Հանգույց առցանց հաշվարկ: Էվկլիդեսյան ալգորիթմ - գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Իրական կյանքի օրինակներ

Շարունակենք զրույցը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի մասին, որը սկսել ենք «LCM. ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, սահմանում, օրինակներ» բաժնում։ Այս թեմայում մենք կքննարկենք երեք և ավելի թվերի համար LCM-ն գտնելու ուղիները և կանդրադառնանք այն հարցին, թե ինչպես գտնել բացասական թվի LCM:

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը GCD-ի միջոցով

Մենք արդեն հաստատել ենք կապը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջև: Այժմ եկեք սովորենք, թե ինչպես կարելի է որոշել LCM-ն GCD-ի միջոցով: Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչպես դա անել դրական թվերի համար:

Սահմանում 1

Դուք կարող եք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով՝ օգտագործելով LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) բանաձևը:

Օրինակ 1

Պետք է գտնել 126 և 70 համարների LCM-ն։

Լուծում

Վերցնենք a = 126, b = 70: Եկեք փոխարինենք արժեքները ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի հաշվարկման բանաձևում LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Գտնում է 70 և 126 թվերի gcd-ն։ Դրա համար մեզ անհրաժեշտ է Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, հետևաբար GCD (126 , 70) = 14 .

Եկեք հաշվարկենք LCM. LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630:

Պատասխան. LCM(126, 70) = 630:

Օրինակ 2

Գտե՛ք 68 և 34 թիվը։

Լուծում

GCD-ն այս դեպքում դժվար չէ գտնել, քանի որ 68-ը բաժանվում է 34-ի: Եկեք հաշվարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` օգտագործելով բանաձևը` LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68:

Պատասխան. LCM(68, 34) = 68:

Այս օրինակում մենք օգտագործել ենք a և b դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու կանոնը. եթե առաջին թիվը բաժանվում է երկրորդի վրա, ապա այդ թվերի LCM-ն հավասար կլինի առաջին թվին։

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Հիմա եկեք նայենք LCM-ի հայտնաբերման մեթոդին, որը հիմնված է թվերը պարզ գործակիցների վերածելու վրա:

Սահմանում 2

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար մենք պետք է կատարենք մի շարք պարզ քայլեր.

• մենք կազմում ենք այն թվերի բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալը, որոնց համար պետք է գտնել LCM.
• մենք բացառում ենք բոլոր հիմնական գործոնները դրանց արդյունքում ստացված արտադրանքներից.
• Ընդհանուր պարզ գործակիցները վերացնելուց հետո ստացված արտադրյալը հավասար կլինի տվյալ թվերի LCM-ին։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու այս մեթոդը հիմնված է LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) հավասարության վրա: Եթե ​​նայեք բանաձևին, պարզ կդառնա՝ a և b թվերի արտադրյալը հավասար է բոլոր այն գործոնների արտադրյալին, որոնք մասնակցում են այս երկու թվերի տարրալուծմանը։ Այս դեպքում երկու թվերի gcd-ն հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են այս երկու թվերի ֆակտորիզացիաներում։

Օրինակ 3

Մենք ունենք երկու թիվ 75 և 210: Մենք կարող ենք դրանք գործոնավորել հետևյալ կերպ. 75 = 3 5 5Եվ 210 = 2 3 5 7. Եթե ​​կազմեք երկու սկզբնական թվերի բոլոր գործակիցների արտադրյալը, կստանաք. 2 3 3 5 5 5 5 7.

Եթե ​​բացառենք և՛ 3, և՛ 5 թվերի համար ընդհանուր գործոնները, ապա կստանանք հետևյալ ձևի արտադրյալը. 2 3 5 5 7 = 1050. Այս ապրանքը կլինի մեր LCM-ն 75 և 210 համարների համար:

Օրինակ 4

Գտեք թվերի LCM 441 Եվ 700 , երկու թվերը ֆակտորելով պարզ գործակիցների:

Լուծում

Գտնենք պայմանում տրված թվերի բոլոր պարզ գործակիցները.

