Որոշումդա արեք հաշվիչի միջոցով:
Տրված են եռանկյան կոորդինատները՝ A(2,1), B(1,-2), C(-1,0):
1) վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորների կոորդինատները հայտնաբերվում են բանաձևով.
X = x j - x i; Y = y j - y i

Օրինակ՝ AB վեկտորի համար

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB (-1;-3)
AC (-3;-1)
մ.թ.ա.(-2;2)
2) վեկտորների մոդուլներ

3) Անկյուն ուղիղ գծերի միջև
a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) վեկտորների միջև անկյունը կարելի է գտնել բանաձևով.

որտեղ a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Գտեք անկյունը AB և AC կողմերի միջև

γ = arccos (0.6) = 53.13 0
4) վեկտորային պրոյեկցիա
Վեկտորային պրոյեկցիա բմեկ վեկտորի համար ակարելի է գտնել բանաձևով.

Գտե՛ք AB վեկտորի պրոյեկցիան AC վեկտորի վրա

5) եռանկյան մակերեսը



Որոշում


Բանաձևի համաձայն մենք ստանում ենք.

6) հատվածի բաժանումն այս առումով
A կետի r շառավիղի վեկտորը, որը բաժանում է AB հատվածը AA:AB = m 1:m 2-ի նկատմամբ, որոշվում է բանաձևով.

Ա կետի կոորդինատները հայտնաբերվում են բանաձևերով.




Եռանկյունի միջին հավասարում
BC կողմի միջնակետը նշում ենք M տառով, այնուհետև M կետի կոորդինատները գտնում ենք հատվածը կիսով չափ բաժանելու բանաձևերով:


M(0;-1)
Մենք գտնում ենք միջին AM-ի հավասարումը, օգտագործելով երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարման բանաձևը: Միջին AM-ն անցնում է A(2;1) և M(0;-1) կետերով, հետևաբար.

կամ

կամ
y=x-1 կամ y-x+1=0
7) Ուղիղ գծի հավասարում


AB տողի հավասարումը

կամ

կամ
y = 3x -5 կամ y -3x +5 = 0
Գծային AC հավասարում

կամ

կամ
y = 1 / 3 x + 1 / 3 կամ 3y -x - 1 = 0
Line BC հավասարումը

կամ

կամ
y = -x -1 կամ y + x +1 = 0
8) Ա գագաթից գծված եռանկյան բարձրության երկարությունը
D հեռավորությունը M 1 կետից (x 1; y 1) մինչև ուղիղ գիծ Ax + By + C \u003d 0 հավասար է քանակի բացարձակ արժեքին.

Գտե՛ք հեռավորությունը A(2;1) կետի և BC ուղղի միջև (y + x +1 = 0)

9) Բարձրության հավասարումը C գագաթով
M 0 (x 0 ;y 0) կետով անցնող և Ax + By + C = 0 ուղղին ուղղահայաց ուղիղը ունի ուղղության վեկտոր (A;B) և, հետևաբար, ներկայացված է հավասարումներով.


Այս հավասարումը կարելի է գտնել նաև այլ կերպ. Դա անելու համար մենք գտնում ենք AB ուղիղ գծի k 1 թեքությունը:
AB հավասարումը՝ y = 3x -5, այսինքն. k 1 = 3
Երկու ուղիղ գծերի ուղղահայացության պայմանից գտենք ուղղանկյան k թեքությունը՝ k 1 *k = -1։
Փոխարինելով k 1-ի փոխարեն այս ուղիղ գծի թեքությունը՝ ստանում ենք.
3k = -1, որտեղից k = -1 / 3
Քանի որ ուղղահայացն անցնում է C(-1,0) կետով և ունի k = -1 / 3, մենք դրա հավասարումը կփնտրենք ձևով՝ y-y 0 = k(x-x 0):
Փոխարինելով x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 մենք ստանում ենք.
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
կամ
y = -1 / 3 x - 1 / 3
Եռանկյունի բիսեկտորի հավասարումը
Գտնենք A անկյան կիսորդը, BC կողմի հետ կիսադիրի հատման կետը նշանակենք M-ով:
Եկեք օգտագործենք բանաձևը.

