Mürəkkəb funksiyanın törəməsini necə tapmaq olar. Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması. Riyaziyyatdan imtahana hazırlaşmaq təcrübəsindən tapşırıq. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun isbatı verilmişdir. Mürəkkəb funksiyanın bir və ya iki dəyişəndən asılı olduğu hallar ətraflı nəzərdən keçirilir. İxtiyari sayda dəyişən halında ümumiləşdirmə aparılır.

Həmçinin bax: Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun tətbiqi nümunələri

Əsas düsturlar

Burada mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün aşağıdakı düsturların törəməsini təqdim edirik.
Əgər, onda
.
Əgər, onda
.
Əgər, onda
.

Bir dəyişənin mürəkkəb funksiyasının törəməsi

Dəyişən x funksiyası kompleks funksiya kimi aşağıdakı formada təqdim edilsin:
,
harada və bəzi funksiyalar var. Funksiya x dəyişəninin bəzi dəyəri üçün diferensiallaşdırılır. Funksiya dəyişənin dəyəri üçün diferensiallaşdırılır.
Onda kompleks (kompozit) funksiya x nöqtəsində diferensiallanır və onun törəməsi düsturla müəyyən edilir:
(1) .

Formula (1) aşağıdakı kimi də yazıla bilər:
;
.

Sübut

Aşağıdakı qeydi təqdim edək.
;
.
Burada dəyişənlərin və funksiyası var, dəyişənlərin və funksiyası var. Ancaq hesablamaları qarışdırmamaq üçün bu funksiyaların arqumentlərini buraxacağıq.

və funksiyaları müvafiq olaraq x və nöqtələrində diferensiallana bildiyi üçün bu nöqtələrdə bu funksiyaların törəmələri var ki, bunlar aşağıdakı hədlərdir:
;
.

Aşağıdakı funksiyanı nəzərdən keçirin:
.
u dəyişəninin sabit dəyəri üçün , funksiyasıdır. Aydındır ki
.
Sonra
.

Funksiya nöqtəsində diferensiallana bilən funksiya olduğu üçün həmin nöqtədə davamlıdır. Belə ki
.
Sonra
.

İndi törəməni tapırıq.

.

Formula sübut edilmişdir.

Nəticə

Əgər x dəyişəninin funksiyası kompleks funksiyanın kompleks funksiyası kimi təqdim oluna bilərsə
,
onda onun törəməsi düsturla müəyyən edilir
.
Burada və bəzi diferensial funksiyalar var.

Bu düsturu sübut etmək üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına uyğun olaraq törəməni ardıcıl olaraq hesablayırıq.
Mürəkkəb bir funksiyanı nəzərdən keçirək
.
Onun törəməsi
.
Orijinal funksiyanı nəzərdən keçirin
.
Onun törəməsi
.

İki dəyişənli kompleks funksiyanın törəməsi

İndi kompleks funksiya bir neçə dəyişəndən asılı olsun. Əvvəlcə düşünün iki dəyişənli kompleks funksiya halı.

Dəyişən x-dən asılı olan funksiya aşağıdakı formada iki dəyişənin kompleks funksiyası kimi təqdim edilsin:
,
harada
və x dəyişəninin bəzi qiyməti üçün diferensiallanan funksiyalar var;
, nöqtəsində diferensiallanan iki dəyişənin funksiyasıdır. Sonra kompleks funksiya nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir və düsturla təyin olunan törəmə var:
(2) .

Sübut

Funksiyaları və nöqtəsində diferensiallana bildikləri üçün onlar bu nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir, nöqtədə davamlıdır və nöqtədə onların törəmələri mövcuddur, bunlar aşağıdakı hədlərdir:
;
.
Budur
;
.
Bu funksiyaların bir nöqtədə davamlılığına görə bizdə:
;
.

Funksiya nöqtəsində diferensiallana bildiyi üçün bu nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilir, bu nöqtədə davamlıdır və onun artımı aşağıdakı formada yazıla bilər:
(3) .
Budur

- onun arqumentləri qiymətlərlə artırıldıqda funksiya artımı və ;
;

- funksiyanın dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələri və .
Sabit dəyərlər üçün və , və dəyişənlərin funksiyaları var və . Onlar sıfıra meyllidirlər və:
;
.
O vaxtdan və , sonra
;
.