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Մենք ստանում ենք թվերի երկու շղթա՝ 441 = 3 3 7 7 և 700 = 2 2 5 5 7:

Այս թվերի տարրալուծմանը մասնակցած բոլոր գործոնների արտադրյալը կունենա հետևյալ ձևը. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Եկեք գտնենք ընդհանուր գործոններ. Սա 7 թիվն է։ Եկեք բացառենք այն ընդհանուր արտադրանքից. 2 2 3 3 5 5 7 7. Պարզվում է, որ ՀԱՕԿ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Պատասխան. LOC(441, 700) = 44,100:

Եկեք մեկ այլ ձևակերպում տանք LCM-ը գտնելու մեթոդի՝ թվերը պարզ գործակիցների տարրալուծելու միջոցով:

Սահմանում 3

Նախկինում մենք բացառում էինք երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնների ընդհանուր թվից: Այժմ մենք դա կանենք այլ կերպ.

• Եկեք երկու թվերն էլ դասավորենք պարզ գործոնների.
• Առաջին թվի պարզ գործակիցների արտադրյալին ավելացնել երկրորդ թվի բացակայող գործակիցները.
• մենք ստանում ենք արտադրյալը, որը կլինի երկու թվերի ցանկալի LCM:

Օրինակ 5

Վերադառնանք 75 և 210 թվերին, որոնց համար մենք արդեն փնտրել ենք LCM-ն նախորդ օրինակներից մեկում։ Եկեք դրանք բաժանենք պարզ գործոնների. 75 = 3 5 5Եվ 210 = 2 3 5 7. 3, 5 և գործակիցների արտադրյալին 5 75 համարները ավելացնում են բացակայող գործոնները 2 Եվ 7 210 համարներ։ Մենք ստանում ենք. 2 · 3 · 5 · 5 · 7.Սա 75 և 210 թվերի LCM-ն է։

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է հաշվարկել 84 և 648 թվերի LCM-ն։

Լուծում

Եկեք թվերը պայմանից դասավորենք պարզ գործոնների. 84 = 2 2 3 7Եվ 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. Արտադրանքին ավելացնենք 2, 2, 3 և 7 թվեր 84 բացակայող գործոններ 2, 3, 3 և
3 648 համարներ։ Մենք ստանում ենք ապրանքը 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536:Սա 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Պատասխան. LCM (84, 648) = 4,536:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Անկախ նրանից, թե քանի թվի հետ գործ ունենք, մեր գործողությունների ալգորիթմը միշտ նույնն է լինելու. մենք հաջորդաբար կգտնենք երկու թվերի LCM: Այս դեպքի համար կա թեորեմա.

Թեորեմ 1

Ենթադրենք, որ ունենք ամբողջ թվեր a 1, a 2, …, a k. ՀԱՕԿ մ կայս թվերը հայտնաբերվում են հաջորդականորեն հաշվարկելով m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k):

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես կարող է թեորեմը կիրառվել կոնկրետ խնդիրներ լուծելու համար։

Օրինակ 7

Դուք պետք է հաշվարկեք չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 140, 9, 54 և 250 .

Լուծում

Ներկայացնենք նշումը՝ a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250:

Եկեք սկսենք հաշվարկելով m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9): Եկեք կիրառենք Էվկլիդեսի ալգորիթմը 140 և 9 թվերի GCD-ն հաշվարկելու համար՝ 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4: Մենք ստանում ենք. Հետեւաբար, մ 2 = 1260:

Հիմա եկեք հաշվարկենք՝ օգտագործելով նույն ալգորիթմը m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54): Հաշվարկների ընթացքում մենք ստանում ենք m 3 = 3 780:

Մենք պարզապես պետք է հաշվարկենք m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250): Մենք հետևում ենք նույն ալգորիթմին. Մենք ստանում ենք m 4 = 94 500:

Օրինակի պայմանից չորս թվերի LCM-ն 94500 է:

Պատասխան.ԱՕԿ (140, 9, 54, 250) = 94,500:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկները պարզ են, բայց բավականին աշխատատար: Ժամանակ խնայելու համար կարող եք այլ ճանապարհով գնալ։

Սահմանում 4

Մենք ձեզ առաջարկում ենք գործողությունների հետևյալ ալգորիթմը.

