Հավասարակողմ եռանկյան միջին գիծը: Ինչպես գտնել եռանկյան միջին գիծը: Եռանկյան հիմնական գծերը

Այն քառանկյունը, որի միայն երկու կողմերն են զուգահեռ, կոչվում է trapezoid.

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են իր պատճառները, և կոչվում են այն կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն կողմերը. Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա նման trapezoid isosceles. Հիմքերի միջև հեռավորությունը կոչվում է տրապեզի բարձրություն:

Միջին գիծ Trapezoid

Միջին գիծը տրապիզոնի կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է։ Trapezoid- ի միջին գիծը զուգահեռ է նրա հիմքերին:

Թեորեմ.

Եթե ​​մի կողմի մեջտեղը հատող ուղիղ գիծը զուգահեռ է տրապիզոնի հիմքերին, ապա այն կիսում է տրապիզոնի երկրորդ կողմը։

Թեորեմ.

Միջին գծի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի երկարությունների միջին թվաբանականին

MN միջին գիծ, ​​AB և CD - հիմքեր, AD և BC - կողային կողմեր

MN = (AB + DC)/2

Թեորեմ.

Trapezoid-ի միջին գծի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի երկարությունների միջին թվաբանականին:

Հիմնական խնդիրըԱպացուցեք, որ տրապեզի միջին գիծը կիսում է հատվածը, որի ծայրերը գտնվում են տրապիզոնի հիմքերի մեջտեղում:

Եռանկյունու միջին գիծ

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ։ Այն զուգահեռ է երրորդ կողմին և նրա երկարությունը հավասար է երրորդ կողմի երկարության կեսին։
ԹեորեմԵթե ​​եռանկյան մի կողմի միջնակետը հատող ուղիղը զուգահեռ է մյուս կողմին տրված եռանկյունին, ապա երրորդ կողմը կիսում է կիսով չափ։

AM = MC և BN = NC =>

Եռանկյունի և տրապիզոիդների միջնագծի հատկությունների կիրառում

Հատվածի բաժանումը որոշակի թվով հավասար մասերի:
Առաջադրանք՝ AB հատվածը բաժանել 5 հավասար մասերի:
Լուծում:
Թող p լինի պատահական ճառագայթ, որի սկիզբը A կետն է և որը չի գտնվում AB ուղիղի վրա: Մենք հաջորդաբար մի կողմ ենք դնում 5 հավասար հատված p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Մենք A 5-ը միացնում ենք B-ին և A 4, A 3, A 2 և A 1-ի միջով գծում ենք այնպիսի գծեր, որոնք զուգահեռ են A 5 B-ին: Նրանք հատում են համապատասխանաբար AB-ն B 4, B 3, B 2 և B 1 կետերում: Այս կետերը AB հատվածը բաժանում են 5 հավասար մասերի։ Իսկապես, BB 3 A 3 A 5 trapezoid-ից տեսնում ենք, որ BB 4 = B 4 B 3: Նույն կերպ, B 4 B 2 A 2 A 4 trapezoid- ից մենք ստանում ենք B 4 B 3 = B 3 B 2:

Մինչ trapezoid-ից B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1:
Այնուհետև B 2 AA 2-ից հետևում է, որ B 2 B 1 = B 1 A. Եզրակացությամբ մենք ստանում ենք.
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Հասկանալի է, որ AB հատվածը մեկ այլ թվով հավասար մասերի բաժանելու համար մենք պետք է նույնքան հավասար հատվածներ նախագծենք p ճառագայթի վրա։ Եվ հետո շարունակեք վերը նկարագրված ձևով:

Նախքան եռանկյան միջին գիծը գտնելուն անցնելը, պետք է հիշել եռանկյունների նմանության երկրորդ նշանը և ուղիղ գծերի զուգահեռության հատկությունները:

Ինչպես գտնել եռանկյան միջին գիծը - եռանկյունների նմանության երկրորդ նշանը

Նկար 1-ում ներկայացված են երկու եռանկյուններ: ABC եռանկյունը նման է A1B1C1 եռանկյունին: Իսկ հարակից կողմերը համաչափ են, այսինքն՝ AB-ը A1B1-ին է, ինչպես AC-ը՝ A1C1-ին: Այս երկու պայմաններից բխում է եռանկյունների նմանությունը։

Ինչպես գտնել եռանկյան միջին գիծը - գծերի զուգահեռության նշան

Նկար 2-ում ներկայացված են a և b տողերը, հատվածը c: Սա ստեղծում է 8 անկյուն: 1-ին և 5-րդ անկյունները համապատասխան են, եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա համապատասխան անկյուններըհավասար են և հակառակը:

Ինչպես գտնել եռանկյան միջին գիծը

Նկար 3-ում M-ը AB-ի միջինն է, իսկ N-ը AC-ի միջինն է, BC-ն հիմքն է: MN հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ: Թեորեմն ինքնին ասում է. Եռանկյան միջին ուղիղը զուգահեռ է հիմքին և հավասար է նրա կեսին:

Որպեսզի ապացուցենք, որ MN-ը եռանկյան միջնագիծն է, մեզ անհրաժեշտ է եռանկյունների նմանության երկրորդ թեստը և ուղիղների զուգահեռության թեստը։

Եռանկյունը AMN նման է ABC եռանկյունին, ըստ երկրորդ հատկանիշի: Նմանատիպ եռանկյունիներում համապատասխան անկյունները հավասար են, 1-ին անկյունը հավասար է 2-րդ անկյան, և այս անկյունները համապատասխան են, երբ երկու ուղիղ հատվում են լայնակի հետ, հետևաբար, ուղիղները զուգահեռ են, MN-ը զուգահեռ է BC-ին: A անկյունը ընդհանուր է, AM/AB = AN/AC = ½

Այս եռանկյունների նմանության գործակիցը ½ է, հետևում է, որ ½ = MN/BC, MN = ½ մ.թ.ա.



Այսպիսով, մենք գտանք եռանկյան միջին գիծը և ապացուցեցինք եռանկյան միջին գծի թեորեմը, եթե դեռ չեք հասկանում, թե ինչպես գտնել միջին գիծը, դիտեք ստորև ներկայացված տեսանյութը։

Եռանկյան միջին գծի հայեցակարգը

Ներկայացնենք եռանկյունու միջնագծի հասկացությունը։

Սահմանում 1

Սա եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է (նկ. 1):

Նկար 1. Եռանկյան միջին գիծ

Եռանկյունի միջին գծի թեորեմ

Թեորեմ 1

Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար է կեսին:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի $ABC$ եռանկյուն: $MN$-ը միջին գիծն է (ինչպես Նկար 2-ում):

Նկար 2. Թեորեմ 1-ի նկարազարդում

Քանի որ $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, ապա $ABC$ և $MBN$ եռանկյունները նման են ըստ եռանկյունների նմանության երկրորդ չափանիշի. . Միջոցներ

Բացի այդ, հետևում է, որ $\անկյուն A=\անկյուն BMN$, ինչը նշանակում է $MN||AC$:

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան միջին գծի թեորեմի հետևանքները

Հետևություն 1.Եռանկյան միջնամասերը հատվում են մի կետում և բաժանվում են հատման կետով $2:1$ հարաբերությամբ՝ սկսած գագաթից։

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ նրա միջնամասերն են: Քանի որ միջնագծերը բաժանում են կողմերը կիսով չափ: Դիտարկենք $A_1B_1$ միջին գիծը (նկ. 3):

Նկար 3. Եզրակացություն 1-ի նկարազարդում

Թեորեմ 1-ով $AB||A_1B_1$ և $AB=2A_1B_1$, հետևաբար, $\անկյուն ABB_1=\անկյուն BB_1A_1,\ \անկյուն BAA_1=\անկյուն AA_1B_1$: Սա նշանակում է, որ $ABM$ և $A_1B_1M$ եռանկյունները նման են եռանկյունների նմանության առաջին չափանիշի համաձայն։ Հետո

Նմանապես ապացուցված է, որ

Թեորեմն ապացուցված է.