Funksiya artımı:

. :
.
Əvəzedici (3):



.

Formula sübut edilmişdir.

Bir neçə dəyişənli mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Yuxarıdakı törəmə mürəkkəb funksiyanın dəyişənlərinin sayı ikidən çox olduqda asanlıqla ümumiləşdirilir.

Məsələn, f olarsa üç dəyişənin funksiyası, sonra
,
harada
, və x dəyişəninin bəzi qiyməti üçün diferensiallanan funksiyalar var;
üç dəyişənli, , , nöqtəsində diferensiallanan funksiyadır.
Sonra, funksiyanın diferensiallığının tərifindən əldə edirik:
(4)
.
Çünki davamlılığa görə,
; ; ,
sonra
;
;
.

(4)-ə bölmək və limitə keçmək, əldə edirik:
.

Və nəhayət, düşünün ən ümumi hal.
X dəyişəninin funksiyası n dəyişənin kompleks funksiyası kimi aşağıdakı formada təqdim edilsin:
,
harada
x dəyişəninin bəzi qiyməti üçün diferensiallanan funksiyalar var;
- bir nöqtədə n dəyişənin diferensiallanan funksiyası
, , ... , .
Sonra
.

Tərifə əməl etsək, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artım nisbətinin həddidir. yΔ arqumentinin artımına x:

Hər şey aydın görünür. Ancaq bu düsturla, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamağa çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Əgər hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya gedəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, elementar funksiyalar deyilən funksiyaları bütün müxtəlif funksiyalardan ayırmaq olar. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvələ daxil edilmişdir. Bu cür funksiyaları törəmələri ilə birlikdə yadda saxlamaq kifayət qədər asandır.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalanan hər şeydir. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Misal üçün:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyaları bir-birinə əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək və daha çox şey ola bilər. Artıq çox elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara uyğun olaraq fərqləndirilə bilən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Qoy funksiyalar f(x) və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Misal üçün, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazıla bilər f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, ona görə də:

f ’(x) = (x 2+ günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cosx;

Eyni şəkildə funksiya üçün mübahisə edirik g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsi zərbə"\u003e törəmələrin məhsuluna bərabərdir. Amma sizə əncir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin tez-tez unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' çünki x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci çarpan bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem bu dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci çarpanı g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Qeyd edək ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq, bu lazım deyil, lakin əksər törəmələr öz-özünə hesablanmır, lakin funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun işarələri tapılacaq və s. Belə bir hal üçün amillərə parçalanmış ifadənin olması daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, elə deyilmi? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Amma belə! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onu konkret misallarla öyrənmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər bir kəsrin pay və məxrəcində elementar funksiyalar var, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, biz sayacı amillərə daxil edirik - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2+ln x. Çıxır f(x) = günah ( x 2+ln x) mürəkkəb funksiyadır. Onun da bir törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq onu tapmaq işləməyəcək.

Necə olmaq? Belə hallarda dəyişənin dəyişdirilməsi və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu düsturun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Ona görə də konkret misallarla, ilə izah etmək daha yaxşıdır Ətraflı Təsviri hər addım.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2+ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kompleks funksiyanın törəməsini düsturla axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Əks əvəzetmənin həyata keçirilməsi: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, dəyişdirilməlidir. x 2+ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2+ln x. Sonra:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Hamısı budur! Sonuncu ifadədən də göründüyü kimi, bütün məsələ cəminin törəməsinin hesablanmasına endirilib.

Cavab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2+ln x).

Dərslərimdə çox vaxt “törəmə” ifadəsi əvəzinə “vuruş” sözündən istifadə edirəm. Məsələn, cəminin vuruşu vuruşların cəminə bərabərdir. Bu daha aydındır? Əla, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq bu vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Bəs kökün altında çətin bir şey varsa nə etməli? Yenə də mürəkkəb bir funksiya ortaya çıxacaq - onlar testlərdə və imtahanlarda belə konstruksiyalar verməyi sevirlər.