• մենք բոլոր թվերը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների.
• Առաջին թվի գործակիցների արտադրյալին ավելացնում ենք բաց թողնված գործակիցները երկրորդ թվի արտադրյալից.
• նախորդ փուլում ստացված արտադրանքին ավելացնում ենք երրորդ թվի բացակայող գործակիցները և այլն.
• ստացված արտադրյալը կլինի պայմանի բոլոր թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Օրինակ 8

Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի LCM:

Լուծում

Եկեք բոլոր հինգ թվերը չափենք պարզ գործակիցների՝ 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13: Պարզ թվերը, որոնք 7 թիվն են, չեն կարող վերագրվել պարզ գործակիցների: Նման թվերը համընկնում են դրանց տարրալուծման հետ պարզ գործոնների։

Հիմա վերցնենք 84 թվի 2, 2, 3 և 7 պարզ գործակիցների արտադրյալը և գումարենք երկրորդ թվի բացակայող գործակիցները։ Մենք 6 թիվը բաժանեցինք 2-ի և 3-ի։ Այս գործոններն արդեն առաջին թվի արտադրյալում են։ Հետեւաբար, մենք դրանք բաց ենք թողնում։

Մենք շարունակում ենք ավելացնել բաց թողնված բազմապատկիչները: Անցնենք 48 թվին, որի պարզ գործակիցների արտադրյալից վերցնում ենք 2-ը և 2-ը։ Այնուհետև չորրորդ թվից գումարում ենք 7-ի պարզ գործակիցը և հինգերորդի 11-ի և 13-ի գործակիցները։ Մենք ստանում ենք՝ 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048: Սա սկզբնական հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Պատասխան. LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048:

Գտնել բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար բացասական թվեր, այս թվերը նախ պետք է փոխարինել հակառակ նշանով թվերով, ապա հաշվարկները կատարել վերը նշված ալգորիթմներով։

Օրինակ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) և LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)։

Նման գործողությունները թույլատրելի են այն պատճառով, որ եթե ընդունենք դա աԵվ − ա- հակադիր թվեր,
ապա թվի բազմապատիկների բազմությունը ահամապատասխանում է թվի բազմապատիկների բազմությանը − ա.

Օրինակ 10

Անհրաժեշտ է հաշվել բացասական թվերի LCM − 145 Եվ − 45 .

Լուծում

Փոխարինենք թվերը − 145 Եվ − 45 իրենց հակառակ թվերին 145 Եվ 45 . Այժմ, օգտագործելով ալգորիթմը, մենք հաշվարկում ենք LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, նախապես որոշելով GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը:

Ստանում ենք, որ թվերի LCM-ն − 145 է և − 45 հավասար է 1 305 .

Պատասխան. LCM (− 145, − 45) = 1305։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածը վերաբերում է գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD)երկու կամ ավելի թվեր. Նախ, եկեք նայենք Էվկլիդեսի ալգորիթմին, որը թույլ է տալիս գտնել երկու թվերի gcd. Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք մի մեթոդի վրա, որը թույլ է տալիս մեզ հաշվարկել թվերի gcd-ը որպես դրանց ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալ: Այնուհետև մենք կքննարկենք երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելը, ինչպես նաև բացասական թվերի gcd-ի հաշվարկման օրինակներ:

Էջի նավարկություն.

Էվկլիդեսյան ալգորիթմ GCD գտնելու համար

Նկատենք, որ եթե հենց սկզբից դիմեինք պարզ թվերի աղյուսակին, ապա կպարզեինք, որ 661 և 113 թվերը պարզ թվեր են, որոնցից անմիջապես կարող ենք ասել, որ դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1-ն է։

Պատասխան.

GCD(661, 113)=1:

Գտեք GCD-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Դիտարկենք GCD-ն գտնելու մեկ այլ եղանակ: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Ձևակերպենք կանոն. a և b երկու դրական ամբողջ թվերի gcd-ն հավասար է a և b թվերի պարզ ֆակտորիզացիաներում հայտնաբերված բոլոր ընդհանուր պարզ գործոնների արտադրյալին:.

Բերենք օրինակ՝ բացատրելու GCD գտնելու կանոնը։ Իմացե՛ք 220 և 600 թվերի տարրալուծումները պարզ գործակիցների, դրանք ունեն 220=2·2·5·11 և 600=2·2·2·3·5·5 ձև: 220 և 600 թվերի գործակցման մեջ ներգրավված պարզ պարզ գործոնները 2, 2 և 5 են: Հետեւաբար, GCD(220, 600)=2·2·5=20:

Այսպիսով, եթե a և b թվերը դասավորենք պարզ գործոնների և գտնենք նրանց բոլոր ընդհանուր գործակիցների արտադրյալը, ապա դա կգտնի a և b թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Դիտարկենք GCD-ի հայտնաբերման օրինակը նշված կանոնի համաձայն:

Օրինակ։

Գտե՛ք 72 և 96 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Լուծում.

