Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей случайной величины Выражение для плотности вероятности
Определение . Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:
F(х) = P(X < x)
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку:
0 ≤ F(х) ≤ 1.
2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть:
если x > x ,
то F(x ) ≥ F(x ).
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале . Вероятность такого события
P (х ≤ X ≤ х + Δх ) = F (х + Δх ) – F (х ),
т.е. равна приращению функции распределения F (х ) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке от х до х + Δх , равна
Переходя к пределу Δх → 0, получим плотность вероятности в точке х :
представляющую производную функции распределения F (х ). Напомним, что для непрерывной случайной величины F (х ) – дифференцируемая функция.
Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения ) f (x ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
f (x ) = F ′(x ). | (4.8) |
Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью f (x ) на определенном участке оси абсцисс.
Плотность вероятности f (x ), как и функция распределения F (x ) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения . График плотности вероятности называется кривой распределения .
Пример 4.4. По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х .
Решение. Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f (x ) = F "(x ).
◄
Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция , т.е.
Геометрически вероятность попадания в интервал [α , β ,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α , β ,] (рис.4.4).
Рис. 4.4 Рис. 4.5
3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле :
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 4.5. Функция f (x ) задана в виде:
Найти: а) значение А ; б) выражение функции распределения F (х ); в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке .
Решение. а) Для того, чтобы f (x ) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х , она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А . С учетом свойства 4 находим:
, откуда А = .
б) Функцию распределения находим, используя свойство 3 :
Если x ≤ 0, то f (x ) = 0 и, следовательно, F (x ) = 0.
Если 0 < x ≤ 2, то f (x ) = х /2 и, следовательно,
Если х > 2, то f (x ) = 0 и, следовательно
в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке находим, используя свойство 2 .
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие . Любая количественная характеристика , которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x =x (w ), w W , такая, что при любом действительном x .
Событие принято записывать в виде x < x . В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x , h , z , …
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I =).
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения .
Если x .- случайная величина, то функция F (x ) = F x (x ) = P (x < x ) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P (x < x ) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x .
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением .
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < x i < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < p i < …, то таблица вида
x 1 | x 2 | … | x i | … |
p 1 | p 2 | … | p i | … |
называется распределением дискретной случайной величины .
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Если функция распределения F x (x ) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема , то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p x (x ), которая связана с функцией распределения F x (x ) формулами
и .
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
При решении практических задач часто требуется найти значение x , при котором функция распределения F x (x ) случайной величины x принимает заданное значение p , т.е. требуется решить уравнение F x (x ) = p . Решения такого уравнения (соответствующие значения x ) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью x p (p -квантилью, квантилью уровня p ) случайной величины , имеющей функцию распределения F x (x ), называют решение x p уравнения F x (x ) = p , p (0, 1). Для некоторых p уравнение F x (x ) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.
Математическое ожиданиеДисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x):
Задана функция распределения F(x):
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть .
Для дискретной случайной величины
M
[X]
=
Для непрерывной случайной величины
Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p i , или плотность распределения f(x) достигает максимума).
Обозначение:
Различают унимодальные распределения (имеют одну моду), полимодальные распределения (имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)
унимодальное
Медиана – это такое значение случайной величины х m , для которого выполняется следующее равенство:
P{X < х m }= P{X > х m }
Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам
Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X], и х m совпадают
М[X], , х m – неслучайные величины