Հետևություն 2.Եռանկյան երեք միջին գծերը բաժանում են այն 4 եռանկյունիների, որոնք նման են սկզբնական եռանկյունին $k=\frac(1)(2)$ նմանության գործակցով։

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունին միջին գծերով $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (նկ. 4)

Նկար 4. Եզրակացություն 2-ի նկարազարդում

Դիտարկենք $A_1B_1C$ եռանկյունը: Քանի որ $A_1B_1$-ը միջին գիծ է, ուրեմն

$C$ անկյունը այս եռանկյունների ընդհանուր անկյունն է: Հետևաբար, $A_1B_1C$ և $ABC$ եռանկյունները նման են $k=\frac(1)(2)$ նմանության գործակից ունեցող եռանկյունների նմանության երկրորդ չափանիշի համաձայն։

Նմանապես, ապացուցված է, որ $A_1C_1B$ և $ABC$ եռանկյունները և $C_1B_1A$ և $ABC$ եռանկյունները նման են $k=\frac(1)(2)$ նմանության գործակցով:

Դիտարկենք $A_1B_1C_1$ եռանկյունը: Քանի որ $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$-ը եռանկյան միջին գծերն են, ապա

Հետևաբար, ըստ եռանկյունների նմանության երրորդ չափանիշի, $A_1B_1C_1$ և $ABC$ եռանկյունները նման են $k=\frac(1)(2)$ նմանության գործակցով։

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան միջին գծի հայեցակարգի վերաբերյալ խնդիրների օրինակներ

Օրինակ 1

Տրված է $16$ սմ, $10$ սմ և $14$սմ եռանկյունի, որի գագաթները գտնվում են տվյալ եռանկյան կողմերի միջնակետերում:

Լուծում.

Քանի որ ցանկալի եռանկյան գագաթները գտնվում են տվյալ եռանկյան կողմերի միջնակետերում, ապա նրա կողմերը սկզբնական եռանկյան միջին գծերն են։ Եզրակացություն 2-ով մենք գտնում ենք, որ ցանկալի եռանկյունու կողմերը հավասար են $8$ սմ, $5$ սմ և $7$ սմ:

Պատասխան.$20$ տես

Օրինակ 2

Տրվում է $ABC$ եռանկյուն: $N\ և\ M$ կետերը համապատասխանաբար $BC$ և $AB$ կողմերի միջնակետերն են (նկ. 5):

Նկար 5.

Եռանկյան պարագիծը $BMN=14$ սմ Գտեք $ABC$ եռանկյան պարագիծը։

Լուծում.

Քանի որ $N\ և\ M$-ը $BC$ և $AB$ կողմերի միջնակետերն են, ապա $MN$-ը միջին գիծն է: Միջոցներ

Թեորեմ 1-ով $AC=2MN$: Մենք ստանում ենք.

Եռանկյան միջին գիծ

Հատկություններ

• Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է երրորդ կողմին և հավասար է կեսին։
• երբ բոլոր երեք միջին գծերը գծվում են, ձևավորվում է 4 հավասար եռանկյունի, որը նման է (նույնիսկ հոմոթետիկ) սկզբնականին 1/2 գործակցով։
• միջին գիծը կտրում է եռանկյունին, որը նման է այսին, և դրա մակերեսը հավասար է սկզբնական եռանկյունու տարածքի մեկ քառորդին:

Քառանկյան միջնագիծ

Քառանկյան միջնագիծ- քառանկյունի հակառակ կողմերի միջնակետերը միացնող հատված:

Հատկություններ

Առաջին գիծը միացնում է 2 հակառակ կողմերը։ Երկրորդը միացնում է մյուս 2 հակադիր կողմերը։ Երրորդը միացնում է երկու անկյունագծերի կենտրոնները (ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն հատվող կենտրոններ)