72 և 96 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների.

Այսինքն՝ 72=2·2·2·3·3 և 96=2·2·2·2·2·3: Ընդհանուր պարզ գործոններն են 2, 2, 2 և 3: Այսպիսով, gcd(72, 96)=2·2·2·3=24:

Պատասխան.

GCD(72, 96)=24:

Եզրափակելով այս պարբերությունը, մենք նշում ենք, որ GCD գտնելու վերը նշված կանոնի վավերականությունը բխում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հատկությունից, որը նշում է. GCD(m a 1, m b 1)=m GCD(a 1, b 1), որտեղ m-ը ցանկացած դրական ամբողջ թիվ է:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի gcd-ն

Երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելը կարող է կրճատվել երկու թվերի gcd-ի հաջորդականությամբ գտնելով: Մենք դա նշել ենք GCD-ի հատկությունները ուսումնասիրելիս։ Այնտեղ մենք ձևակերպեցինք և ապացուցեցինք թեորեմը՝ a 1, a 2, ... մի քանի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, a k-ը հավասար է d k թվին, որը ստացվում է GCD(a 1, a 2)=d 2 հաջորդական հաշվարկով։ , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Տեսնենք, թե ինչպիսին է մի քանի թվերի gcd-ն գտնելու գործընթացը՝ նայելով օրինակի լուծումը։

Օրինակ։

Գտե՛ք 78, 294, 570 և 36 չորս թվերի ամենամեծ ընդհանուր գործակիցը:

Լուծում.

Այս օրինակում a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36:

Նախ, օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, մենք որոշում ենք 78 և 294 առաջին երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը d 2: Բաժանելիս ստանում ենք 294 = 78 3 + 60 հավասարությունները; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 և 18=6·3: Այսպիսով, d 2 =GCD(78, 294)=6:

Հիմա եկեք հաշվարկենք d 3 = GCD (d 2, a 3) = GCD (6, 570). Կրկին կիրառենք Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 570=6·95, հետևաբար՝ d 3 = GCD(6, 570)=6։

Մնում է հաշվարկել d 4 = GCD (d 3, a 4) = GCD (6, 36). Քանի որ 36-ը բաժանվում է 6-ի, ապա d 4 = GCD(6, 36) = 6:

Այսպիսով, տրված չորս թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը d 4 =6 է, այսինքն՝ gcd(78, 294, 570, 36)=6։

Պատասխան.

GCD(78, 294, 570, 36)=6:

Թվերը պարզ գործոնների վերածելը նաև թույլ է տալիս հաշվարկել երեք կամ ավելի թվերի gcd-ն: Այս դեպքում ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հայտնաբերվում է որպես տվյալ թվերի բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալ։

Օրինակ։

Հաշվե՛ք նախորդ օրինակի թվերի gcd-ն՝ օգտագործելով դրանց պարզ գործոնավորումները:

Լուծում.

78, 294, 570 և 36 թվերը բազմացնենք պարզ գործակիցների, ստանում ենք 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2: · 3 · 3. Այս բոլոր չորս թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցները 2 և 3 թվերն են: Հետևաբար, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Երկու թվերի GCD-ն (ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը) գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

2. Ստացված ընդարձակումների մեջ գտե՛ք (ընդգծե՛ք) բոլոր ընդհանուր պարզ գործոնները:

3. Գտի՛ր ընդհանուր պարզ գործոնների արտադրյալը:

Երկու թվերի LCM-ը (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը) գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1.Տրված թվերը բաժանիր պարզ գործակիցների։

2. Դրանցից մեկի ընդլայնումը լրացվում է մյուս թվի ընդլայնման այն գործոններով, որոնք առաջինի ընդլայնման մեջ չեն։

3. Հաշվի՛ր ստացված գործոնների արտադրյալը:

Գտնելով gcd

GCD-ն ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Մի քանի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

• որոշել երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնները.
• գտնել ընդհանուր գործոնների արտադրյալը.

GCD գտնելու օրինակ.

Գտնենք 315 և 245 թվերի gcd-ն։

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Եկեք գրենք երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնները.

3. Գտե՛ք ընդհանուր գործոնների արտադրյալը.