AB հավասարում` y -3x +5 = 0, AC հավասարում` 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Բիսեկտորը կիսում է անկյունը, հետևաբար, անկյունը NAK ≈ 26,5 0
AB թեքության շոշափողը 3 է (որովհետև y -3x +5 = 0): Թեքության անկյունը 72 է
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg (45,5 0) = 1
Բիսեկտորն անցնում է A(2,1) կետով, օգտագործելով բանաձևը, ունենք.
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
կամ
y=x-1
Բեռնել

Օրինակ. Տրված են ABC եռանկյան գագաթների կոորդինատները՝ A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2):
Պահանջվում է՝ 1) հաշվարկել BC կողմի երկարությունը; 2) կազմել BC կողմի հավասարում. 3) գտնել եռանկյան ներքին անկյունը B գագաթին. 4) A-ի վերևից գծված ԱԿ-ի բարձրության հավասարում. 5) գտնել միատարր եռանկյան ծանրության կենտրոնի կոորդինատները (դրա միջնամասերի հատման կետը). 6) գծագրել կոորդինատային համակարգում.

Զորավարժություններ. Տրվում են ABC եռանկյան գագաթների կոորդինատները՝ A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16): Պահանջվում է:

1. B գագաթից վերցված մեդիանայի հավասարումը գրի՛ր և հաշվի՛ր դրա երկարությունը:
2. գրել A գագաթից գծված բարձրության հավասարումը և հաշվարկել դրա երկարությունը:
3. գտե՛ք ABC եռանկյան B ներքին անկյան կոսինուսը:

Օրինակ #3. Տրված են եռանկյան A(1;1), B(7;4), C(4;5) գագաթները։ Գտե՛ք՝ 1) AB կողմի երկարությունը; 2) ներքին A անկյունը ռադիաններով 0,001 ճշտությամբ. Կատարեք նկարչություն:
Բեռնել

Օրինակ #4. Տրված են եռանկյան A(1;1), B(7;4), C(4;5) գագաթները։ Գտե՛ք՝ 1) C գագաթով գծված բարձրության հավասարումը. 2) C գագաթով գծված միջինի հավասարումը. 3) եռանկյան բարձրությունների հատման կետը. 4) C գագաթից իջեցված բարձրության երկարությունը: Կատարեք գծանկար:
Բեռնել

Օրինակ #5. Տրված են ABC եռանկյան գագաթները՝ A(-5;0), B(7;-9), C(11;13): Որոշեք՝ 1) AB կողմի երկարությունը. 2) AB և AC կողմերի և դրանց թեքությունների հավասարումը. 3) եռանկյան մակերեսը.

Վեկտորների կոորդինատները գտնում ենք բանաձեւով՝ X = x j - x i ; Y = y j - y i
այստեղ X, Y կոորդինատներըվեկտոր; x i, y i - A i կետի կոորդինատները; x j, y j - A j կետի կոորդինատները
Օրինակ՝ AB վեկտորի համար
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22):

Զորավարժություններ. Հաշվի առնելով ABCD բուրգի գագաթների կոորդինատները: Պահանջվում է:

1. Գրեք վեկտորները ort համակարգում և գտեք այս վեկտորների մոդուլները:
2. Գտեք վեկտորների միջև եղած անկյունը:
3. Գտեք վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա:
4. Գտեք դեմքի տարածքը ABC:
5. Գտե՛ք ABCD բուրգի ծավալը:

Զորավարժություններ. Գտեք սուր անկյունը x + y -5 = 0 և x + 4y - 8 = 0 ուղիղների միջև:
Առաջարկություններ լուծման համար. Խնդիրը լուծվում է երկու տողերի միջև անկյունային ծառայության միջոցով:
Պատասխանել 30.96o

Օրինակ #1. Տրված են A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) կետերի կոորդինատները. Գտեք A1A2 եզրի երկարությունը: Գրի՛ր A1A4 եզրի և A1A2A3 երեսի հավասարումը: Գրի՛ր A4 կետից A1A2A3 հարթություն իջած բարձրության հավասարումը: Գտեք A1A2A3 եռանկյան մակերեսը: Գտեք A1A2A3A4 եռանկյուն բուրգի ծավալը:

Վեկտորների կոորդինատները գտնում ենք բանաձեւով՝ X = x j - x i ; Y = y j - y i; Z = z j - z i
այստեղ X, Y, Z կոորդինատներըվեկտոր; x i, y i, z i - A i կետի կոորդինատները; x j, y j, z j - A j կետի կոորդինատները;
Այսպիսով, A 1 A 2 վեկտորի համար դրանք կլինեն հետևյալը.
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
a(X;Y;Z) վեկտորի երկարությունը արտահայտվում է նրա կոորդինատներով բանաձևով.

