Что такое отрезок. Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная Что обозначает отрезок

Прямая

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).

Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда

Определение 1

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 2

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).

Сравнение отрезков

Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

Длина отрезка

Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти длину следующего отрезка

если следующий отрезок равняется 1

Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:

Ответ: $6$ см.

Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:

Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.

Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.

После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Пример 2

Записать длины следующих отрезков:

Измерим их с помощью линейки:

1. $4$ см.
2. $10$ см.
3. $5$ см.
4. $8$ см.

Слово отрезок мы слышим, как правило, когда речь идет о геометрии или математическом анализе. И в той, и в другой области данное слово обозначает весьма схожие понятия, а именно часть прямой, которая ограничена двумя точками.

Отрезок в быту

Конечно, слово "отрезок" нам приходится слышать не только при обсуждении математических вопросов, применяется оно и в повседневной речи. Так что такое отрезок в бытовом смысле этого слова? Как правило, произнося слово "отрезок", человек имеет в виду кусочек того или иного материала, который нужно от чего-то отрезать. Например, нам может потребоваться отрезок ткани, отрезок скотча, отрезок ленты и много чего еще.

Отрезок в математике

Как мы уже говорили выше, в математике отрезок - это часть прямой, ограниченной двумя точками, однако иногда можно встретить и такой термин - множество чисел или точек на прямой между двумя числами или точками. Он звучит гораздо более научно и сложно, однако, если подумать, и то, и другое определения подразумевают одно и то же.

Другие значения

Слово "отрезок" произносят и тогда, когда хотят обозначить прохождение определенного этапа, например, "отрезок пути" или "отрезок времени". Вам, наверняка, приходилось видеть такие фразы в книгах.

Кроме того, отрезком после отмены крепостного права в России назывались земельные участки, которые захватывали помещики у крестьян.

Вот такие определения у слова "отрезок". Узнавайте значения новых слов в разделе .

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Отрезок. Полные уроки

Отрезок

Отрезком называется часть прямой, которая содержит две разные точки A и B этой прямой (концы отрезка) и все точки прямой, которые лежат между ними (внутренние точки отрезка).

Отрезок прямой - это множество (часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки A и B (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом - . Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок AB». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как |AB|.

Для обозначения отрезка с концами в точках A и B будем использовать символ .

О точке C, принадлежащей отрезку AB, говорят также, что точка C лежит между точками A и B (если C – внутренняя точка отрезка), а также, что отрезок AB содержит точку C.

Свойство отрезка задается аксиомой:

Аксиома:
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. AB = AC + CB.

Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB.
При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
Два отрезка называются равными, если равны их длины.

Отрезок АС=DE, CB=EF иАВ=DF

На рисунке 1 изображена прямая a и 3 точки на этой прямой: A, B, C. Точка B лежит между точками A и C, можно сказать, она разделяет точки A и C. Точки A и C лежат по разные стороны от точки B. Точки B и C расположены по одну сторону от точки A, точки A и B лежат по одну сторону от точки C.

рисунок 1

Отрезок – часть прямой, который состоит из всех точек этой прямой, лежащих между данными точками, которые называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его конечных точек. Когда говорят отрезок AB, т подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

На данном рисунке 2 мы видим отрезок AB, он является частью прямой. Точка X лежит между точками A и B, поэтому она принадлежит отрезку AB, точка Y не лежит между точками A и B, поэтому она не принадлежит отрезку AB.

рисунок 2

Основное свойство расположения точек на прямой – из трех точек на прямой только одна лежит между двумя точками.

Точка А лежит между X и Y.

Точка X разделяет отрезок AB.

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB и BA представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление , то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет - то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора - класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Кроссворд

1. Едет ручка вдоль листа. По линеечке, по краю. Получается черта, называется …
2. Древнегреческий ученый.
3. Результат мгновенного касания.
4. Учебная книга, состоящая из 13 томов, которая в течение многих веков являлась основным руководством по геометрии.
5. Древнегреческий ученый, автор собирательного труда «Начала».
6. Единица измерения длины.
7. Часть прямой, ограниченная двумя точками.
8. Единица измерения длины в Древнем Египте.
9. Древнегреческий математик, доказавший теорему, которая носит его имя.
10. Є математический знак.
11. Раздел геометрии.

