հավասար է այն անկյան շոշափմանը, որը կազմում է այս ուղիղը կոորդինատային ցանցի աբսցիսային առանցքի հետ։

Լուծելով ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը գտնելու խնդիրը՝ գտնում ենք նրա և կոորդինատային ցանցի X առանցքի միջև ընկած անկյան շոշափողը։ Սահմանային դեպքեր, երբ խնդրո առարկա ուղիղը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքներին, հաստատեք վերը նշվածը: Իրոք, y=const հավասարմամբ նկարագրված ուղիղ գծի համար նրա և աբսցիսային առանցքի միջև անկյունը զրո է: Զրո անկյան շոշափողը նույնպես զրո է, իսկ թեքությունը նույնպես զրո է։

x-առանցքին ուղղահայաց և x=const հավասարմամբ նկարագրված ուղիղ գծերի համար նրանց և X-առանցքի միջև անկյունը 90 աստիճան է: Ուղղանկյուն անկյան շոշափողը հավասար է անվերջության, իսկ նմանատիպ ուղիղների անկյունային գործակիցը նույնպես հավասար է անսահմանության, ինչը հաստատում է վերևում գրվածը։

Շոշափող թեքություն

Գործնականում հաճախ հանդիպող խնդիր է նաև որոշակի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունը գտնելը: Շոշափողը ուղիղ գիծ է, հետևաբար դրա համար կիրառելի է նաև թեք հասկացությունը։

Պարզելու համար, թե ինչպես կարելի է գտնել շոշափողի թեքությունը, մենք պետք է հիշենք ածանցյալ հասկացությունը: Ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը որոշակի կետում հաստատուն է, որը թվայինորեն հավասար է անկյան շոշափմանը, որը ձևավորվում է այս ֆունկցիայի գրաֆիկի նշված կետում շոշափողի և աբսցիսային առանցքի միջև: Ստացվում է, որ x 0 կետում շոշափողի անկյունային գործակիցը որոշելու համար պետք է հաշվարկել սկզբնական ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը այս կետում k = f"(x 0): Դիտարկենք օրինակը.

Խնդիր. Գտե՛ք y = 12x 2 + 2x x ֆունկցիային շոշափող ուղիղի թեքությունը x = 0.1-ում:

Լուծում. Գտե՛ք սկզբնական ֆունկցիայի ածանցյալը ընդհանուր տեսքով

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Պատասխան՝ x = 0,1 կետում պահանջվող թեքությունը 4,831 է