Առաջադրանք 1. Տրված են ABC եռանկյան գագաթների կոորդինատները՝ A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16): Գտե՛ք՝ 1) AB կողմի երկարությունը; 2) AB և BC կողմերի և դրանց թեքությունների հավասարումները. 3) B անկյունը ռադիաններով՝ երկու տասնորդական թվերի ճշգրտությամբ. 4) բարձրության CD-ի և դրա երկարության հավասարումը. 5) միջին AE-ի հավասարումը և այս մեդիանայի K կետի հատման կետը CD բարձրության հետ. 6) AB կողմին զուգահեռ K կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. 7) M կետի կոորդինատները, որոնք սիմետրիկորեն տեղակայված են A կետի նկատմամբ ուղիղ CD-ի նկատմամբ.

Որոշում:

1. A(x 1,y 1) և B(x2,y 2) կետերի միջև հեռավորությունը d որոշվում է բանաձևով.

Կիրառելով (1)՝ մենք գտնում ենք AB կողմի երկարությունը.

2. A (x 1, y 1) և B (x 2, y 2) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև.

(2)

(2)-ում փոխարինելով A և B կետերի կոորդինատները՝ ստանում ենք AB կողմի հավասարումը.

Լուծելով y-ի վերջին հավասարումը, մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարման տեսքով.

որտեղ

(2)-ում փոխարինելով B և C կետերի կոորդինատները՝ ստանում ենք BC ուղիղ գծի հավասարումը.

Կամ

3. Հայտնի է, որ երկու ուղիղների միջև անկյան շոշափողը, որոնց անկյունային գործակիցները համապատասխանաբար հավասար են և հաշվարկվում է բանաձևով.

(3)

Ցանկալի B անկյունը ձևավորվում է AB և BC ուղիղ գծերով, որոնց անկյունային գործակիցները գտնված են. Կիրառելով (3)՝ ստանում ենք.

Կամ ուրախ:

4. Տրված ուղղությամբ տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև

(4)

CD բարձրությունը ուղղահայաց է AB կողմին: Բարձրության CD-ի թեքությունը գտնելու համար օգտագործում ենք գծերի ուղղահայացության պայմանը։ Այդ ժամանակվանից Փոխարինելով (4) C կետի կոորդինատները և գտնված բարձրության անկյունային գործակիցը, ստանում ենք

Բարձրության CD երկարությունը գտնելու համար նախ որոշում ենք D կետի կոորդինատները՝ AB և CD ուղիղների հատման կետը։ Համակարգի լուծումը միասին.

գտնել դրանք. D(8;0):

Օգտագործելով բանաձևը (1), մենք գտնում ենք բարձրության CD երկարությունը.

5. Միջին AE-ի հավասարումը գտնելու համար նախ որոշում ենք E կետի կոորդինատները, որը BC կողմի միջնակետն է՝ օգտագործելով հատվածը երկու հավասար մասերի բաժանելու բանաձեւերը.

(5)

Հետևաբար,

(2)-ում փոխարինելով A և E կետերի կոորդինատները՝ գտնում ենք միջին հավասարումը.

Բարձրության CD-ի և միջին AE-ի հատման կետի կոորդինատները գտնելու համար համատեղ լուծում ենք հավասարումների համակարգը.

Մենք գտնում ենք.

6. Քանի որ ցանկալի ուղիղը զուգահեռ է AB կողմին, ապա դրա թեքությունը հավասար կլինի անկյունային գործակիցուղիղ AB. (4)-ում փոխարինելով K կետի կոորդինատները և թեքությունը՝ ստանում ենք

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Քանի որ AB ուղիղը ուղղահայաց է CD ուղղին, ապա ցանկալի M կետը, որը սիմետրիկորեն տեղակայված է A կետի նկատմամբ CD ուղղի նկատմամբ, գտնվում է AB ուղղի վրա: Բացի այդ, D կետը AM հատվածի միջնակետն է: Կիրառելով բանաձևերը (5), մենք գտնում ենք M կետի ցանկալի կոորդինատները.

Եռանկյունը ABC, բարձրության CD, միջին AE, ուղիղ KF և M կետը կառուցված են xOy կոորդինատային համակարգում նկ. մեկ.