Интересный факт:

В геометрии бумагу применяют для того чтобы: писать, рисовать; резать; сгибать. Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным.

Круги на полях – межгалактический язык общения инопланетных разумных существ
Круги на полях... Сколько разных мнений, сколько гаданий, сколько гипотез, но вразумительных объяснений, что это такое, не существует.
Круги на полях... Они завораживают людей своей лаконичной красотой, они раздражают нас непонятливостью происхождения и назначения.

Вопросы:

1) Что такое отрезок?

2) Чему равняется длина отрезка?

3) Разница между отрезком и вектором?

Список использованных источников:

1. Программа для общеобразовательных учреждений. Математика. Министерство образования Российской Федерации.
2. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
3. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Авторы: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
4. Киселев А.П. "Геометрия" (планиметрия, стереометрия)

Отредактировано и выслано Потурнаком С.А.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Одним из понятий геометрии, с которым знакомятся еще в начальной школе, является отрезок. Уйма задач по математике и геометрии строится на понятиях отрезка и прямой.

Понимание, что такое отрезок, поможет решать всевозможные задачи и примеры на уроках математики как в школе, так и в высших учебных заведениях.

Отрезок - это геометрическая фигура

Согласно определению в словаре, отрезком называют часть прямой , ограниченную двумя точками, находящимися на ней. Именно по обозначениям этих точек и дается название отрезка.

На рисунке, изображенном ниже, показан отрезок AB. Точки A и B являются концами отрезка. Длиной отрезка называют расстояние между его концами.

В математике принято обозначать точки, и соответственно отрезки, большими буквами латинского алфавита. Если нужно нарисовать отрезок, чаще всего его изображают без прямой, а лишь от одного конца до другого.

Также можно сказать, что отрезок - это совокупность всех точек , которые лежат на одной прямой и находятся между двумя заданными точками, которые являются концами данного отрезка.

Если на отрезке между его концами отметить еще одну точку, она разделит данный отрезок на два. Длину отрезка АВ можно посчитать, просуммировав длины отрезков АС и СВ.

Разница между отрезком, лучом и прямой

Школьники иногда путают понятия прямой, луча и отрезка. И вправду, эти понятия очень схожи между собой, однако имеют принципиальное различие:

1. Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
2. Луч - это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
3. ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок - в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок - это вектор

Отрезки бывают двух видов:

1. Ненаправленные.
2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА - одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ ➜ и ВА ➜ - разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Направленные отрезки называются векторами . Векторы могут обозначаться как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ ➜ . Модули векторов АВ ➜ и ВА ➜ равны.

Векторы часто рассматривают в системе координат. Модуль вектора равен квадратному корню суммы квадратов координат концов вектора.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия - это множество соединенных отрезков

Ломаная линия состоит из множества отрезков, которые называются ее звеньями. Эти отрезки соединены друг с другом своими концами и не расположены под углом 180°.

Вершинами ломаной являются следующие точки:

1. Точка, с которой началась ломаная.
2. Точка, которой ломаная закончилась.
3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Число вершин ломаной всегда на один больше, чем количество ее звеньев. Обозначается ломаная перечислением всех ее вершин начиная с одного конца и заканчивая другим.

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец - точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой - многоугольником.

Сумма углов многоугольника кратна 180° и вычисляется по следующей формуле 180*(n-2), где n - количество углов или отрезков, составляющих данную фигуру.

Отрезок времени

Интересно, что слово отрезок применимо не только к геометрическим понятиям, но и как временной термин.

Отрезком времени называют период между двумя событиями, датами. Он может измеряться как секундами или минутами, так и годами или даже десятилетиями.

Время в целом в таком случае определяется как временная прямая.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Биссектриса - это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств Радиус - это важнейший элемент окружности Медиана - это золотое сечение треугольника Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой Средняя линия трапеции Прямоугольник - это одна из основ геометрии Диаметр - это золотое сечение окружности Окружность - это базовая фигура геометрии Ромб – между параллелограммом и квадратом Что такое постулат - просто о сложном Что такое тангенс угла и как его найти Длина окружности