GCD(315, 245) = 5 * 7 = 35:

Պատասխան՝ GCD(315, 245) = 35:

Գտնելով ՀԱՕԿ-ը

LCM-ն ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

• գործակիցների թվերը պարզ գործոնների;
• գրեք թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները.
• Դրանց գումարենք երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները.
• գտնել ստացված գործոնների արտադրյալը.

LOC-ը գտնելու օրինակ.

Գտնենք 236 և 328 թվերի LCM.

1. Թվերը դասավորենք պարզ գործոնների.

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Գրենք թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ընդգրկված գործոնները և դրանց գումարենք երկրորդ թվի ընդլայնման բացակայող գործոնները.

2; 2; 59; 2; 41.

3. Գտե՛ք ստացված գործոնների արտադրյալը.

LOC(236, 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352 թ.

Պատասխան՝ LCM(236, 328) = 19352:

Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։

Օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ա- բնական թիվ է, որը բաժանում է տրված թիվը աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։ Այս երկու թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ աԵվ բ- սա այն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աԵվ բ.

Ընդհանուր բազմապատիկմի քանի թվեր այն թիվն է, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա: Օրինակ, 9, 18 և 45 թվերն ունեն 180-ի ընդհանուր բազմապատիկ: Բայց 90-ը և 360-ը նաև նրանց ընդհանուր բազմապատիկն են: Բոլոր ընդհանուր բազմապատիկների մեջ միշտ կա ամենափոքրը, այս դեպքում այն ​​90 է։ Այս թիվը կոչվում է ամենափոքրըընդհանուր բազմապատիկ (CMM).

LCM-ը միշտ բնական թիվ է, որը պետք է մեծ լինի այն թվերից ամենամեծից, որոնց համար այն սահմանված է:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Հատկություններ.

Փոխատեղելիություն:

Ասոցիատիվություն:

Մասնավորապես, եթե և են համապարփակ թվեր, ապա.

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մԵվ nբոլոր մյուս ընդհանուր բազմապատիկների բաժանարարն է մԵվ n. Ընդ որում՝ ընդհանուր բազմապատիկների բազմությունը m, nհամընկնում է LCM-ի բազմապատիկների բազմության հետ ( m, n).

Համար ասիմպտոտիկները կարող են արտահայտվել որոշ թվային-տեսական ֆունկցիաներով:

Այսպիսով, Չեբիշևի գործառույթը. Եվ.

Սա բխում է Landau ֆունկցիայի սահմանումից և հատկություններից g(n).

Ինչ է բխում պարզ թվերի բաշխման օրենքից.

Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

ԱՕԿ ( ա, բ) կարելի է հաշվարկել մի քանի եղանակով.

1. Եթե հայտնի է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, կարող եք օգտագործել դրա կապը LCM-ի հետ.

2. Թող հայտնի լինի երկու թվերի կանոնական տարրալուծումը պարզ գործոնների.

Որտեղ p 1,...,p k- տարբեր պարզ թվեր, և դ 1,...,դ կԵվ e 1 ,...,e k— ոչ բացասական ամբողջ թվեր (դրանք կարող են լինել զրո, եթե համապատասխան պարզը ընդլայնման մեջ չէ):

Այնուհետև ԱՕԿ ( ա,բ) հաշվարկվում է բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, LCM տարրալուծումը պարունակում է բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվերի տարրալուծումներից առնվազն մեկում ա, բ, և վերցված է այս բազմապատկիչի երկու ցուցիչներից ամենամեծը։

Օրինակ:

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հաշվարկելը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի մի քանի հաջորդական հաշվարկների.

Կանոն.Մի շարք թվերի LCM-ն գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

- թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների.

- ամենամեծ տարրալուծումը (տվյալների ամենամեծ թվի գործակիցների արտադրյալը) փոխանցել ցանկալի արտադրյալի գործակիցներին, այնուհետև գումարել առաջին թվի մեջ չհայտնված կամ դրանում չհայտնված այլ թվերի տարրալուծումից։ ավելի քիչ անգամ;

— պարզ գործակիցների ստացված արտադրյալը կլինի տվյալ թվերի LCM:

Ցանկացած երկու կամ ավելի բնական թվերունեն իրենց սեփական ԱՕԿ: Եթե ​​թվերը միմյանց բազմապատիկ չեն կամ չունեն ընդլայնման նույն գործակիցները, ապա դրանց LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին։