Առաջադրանք 2. Կազմեք հավասարում կետերի տեղանքի համար, որոնց հեռավորությունների հարաբերությունը տվյալ կետին A (4; 0) և տրված x \u003d 1 ուղիղ գծին հավասար է 2-ի:

Որոշում:

xOy կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք A(4;0) կետը և ուղիղ x = 1: Թող M(x;y) լինի ցանկալի կետերի կամայական կետ: Թողնենք ուղղահայաց ՄԲ-ը տրված x = 1 ուղղին և որոշենք B կետի կոորդինատները: Քանի որ B կետը գտնվում է տվյալ ուղիղի վրա, դրա աբսցիսան հավասար է 1-ի: B կետի օրդինատը հավասար է օրդինատին: կետի M. Հետևաբար, B(1; y) (նկ. 2):

Խնդրի պայմանով |ՄԱ|: |ՄՎ| = 2. Հեռավորություններ |MA| եւ |ՄԲ| 1-ի խնդրի (1) բանաձևով մենք գտնում ենք.

Ձախ և աջ կողմերը քառակուսի դնելով մենք ստանում ենք

կամ

Ստացված հավասարումը հիպերբոլա է, որի իրական կիսաառանցքը a = 2 է, իսկ երևակայականը՝

Եկեք սահմանենք հիպերբոլայի օջախները: Հիպերբոլայի համար հավասարությունը բավարարված է, հետևաբար և հիպերբոլայի օջախներն են։ Ինչպես տեսնում եք, տրված A(4;0) կետը հիպերբոլայի ճիշտ կիզակետն է:

Եկեք որոշենք ստացված հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը.

Հիպերբոլայի ասիմպտոտային հավասարումները ունեն ձև և . Հետևաբար, կամ և հիպերբոլայի ասիմպտոտներ են: Հիպերբոլա կառուցելուց առաջ մենք կառուցում ենք նրա ասիմպտոտները:

Առաջադրանք 3. Կազմե՛ք A (4; 3) կետից և y ուղիղ գծից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղանքի հավասարումը: Ստացված հավասարումը հասցրե՛ք ամենապարզ ձևին:

Որոշում:Թող M(x; y) լինի ցանկալի կետերի կետերից մեկը: Ուղղահայաց ՄԲ-ը M կետից գցենք տրված y = 1 ուղիղ (նկ. 3): Որոշենք B կետի կոորդինատները: Ակնհայտ է, որ B կետի աբսցիսան հավասար է M կետի աբսցիսային, իսկ B կետի օրդինատը 1 է, այսինքն՝ B (x; 1): Խնդրի պայմանով |ՄԱ|=|ՄՎ|. Հետևաբար, ցանկացած M (x; y) կետի համար, որը պատկանում է ցանկալի կետերին, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Ստացված հավասարումը սահմանում է պարաբոլա գագաթով մի կետում Որպեսզի պարաբոլայի հավասարումը հասցնենք ամենապարզ ձևին, մենք սահմանում ենք և y + 2 = Y, ապա պարաբոլայի հավասարումը ստանում է ձևը.

Ինչպե՞ս սովորել լուծել խնդիրներ վերլուծական երկրաչափության մեջ:
Ինքնաթիռի վրա եռանկյունու տիպիկ խնդիր

Այս դասը ստեղծվել է հարթության երկրաչափության և տարածության երկրաչափության միջև հասարակածին մոտեցման վերաբերյալ: Այս պահին կուտակված տեղեկատվությունը համակարգելու և շատ կարևոր հարցի պատասխան տալու անհրաժեշտություն կա. Ինչպե՞ս սովորել լուծել վերլուծական երկրաչափության խնդիրները:Դժվարությունը կայանում է նրանում, որ երկրաչափության մեջ կան անսահման թվով խնդիրներ, և ոչ մի դասագիրք չի կարող պարունակել բազմաթիվ ու բազմազան օրինակներ: Չէ ֆունկցիայի ածանցյալ տարբերակման հինգ կանոններով, աղյուսակով և մի քանի տեխնիկայով…

Կա լուծում! Ես ամպագոռգոռ խոսքեր չեմ ասի, որ ես մշակել եմ ինչ-որ վիթխարի տեխնիկա, այնուամենայնիվ, իմ կարծիքով, կա արդյունավետ մոտեցում դիտարկվող խնդրին, որը թույլ է տալիս նույնիսկ լիարժեք թեյնիկին հասնել լավ և գերազանց արդյունքների: Գոնե իմ գլխում շատ հստակ ձևավորվեց երկրաչափական խնդիրների լուծման ընդհանուր ալգորիթմը։