• Եթե ​​ուռուցիկ քառանկյունում միջին գիծը քառանկյան անկյունագծերի հետ հավասար անկյուններ է կազմում, ապա անկյունագծերը հավասար են։
• Քառանկյան միջին գծի երկարությունը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարի կեսից կամ հավասար է դրան, եթե այս կողմերը զուգահեռ են և միայն այս դեպքում։
• Կամայական քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներն են: Նրա մակերեսը հավասար է քառանկյունի տարածքի կեսին, իսկ կենտրոնը գտնվում է միջին գծերի հատման կետում։ Այս զուգահեռագիծը կոչվում է Varignon զուգահեռագիծ;
• Քառանկյան միջին գծերի հատման կետը նրանց ընդհանուր միջնակետն է և կիսում է անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը։ Բացի այդ, այն քառանկյունի գագաթների կենտրոնն է։
• Կամայական քառանկյունում միջին գծի վեկտորը հավասար է հիմքերի վեկտորների գումարի կեսին։

Trapezoid-ի միջին գիծ

Trapezoid-ի միջին գիծ- այս trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը միացնող հատված: Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է տրապեզի երկրորդ միջնագիծ։

Հատկություններ

• միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին։

տես նաեւ

Նշումներ

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ է «միջին գիծը» այլ բառարաններում.

ՄԻՋԻՆ ԳԻԾ- (1) trapezoid հատված, որը կապում է trapezoid-ի կողային կողմերի միջնակետերը: Trapezoid-ի միջին գիծը զուգահեռ է նրա հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին. (2) եռանկյան, այս եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված. երրորդ կողմը... ... Մեծ պոլիտեխնիկական հանրագիտարան

Եռանկյունը (տրապեզոիդ) եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերն իրար միացնող հատված է... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

միջին գիծ- 24 կենտրոնական գիծ. Թելի պրոֆիլի միջով անցնող երևակայական գիծ, ​​որպեսզի ուսի հաստությունը հավասար լինի ակոսի լայնությանը: Աղբյուր… Նորմատիվային և տեխնիկական փաստաթղթերի տերմինների բառարան-տեղեկատու

Եռանկյուն (տրապիզոիդ), եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը (տրապեզոիդ) միացնող հատված։ * * * ՄԻՋԻՆ ԳԻԾ Եռանկյան (տրապեզոիդ) ՄԻՋԻՆ ԳԻԾ, եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված (տրապեզի կողային կողմերը) ... Հանրագիտարանային բառարան

միջին գիծ- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 մմ linija, dalijanti teniso դարձել paviršių išilgai pusiau: ատիտիկմենիս՝ անգլ. կենտրոնական գիծ; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. միջին գիծ...Sporto terminų žodynas

միջին գիծ- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. ատիտիկմենիս՝ անգլ. կենտրոնական գիծ; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. միջին գիծ...Sporto terminų žodynas

միջին գիծ- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. ատիտիկմենիս՝ անգլ. կենտրոնական գիծ; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. միջին գիծ...Sporto terminų žodynas

1) Ս.լ. եռանկյուն, եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված (երրորդ կողմը կոչվում է հիմք)։ Ս.լ. եռանկյունը զուգահեռ է հիմքին և հավասար է դրա կեսին. եռանկյան այն մասերի տարածքը, որոնց մեջ c-ն այն բաժանում է. լ., ... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Եռանկյան մի հատված, որը միացնում է եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը: Եռանկյան երրորդ կողմը կոչվում է եռանկյունու հիմքը. Ս.լ. Եռանկյունը զուգահեռ է հիմքին և հավասար է նրա երկարության կեսին: Ցանկացած եռանկյունում S. l. կտրվում է...... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Եռանկյուն (տրապեզոիդ), եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը (տրապեզոիդի կողմերը) միացնող հատված... Բնական գիտություն։ Հանրագիտարանային բառարան

Գրքեր

• Գնդիկավոր գրիչ «Jotter Luxe K177 West M» (կապույտ) (1953203), . Գնդիկավոր գրիչ նվերների տուփի մեջ։ Նամակի գույնը՝ կապույտ։ Գիծ՝ միջին: Արտադրված է Ֆրանսիայում...