Tapşırıq. Funksiyanın törəməsini tapın:

Əvvəlcə kökü rasional göstəricisi olan bir güc kimi yenidən yazaq:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

İndi bir əvəz edirik: icazə verin x 2 + 8x − 7 = t. Törəməni düsturla tapırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Biz tərs əvəz edirik: t = x 2 + 8x− 7. Bizdə:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nəhayət, köklərə qayıdaq:

Bu dərs “Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması” mövzusuna həsr edilmişdir. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq təcrübəsindən bir tapşırıq. Bu dərsdə biz mürəkkəb funksiyaların diferensiasiyasını öyrənirik. Mürəkkəb funksiyanın törəmələri cədvəli tərtib edilmişdir. Bundan əlavə, riyaziyyatda USE-yə hazırlıq təcrübəsindən bir problemin həlli nümunəsi nəzərdən keçirilir.

Mövzu: Törəmə

Dərs: Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması. Riyaziyyatdan imtahana hazırlaşmaq təcrübəsindən tapşırıq

kompleksfunksiyası biz artıq fərqləndirmişik, lakin arqument xətti funksiya idi, yəni funksiyanı necə diferensiasiya edəcəyimizi bilirik. Misal üçün, . İndi eyni şəkildə mürəkkəb funksiyanın törəmələrini tapacağıq, burada xətti funksiya yerinə başqa bir funksiya ola bilər.

Funksiyadan başlayaq

Beləliklə, biz mürəkkəb funksiyanın sinusunun törəməsini tapdıq, burada sinusun arqumenti kvadrat funksiya idi.

Əgər müəyyən bir nöqtədə törəmənin qiymətini tapmaq lazımdırsa, onda bu nöqtə tapılmış törəmə ilə əvəz edilməlidir.

Beləliklə, iki nümunədə qaydanın necə işlədiyini gördük fərqləndirmə kompleks funksiyaları.

2.

3. . Bunu xatırlayın.

7.

8. .

Beləliklə, bu mərhələdə mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması cədvəli tamamlanacaqdır. Bundan sonra, əlbəttə ki, daha da ümumiləşdiriləcək və indi törəmə ilə bağlı konkret problemlərə keçək.

İmtahana hazırlıq təcrübəsində aşağıdakı tapşırıqlar təklif olunur.

Funksiyanın minimumunu tapın .

ODZ: .

Gəlin törəməni tapaq. Xatırladaq ki, .

Törəməni sıfıra bərabərləşdirək. Nöqtə - ODZ-yə daxildir.

Törəmənin sabit işarəsinin intervallarını (funksiyanın monotonluq intervalları) tapaq (bax. şək. 1).

düyü. 1. Funksiya üçün monotonluq intervalları .

Bir nöqtəni nəzərdən keçirin və bunun ekstremum nöqtəsi olub olmadığını öyrənin. Ekstremumun kifayət qədər əlaməti, törəmənin nöqtədən keçərkən işarəni dəyişməsidir. Bu halda törəmə işarəni dəyişir, yəni onun ekstremum nöqtəsidir. Törəmə işarəsi "-" dən "+"-a dəyişdiyindən, onda - minimum nöqtə. Gəlin dəyəri tapaq minimum nöqtədə funksiyaları: . Bir diaqram çəkək (şək. 2-ə baxın).

Şəkil 2. Ekstremum funksiyası .

İntervalda - funksiya azalır, on - funksiya artır, ekstremum nöqtəsi unikaldır. Funksiya ən kiçik qiyməti yalnız nöqtədə alır.

Dərsdə mürəkkəb funksiyaların diferensiasiyasını nəzərdən keçirdik, cədvəl tərtib etdik və mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydalarını araşdırdıq, imtahana hazırlıq təcrübəsindən törəmənin istifadəsinə nümunə verdik.

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., İvaşev-Musatov O.S., Şvartsburd S.İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz (riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün dərslik). - M .: Təhsil, 1996.

4. Qalitski M.L., Moşkoviç M.M., Şvartsburd S.İ. Cəbr və riyazi analizin dərin tədqiqi.-M .: Təhsil, 1997.

5. Texniki ali məktəblərə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu (M.İ.Skanavinin redaktorluğu ilə).-M.: Ali məktəb, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbr təlimçisi.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Cəbr və təhlilin başlanğıcları. 8-11 hüceyrə: Riyaziyyatın dərindən öyrənilməsi ilə məktəblər və siniflər üçün dərslik (didaktik materiallar). - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Qoldman A.M., Denisov D.V. Cəbrdə tapşırıqlar və təhlilin başlanğıcı (ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərslik).-M .: Təhsil, 2003.