ԻՆՉ ՊԵՏՔ Է ԻՄԱՆԱԼ ԵՎ ԿԱՐՈՂԱՆՔ
հաջողությամբ լուծել երկրաչափության խնդիրները:

Դրանից խուսափել չկա. որպեսզի պատահականորեն կոճակները քթով չխոթեք, դուք պետք է տիրապետեք վերլուծական երկրաչափության հիմունքներին: Հետևաբար, եթե նոր եք սկսել երկրաչափություն ուսումնասիրել կամ ամբողջովին մոռացել եք այն, խնդրում ենք սկսել դասից. Վեկտորներ կեղծամների համար . Բացի վեկտորներից և դրանց հետ գործողություններից, դուք պետք է իմանաք հարթության երկրաչափության հիմնական հասկացությունները, մասնավորապես. հարթության ուղիղ գծի հավասարումը եւ . Տարածության երկրաչափությունը ներկայացված է հոդվածներով Հարթության հավասարում , Ուղիղ գծի հավասարումներ տարածության մեջ , Հիմնական առաջադրանքներ ուղիղ գծի և հարթության վրաև մի քանի այլ դասեր: Երկրորդ կարգի կոր գծերը և տարածական մակերեսները որոշ չափով իրարից հեռու են, և դրանց հետ կապված այնքան էլ առանձնահատուկ խնդիրներ չկան:

Ենթադրենք, ուսանողն արդեն ունի տարրական գիտելիքներ և հմտություններ վերլուծական երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները լուծելու համար: Բայց դա տեղի է ունենում այսպես՝ կարդում ես խնդրի պայմանը, և ... ուզում ես ընդհանրապես փակել այն, նետել այն հեռավոր անկյունը և մոռանալ այն, ինչպես մղձավանջի: Ավելին, սա սկզբունքորեն կախված չէ ձեր որակավորումների մակարդակից, ես ինքս ժամանակ առ ժամանակ հանդիպում եմ այնպիսի խնդիրների, որոնց լուծումն ակնհայտ չէ։ Ինչպե՞ս վարվել նման դեպքերում: Պետք չէ վախենալ մի առաջադրանքից, որը դուք չեք հասկանում:

Նախ եւ առաջ, պետք է սահմանվի դա «պլանա՞ր», թե՞ տարածական խնդիր է։Օրինակ, եթե պայմանում հայտնվում են երկու կոորդինատներով վեկտորներ, ապա, իհարկե, սա հարթության երկրաչափությունն է։ Եվ եթե ուսուցիչը երախտապարտ ունկնդրին բարձել է բուրգով, ապա ակնհայտորեն կա տարածության երկրաչափությունը։ Առաջին քայլի արդյունքներն արդեն բավականին լավ են, քանի որ մեզ հաջողվեց կտրել այս առաջադրանքի համար անհարկի հսկայական տեղեկատվություն:

Երկրորդ. Վիճակը, որպես կանոն, ձեզ կվերաբերի ինչ-որ երկրաչափական պատկերով։ Իսկապես, քայլիր հայրենի համալսարանի միջանցքներով, և կտեսնես շատ անհանգիստ դեմքեր։

«հարթ» խնդիրներում, էլ չեմ խոսում ակնհայտ կետերի ու գծերի մասին, ամենահայտնի գործիչը եռանկյունին է։ Մենք այն շատ մանրամասն կվերլուծենք։ Հաջորդը գալիս է զուգահեռագիծը, իսկ ուղղանկյունը, քառակուսին, ռոմբուսը, շրջանագիծը և այլ թվեր շատ ավելի քիչ տարածված են:

Տարածական առաջադրանքներում՝ նույնը հարթ գործիչներ+ հարթություններն իրենք և ընդհանուր եռանկյունաձև բուրգերը զուգահեռաբարձերով:

Հարց երկրորդ - Դուք ամեն ինչ գիտե՞ք այս գործչի մասին:Ենթադրենք, պայմանը հավասարաչափ եռանկյունու մասին է, և դուք շատ աղոտ հիշում եք, թե ինչպիսի եռանկյունի է դա: Բացում ենք դպրոցական դասագիրք և կարդում հավասարաչափ եռանկյունու մասին: Ի՞նչ անել... բժիշկն ասաց ռոմբուս, ուրեմն ռոմբուս: Անալիտիկ երկրաչափությունը անալիտիկ երկրաչափություն է, բայց խնդիրը կօգնի ինքնուրույն լուծել պատկերների երկրաչափական հատկություններըմեզ հայտնի է դպրոցական ծրագիր. Եթե ​​չգիտեք, թե որքան է եռանկյան անկյունների գումարը, ապա կարող եք երկար տառապել։