28 թվի պարզ գործակիցները (2, 2, 7) լրացվում են 3 գործակցով (թիվ 21), ստացված արտադրյալը (84) կլինի ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 21-ի և 28-ի։

Ամենամեծ 30 թվի պարզ գործակիցները լրացվում են 25 թվի 5 գործակցով, ստացված 150 արտադրյալը մեծ է 30 ամենամեծ թվից և բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։ Սա ամենափոքր հնարավոր արտադրյալն է (150, 250, 300...), որը տրված բոլոր թվերի բազմապատիկն է։

2,3,11,37 թվերը պարզ թվեր են, ուստի դրանց LCM-ն հավասար է տրված թվերի արտադրյալին։

Կանոն. Պարզ թվերի LCM-ը հաշվարկելու համար հարկավոր է այս բոլոր թվերը միասին բազմապատկել:

Մեկ այլ տարբերակ.

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1) յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնել որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ, օրինակ.

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) գրեք բոլոր պարզ գործոնների հզորությունները.

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) գրեք այս թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր պարզ բաժանարարները (բազմապատկիչները).

4) ընտրել դրանցից յուրաքանչյուրի ամենամեծ աստիճանը, որը գտնվել է այս թվերի բոլոր ընդլայնումների մեջ.

5) բազմապատկել այս ուժերը.

Օրինակ. Գտե՛ք 168, 180 և 3024 թվերի LCM:

Լուծում. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1:

Մենք գրում ենք բոլոր պարզ բաժանարարների ամենամեծ հզորությունները և բազմապատկում դրանք.

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120:

Էվկլիդեսի ալգորիթմըամբողջ թվերի մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը (GCD) գտնելու ալգորիթմ է։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)այն թիվն է, որը բաժանում է երկու թիվ առանց մնացորդի և ինքնին առանց մնացորդի բաժանվում է տվյալ երկու թվերի որևէ այլ բաժանարարի վրա։ Պարզ ասած՝ սա ամենաշատն է մեծ թիվ, որով երկու թվեր, որոնց համար որոնվում է gcd-ը, կարելի է բաժանել առանց մնացորդի։

GCD-ն ըստ բաժանման գտնելու ալգորիթմ

1. Ավելի մեծ թիվը բաժանեք փոքր թվի վրա:
2. Եթե ​​այն բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա ավելի փոքր թիվը GCD է (դուք պետք է դուրս գաք ցիկլից):
3. Եթե ​​մնացորդ կա, ապա ավելի մեծ թիվը փոխարինիր բաժանման մնացորդով։
4. Անցնենք 1-ին կետին:

Օրինակ:
Գտեք gcd 30-ի և 18-ի համար:
30 / 18 = 1 (մնացորդը 12)
18 / 12 = 1 (մնացորդը 6)
12 / 6 = 2 (մնացորդը 0)
Վերջ. GCD-ն 6-ի բաժանարար է:
GCD (30, 18) = 6

a = 50 b = 130, մինչդեռ a != 0 և b != 0. եթե a > b: a = a % b ուրիշ. b = b % a տպել (a + b)

Օղակում բաժանման մնացորդը գրվում է a կամ b փոփոխականի վրա: Օղակը ավարտվում է, երբ փոփոխականներից առնվազն մեկը զրո է: Սա նշանակում է, որ մյուսը պարունակում է gcd: Այնուամենայնիվ, մենք չգիտենք, թե կոնկրետ որն է: Հետևաբար, GCD-ի համար մենք գտնում ենք այս փոփոխականների գումարը: Քանի որ փոփոխականներից մեկը զրոյական է, այն արդյունքի վրա չի ազդում:

GCD-ն հանումով գտնելու ալգորիթմ

1. Մեծ թվից հանել փոքր թիվը։
2. Եթե ​​արդյունքը 0 է, նշանակում է, որ թվերը հավասար են միմյանց և GCD են (դուք պետք է դուրս գաք օղակից):
3. Եթե ​​հանման արդյունքը հավասար չէ 0-ի, ապա ավելի մեծ թիվը փոխարինիր հանման արդյունքով։
4. Անցնենք 1-ին կետին:

Օրինակ:
Գտեք gcd 30-ի և 18-ի համար:
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Վերջ. GCD-ն մինուենդ է կամ ենթահող:
GCD (30, 18) = 6

a = 50 b = 130, մինչդեռ a != b: եթե a > b: a = a - b ուրիշը: b = b - a print (a)