միջին գիծֆիգուրներ պլանաչափության մեջ - տվյալ պատկերի երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված: Հայեցակարգն օգտագործվում է հետևյալ պատկերների համար՝ եռանկյուն, քառանկյուն, տրապիզոիդ:

Հանրագիտարան YouTube

1 / 3

✪ 8-րդ դասարան, դաս 25, Եռանկյան միջին գիծ

✪ երկրաչափություն ԵՌԱՆԿՅՈՒՆԻ ՄԻՋԻՆ ԳԻԾ Աթանասյան 8-րդ դաս

✪ Եռանկյան միջին գիծ | Երկրաչափություն 7-9 դասարան #62 | Տեղեկատվական դաս

սուբտիտրեր

Եռանկյան միջին գիծ

Հատկություններ

• եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է հիմքին և հավասար է դրա կեսին։
• երբ բոլոր երեք միջին գծերը հատվում են, ձևավորվում է 4 հավասար եռանկյունի, որոնք նման են (նույնիսկ հոմոթետիկ) սկզբնականին՝ 1/2 գործակցով։
• միջին գիծը կտրում է եռանկյունին, որը նման է այս եռանկյունին, և դրա մակերեսը հավասար է սկզբնական եռանկյունու մակերեսի մեկ չորրորդին:
• Եռանկյան երեք միջին գծերը այն բաժանում են 4 հավասար (նույնական) եռանկյունների, որոնք նման են սկզբնական եռանկյունին։ Բոլոր 4 նման միանման եռանկյունները կոչվում են միջանկյալ եռանկյուններ։ Այս 4 միանման եռանկյուններից կենտրոնականը կոչվում է փոխլրացնող եռանկյուն:

Նշաններ

• եթե հատվածը զուգահեռ է եռանկյան կողմերից մեկին և միացնում է եռանկյան մի կողմի միջնակետը եռանկյան մյուս կողմում գտնվող կետին, ապա սա միջնագիծն է:

Քառանկյան միջնագիծ

Քառանկյան միջնագիծ- քառանկյունի հակառակ կողմերի միջնակետերը միացնող հատված:

Հատկություններ

Առաջին գիծը միացնում է 2 հակառակ կողմերը։ Երկրորդը միացնում է մյուս 2 հակադիր կողմերը։ Երրորդը միացնում է երկու անկյունագծերի կենտրոնները (ոչ բոլոր քառանկյունների մեջ անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են հատման կետում)։

• Եթե ​​ուռուցիկ քառանկյունում միջին գիծը քառանկյան անկյունագծերի հետ հավասար անկյուններ է կազմում, ապա անկյունագծերը հավասար են։
• Քառանկյան միջին գծի երկարությունը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարի կեսից կամ հավասար է դրան, եթե այս կողմերը զուգահեռ են և միայն այս դեպքում։
• Կամայական քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներն են: Նրա մակերեսը հավասար է քառանկյունի տարածքի կեսին, իսկ կենտրոնը գտնվում է միջին գծերի հատման կետում։ Այս զուգահեռագիծը կոչվում է Վարինյոնի զուգահեռագիծ;
• Վերջին կետը նշանակում է հետևյալը. Ուռուցիկ քառանկյունում կարող եք նկարել չորս երկրորդ տեսակի միջնագիծ. Երկրորդ տեսակի միջնագիծ- քառանկյան ներսում գտնվող չորս հատվածներ, որոնք անցնում են նրա հարակից կողմերի միջնակետերով՝ զուգահեռ անկյունագծերին: Չորս երկրորդ տեսակի միջնագիծուռուցիկ քառանկյունից կտրեք այն չորս եռանկյունի և մեկ կենտրոնական քառանկյուն: Այս կենտրոնական քառանկյունը Varignon զուգահեռագիծ է։
• Քառանկյան միջին գծերի հատման կետը նրանց ընդհանուր միջնակետն է և կիսում է անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը։ Ավելին, նա է