Երրորդ. ՄԻՇՏ փորձեք հետևել նախագծին(նախագծի վրա / մաքուր / մտավոր), նույնիսկ եթե դա չի պահանջվում պայմանով: «Տափակ» առաջադրանքներում Էվկլիդեսն ինքը հրամայեց մատիտը ձեռքին քանոն վերցնել, և ոչ միայն վիճակը հասկանալու համար, այլ նաև ինքնաստուգման նպատակով։ Այս դեպքում ամենահարմար սանդղակը 1 միավոր = 1 սմ է (2 տետրադ բջիջ): Եկեք չխոսենք անփույթ ուսանողների և մաթեմատիկոսների մասին, որոնք պտտվում են իրենց գերեզմաններում, նման խնդիրներում սխալվելը գրեթե անհնար է։ Տարածական առաջադրանքների համար մենք կատարում ենք սխեմատիկ գծագրություն, որը կօգնի նաև վերլուծել վիճակը։

Գծանկարը կամ սխեմատիկ գծագիրը հաճախ անմիջապես թույլ է տալիս տեսնել խնդրի լուծման ճանապարհը: Իհարկե, դրա համար անհրաժեշտ է իմանալ երկրաչափության հիմքը և կտրել հատկությունները երկրաչափական ձևեր(տե՛ս նախորդ պարբերությունը):

չորրորդ. Լուծման ալգորիթմի մշակում. Երկրաչափության շատ խնդիրներ բազմակողմ են, ուստի շատ հարմար է լուծումը և դրա ձևավորումը բաժանել կետերի: Հաճախ պայմանը կարդալուց կամ գծագիրն ավարտելուց հետո ալգորիթմն անմիջապես գալիս է ձեր մտքին: Դժվարությունների դեպքում սկսում ենք խնդրի ՀԱՐՑից. Օրինակ՝ «պահանջվում է ուղիղ գիծ կառուցել ...» պայմանի համաձայն։ Այստեղ ամենատրամաբանական հարցն է. «Ի՞նչն է բավական իմանալ այս գիծը կառուցելու համար»: Ենթադրենք, «մենք գիտենք կետը, մենք պետք է իմանանք ուղղության վեկտորը»: Մենք տալիս ենք հետևյալ հարցը. «Ինչպե՞ս գտնել այս ուղղության վեկտորը: որտե՞ղ։ և այլն:

Երբեմն լինում է «խրոց»՝ խնդիրը չի լուծվում ու վերջ։ Խցանման պատճառները կարող են լինել հետևյալը.

- Տարրական գիտելիքների լուրջ բաց. Այսինքն՝ դու չգիտես կամ (և) չես տեսնում մի շատ պարզ բան։

- Երկրաչափական պատկերների հատկությունների անտեղյակություն.

- Առաջադրանքը բարդ էր. Այո, դա տեղի է ունենում: Ժամերով շոգեխաշելն ու արցունքները թաշկինակում հավաքելն իմաստ չունի։ Խորհրդատվության համար հարցրեք ձեր ուսուցչին, համակուրսեցիներին կամ հարցեր տվեք ֆորումում: Ավելին, ավելի լավ է նրա հայտարարությունը կոնկրետացնել՝ լուծման այն հատվածի մասին, որը դուք չեք հասկանում։ Լաց՝ «Ինչպե՞ս լուծել խնդիրը» տեսքով։ լավ տեսք չունի... և ամենակարևորը՝ սեփական հեղինակության համար:

Փուլ հինգ. Լուծում-ստուգում ենք, լուծում-ստուգում, լուծում-ստուգում-պատասխանում ենք։ Շահավետ է ստուգել առաջադրանքի յուրաքանչյուր կետ այն կատարելուց անմիջապես հետո. Սա կօգնի ձեզ անմիջապես գտնել սխալը: Բնականաբար, ոչ ոք չի արգելում արագ լուծել ամբողջ խնդիրը, բայց ամեն ինչ նորից վերաշարադրելու վտանգ կա (հաճախ մի քանի էջ):

Ահա, թերեւս, բոլոր այն հիմնական նկատառումները, որոնցով նպատակահարմար է առաջնորդվել խնդիրներ լուծելիս։

Դասի գործնական մասը ներկայացված է երկրաչափությամբ հարթության վրա: Կլինեն ընդամենը երկու օրինակ, բայց դա բավարար չի թվա =)

Եկեք անցնենք ալգորիթմի շարանը, որը ես հենց նոր վերանայեցի իմ փոքրիկ գիտական ​​աշխատանքում.

Օրինակ 1

Տրված են զուգահեռագծի երեք գագաթներ։ Գտեք վերևը:

Եկեք սկսենք պարզել այն.

Քայլ առաջինԱկնհայտ է, որ խոսքը «հարթ» խնդրի մասին է։

քայլ երկուԽնդիրը զուգահեռագծի մասին է: Բոլորը հիշու՞մ են նման զուգահեռագծի պատկեր: Ժպտալ պետք չէ, շատ մարդիկ կրթություն են ստանում 30-40-50 և ավելի տարեկանում, ուստի նույնիսկ պարզ փաստերը կարող են ջնջվել հիշողությունից։ Զուգահեռագծի սահմանումը տրված է դասի 3-րդ օրինակում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմք .

Քայլ երրորդԿատարենք գծանկար, որի վրա նշում ենք երեք հայտնի գագաթներ։ Զվարճալի է, որ հեշտ է անմիջապես կառուցել ցանկալի կետը.

Շինարարությունը, իհարկե, լավ է, բայց լուծումը պետք է ձեւակերպվի վերլուծական ձեւով։

Քայլ չորրորդԼուծման ալգորիթմի մշակում: Առաջին բանը, որ գալիս է մտքին, այն է, որ կետը կարելի է գտնել որպես գծերի հատում: Նրանց հավասարումները մեզ անհայտ են, ուստի մենք պետք է զբաղվենք այս հարցով.

1) Հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Ըստ միավորների գտե՛ք այս կողմերի ուղղության վեկտորը: Սա ամենապարզ խնդիրն է, որը դիտարկվել է դասում։ Վեկտորներ կեղծամների համար .

Նշում: ավելի ճիշտ է ասել «կող պարունակող ուղիղ գծի հավասարում», բայց այսուհետ, հակիրճ լինելու համար, կօգտագործեմ «կողմի հավասարում», «կողմի ուղղորդող վեկտոր» և այլն արտահայտությունները։

3) Հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Կետերից մենք գտնում ենք այս կողմերի ուղղության վեկտորը:

4) Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը կետով և ուղղության վեկտորով

1-2-րդ և 3-4-րդ պարբերություններում մենք փաստացի նույն խնդիրը լուծել ենք երկու անգամ, ի դեպ, դա վերլուծված է դասի թիվ 3 օրինակում. Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները . Կարելի էր գնալ ավելի երկար ճանապարհ՝ նախ գտեք գծերի հավասարումները և միայն այնուհետև դրանցից «հանեք» ուղղության վեկտորները:

5) Այժմ ուղիղների հավասարումները հայտնի են: Մնում է ստեղծել ու լուծել համապատասխան համակարգը գծային հավասարումներ(տե՛ս նույն դասի թիվ 4, 5 օրինակները Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները ).

Կետը գտնվեց:

Խնդիրը բավականին պարզ է, և դրա լուծումն ակնհայտ է, բայց կա ավելի կարճ ճանապարհ։

Լուծելու երկրորդ ճանապարհը:

Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսվում են իրենց հատման կետով: Նշեցի կետը, բայց որպեսզի գծագիրը չխառնվի, ես ինքս չգծեցի անկյունագծերը։

Կազմի՛ր կողմի հավասարումը ըստ կետերի :

Ստուգելու համար մտովի կամ սևագրի վրա փոխարինեք յուրաքանչյուր կետի կոորդինատները ստացված հավասարման մեջ: Հիմա եկեք գտնենք թեքությունը: Դա անելու համար մենք վերագրում ենք ընդհանուր հավասարումը թեքությամբ հավասարման տեսքով.

Այսպիսով, թեքության գործոնը հետևյալն է.

Նմանապես, մենք գտնում ենք կողմերի հավասարումները: Ես շատ իմաստ չեմ տեսնում նույնը նկարելու մեջ, այնպես որ ես անմիջապես կտամ պատրաստի արդյունքը.

2) Գտեք կողմի երկարությունը: Դա դասում քննարկված ամենապարզ խնդիրն է: Վեկտորներ կեղծամների համար . Միավորների համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Օգտագործելով նույն բանաձևը, հեշտ է գտնել մյուս կողմերի երկարությունները: Ստուգումը շատ արագ կատարվում է սովորական քանոնով։

Մենք օգտագործում ենք բանաձևը .

Գտնենք վեկտորները.

Այսպիսով.

Ի դեպ, ճանապարհին գտանք կողքերի երկարությունները։

Որպես արդյունք:

Դե, կարծես թե ճիշտ է, համոզելու համար կարելի է անկյունին անկյունաչափ ամրացնել։

Ուշադրություն. Մի շփոթեք եռանկյան անկյունը ուղիղ գծերի միջև անկյան հետ: Եռանկյան անկյունը կարող է բութ լինել, բայց ուղիղ գծերի միջև անկյունը՝ ոչ (տե՛ս հոդվածի վերջին պարբերությունը Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները ): Սակայն եռանկյան անկյունը գտնելու համար կարելի է օգտագործել նաև վերը նշված դասի բանաձևերը, սակայն կոպտությունն այն է, որ այդ բանաձեւերը միշտ տալիս են սուր անկյուն։ Նրանց օգնությամբ ես սեւագրի վրա լուծեցի այս խնդիրը և ստացա արդյունքը։ Եվ մաքուր օրինակի վրա դուք պետք է գրեք լրացուցիչ արդարացումներ դրա համար:

4) Գրի՛ր ուղիղ գծին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ստանդարտ առաջադրանք՝ մանրամասն քննարկված դասի թիվ 2 օրինակում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները . Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից դուրս քաշեք ուղղության վեկտորը: Կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը կետով և ուղղորդող վեկտորով.

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյունու բարձրությունը:

5) Կազմենք բարձրության հավասարումը և կգտնենք դրա երկարությունը:

Խիստ սահմանումներից փախուստ չկա, ուստի դպրոցական դասագրքից պետք է գողանալ.

եռանկյունի բարձրությունը կոչվում է եռանկյան գագաթից հակառակ կողմը պարունակող ուղղին գծված ուղղահայացը:

Այսինքն՝ անհրաժեշտ է կազմել գագաթից դեպի կողմ գծված ուղղահայաց հավասարումը։ Այս առաջադրանքը դիտարկված է դասի թիվ 6, 7 օրինակներում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները . Հավասարումից հեռացնել նորմալ վեկտորը. Մենք կկազմենք բարձրության հավասարումը կետի և ուղղության վեկտորի համար.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք չգիտենք կետի կոորդինատները:

Երբեմն բարձրության հավասարումը հայտնաբերվում է ուղղահայաց գծերի թեքությունների հարաբերակցությունից. Այս դեպքում, ապա. Մենք կկազմենք բարձրության հավասարումը կետի և թեքության համար (տե՛ս դասի սկիզբը Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա ):

Բարձրության երկարությունը կարելի է գտնել երկու եղանակով.

Կա շրջանաձև ճանապարհ.

ա) գտնել - բարձրության և կողմի հատման կետը.
բ) գտե՛ք հատվածի երկարությունը երկու հայտնի կետերով.

Բայց դասարանում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները Դիտարկվել է կետից գիծ հեռավորության հարմար բանաձև: Կետը հայտնի է՝ , հայտնի է նաև ուղիղի հավասարումը. , Այսպիսով.

6) Հաշվիր եռանկյան մակերեսը. Տիեզերքում եռանկյունու մակերեսը ավանդաբար հաշվարկվում է օգտագործելով վեկտորների խաչաձև արտադրյալ , բայց այստեղ հարթության մեջ տրված է եռանկյուն։ Մենք օգտագործում ենք դպրոցական բանաձևը.
Եռանկյան մակերեսը նրա հիմքի արտադրյալի կեսն է և բարձրությունը:

Այս դեպքում:

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան միջինը:

7) Կազմե՛ք միջինի հավասարումը.

Եռանկյունի միջն Եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի միջնակետին միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում է:

ա) Գտեք կետ՝ կողմի միջնակետը: Մենք օգտագործում ենք միջին կետի կոորդինատների բանաձևեր . Հատվածի ծայրերի կոորդինատները հայտնի են. , ապա միջինի կոորդինատները.

Այսպիսով.

Միջին հավասարումը կազմում ենք կետերով :

Հավասարումը ստուգելու համար անհրաժեշտ է դրա մեջ փոխարինել կետերի կոորդինատները:

8) Գտե՛ք բարձրության և միջնագծի հատման կետը: Կարծում եմ, բոլորն արդեն սովորել են, թե ինչպես կատարել գեղասահքի այս տարրը առանց ընկնելու.