9. Karp A.P. Cəbrdə problemlər toplusu və təhlilin başlanğıcı: dərslik. 10-11 hüceyrə üçün müavinət. dərinliyi ilə öyrənmək riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.

10. Qleyzer G.İ. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. 9-10-cu siniflər (müəllimlər üçün bələdçi).-M.: Maarifçilik, 1983.

Əlavə veb resursları

2. Təbiət Elmləri Portalı ().

evdə edin

No 42.2, 42.3 (Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). A. G. Mordkoviçin redaktəsi ilə təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı (profil səviyyəsi). - M .: Mnemozina, 2007.)

Bunun üzərində biz ən sadə törəmələri təhlil etdik, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələri tapmaq üçün bəzi üsullarla tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalənin bəzi məqamları tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Zəhmət olmasa ciddi əhval-ruhiyyəyə uyğunlaşın - material asan deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə çox tez-tez məşğul olmalısan, hətta demək olar ki, həmişə deyərdim ki, sənə törəmələri tapmaq üçün tapşırıqlar veriləndə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Biz başa düşürük. İlk öncə nota nəzər salaq. Burada iki funksiyamız var - və , və funksiya, məcazi mənada desək, funksiyada yuvalanıb. Bu cür funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya iç-içə) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən “xarici funksiya”, “daxili” funksiya kimi qeyri-rəsmi ifadələrdən yalnız materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında bizdə təkcə "x" hərfi deyil, bütün ifadə var, ona görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək qeyri-mümkündür, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinusunu “parçalamaq” mümkün deyil:

Bu misalda, artıq mənim izahatlarımdan intuitiv olaraq aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım, mürəkkəb funksiyanın törəməsi tapılarkən yerinə yetirilməli olan to hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Sadə misallarda polinomun sinusun altında yerləşdiyi aydın görünür. Bəs aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu dəqiq necə müəyyən etmək olar? Bunu etmək üçün zehni olaraq və ya qaralama üzərində həyata keçirilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini kalkulyatorla hesablamalıyıq (bir əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nəyi hesablayırıq? İlk növbədə aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , beləliklə, polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus - xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra ANLAYIN daxili və xarici funksiyalarla, mürəkkəb funksiyaların diferensiasiya qaydasını tətbiq etməyin vaxtıdır .

Qərar verməyə başlayırıq. Dərsdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmənin həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizələrə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın (sinus) törəməsini tapırıq, elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxırıq və qeyd edirik ki, . Bütün cədvəl düsturları hətta "x" mürəkkəb ifadə ilə əvəz edilsə belə tətbiq olunur, bu halda:

Qeyd edək ki, daxili funksiya dəyişməyib, toxunmuruq.

Bax, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin nəticəsi təmiz belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, qərarı kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Xarici funksiyanın harada olduğunu və daxili funksiyanın harada olduğunu anlayırıq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralama üzərində) üçün ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etmək lazımdır? Hər şeydən əvvəl, bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız:, yəni polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya həyata keçirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə , əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Cədvəldə istədiyiniz düsturu axtarırıq:. Bir daha təkrar edirik: istənilən cədvəl formul təkcə “x” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi sonrakı:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiya dəyişmir:

İndi daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az "daraqlamaq" qalır:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, bunu özünüz anlamağa çalışın, səbəb, xarici və daxili funksiya haradadır, niyə vəzifələr bu şəkildə həll olunur?

Misal 5

a) Funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün o, dərəcə kimi göstərilməlidir. Beləliklə, diferensiallaşma üçün əvvəlcə funksiyanı düzgün formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç həddin cəmi daxili funksiya, eksponentasiya isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik :

Dərəcə yenidən radikal (kök) kimi təmsil olunur və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə gətirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, lakin çətin uzun törəmələr əldə edildikdə, bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanı diferensiasiya etmək qaydası əvəzinə, bölməni fərqləndirmək qaydasından istifadə etmək olar. , lakin belə bir həll qeyri-adi bir pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın fərqləndirmə qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydası vasitəsilə törəmə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - törəmənin mənfi işarəsini çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək :

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq, kosinusu geri qaytarırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlıq yaratmamaq vacibdir. Yeri gəlmişkən, bunu qayda ilə həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər mürəkkəb bir funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz halları nəzərdən keçirdik. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya eyni anda yuvalanır.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini başa düşürük. Eksperimental dəyərdən istifadə edərək ifadəni qiymətləndirməyə çalışırıq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yuvadır:

Bu birlik qövsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini gücə qaldırırıq:

Yəni, bu nümunədə üç fərqli funksiya və iki yuva var, ən daxili funksiya arksinus, ən xarici funksiya isə eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayırıq

Qaydaya görə əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və eksponensial funksiyanın törəməsini tapırıq: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə kompleks ifadəmiz var ki, bu düsturun etibarlılığını inkar etmir. Deməli, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi növbəti.

Mürəkkəb funksiyalar həmişə mürəkkəb funksiyanın tərifinə uyğun gəlmir. Əgər y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 şəklində bir funksiya varsa, y \u003d sin 2 x-dən fərqli olaraq onu mürəkkəb hesab etmək olmaz.

Bu məqalədə kompleks funksiya anlayışı və onun identifikasiyası göstəriləcək. Nəticədə həll nümunələri ilə törəməni tapmaq üçün düsturlarla işləyək. Törəmələr cədvəlinin istifadəsi və diferensiallaşdırma qaydaları törəmənin tapılması vaxtını xeyli azaldır.

Əsas təriflər

Mürəkkəb funksiya arqumenti də funksiya olan funksiyadır.

Bu şəkildə işarələnir: f (g (x)) . Bizdə var ki, g (x) funksiyası f (g (x)) arqumenti hesab olunur.

Tərif 2

Əgər f funksiyası varsa və kotangent funksiyadırsa, g(x) = ln x natural loqarifm funksiyasıdır. Alırıq ki, f (g (x)) mürəkkəb funksiyası arctg (lnx) kimi yazılacaq. Və ya g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 bütöv bir rasional funksiya hesab edildiyi 4-cü dərəcəyə qaldırılmış bir funksiya olan f funksiyası, f (g (x)) \u003d (x) alırıq. 2 + 2 x - 3) 4 .

Aydındır ki, g(x) çətin ola bilər. y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 misalından görünə bilər ki, g dəyərinin kəsirli kub kökü var. Bu ifadə y = f (f 1 (f 2 (x))) kimi işarələnə bilər. Buradan əldə edirik ki, f sinus funksiyasıdır və f 1 kvadrat kökün altında yerləşən funksiyadır, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 kəsr rasional funksiyadır.

Tərif 3

Yuvalanma dərəcəsi istənilən natural ədədlə müəyyən edilir və y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... f n (x)))))) kimi yazılır.

Tərif 4

Funksiya tərkibi anlayışı problemin ifadəsinə uyğun olaraq yuvalanmış funksiyaların sayına aiddir. Həlli üçün formanın mürəkkəb funksiyasının törəməsinin tapılması düsturu

(f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)

Nümunələr

y = (2 x + 1) 2 formalı mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapın.

Qərar

Şərti olaraq, f kvadrat funksiyadır və g(x) = 2 x + 1 xətti funksiya hesab olunur.

Mürəkkəb bir funksiya üçün törəmə düsturunu tətbiq edirik və yazırıq:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Funksiyanın sadələşdirilmiş ilkin forması olan törəmə tapmaq lazımdır. Biz əldə edirik:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Ona görə də bizdə bu var

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Nəticələr üst-üstə düşdü.

Bu cür məsələləri həll edərkən f və g (x) formasının funksiyasının harada yerləşəcəyini anlamaq vacibdir.

Misal 2

y \u003d sin 2 x və y \u003d sin x 2 şəklində mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapmalısınız.

Qərar

Funksiyanın ilk girişində deyilir ki, f kvadratlaşdırma funksiyası və g(x) sinus funksiyasıdır. Sonra bunu anlayırıq

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

İkinci giriş göstərir ki, f sinus funksiyasıdır və g (x) = x 2 güc funksiyasını göstərir. Buradan belə nəticə çıxır ki, mürəkkəb funksiyanın hasilini belə yazmaq olar

y " \u003d (günah x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Törəmə üçün düstur y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) y "= f" (f 1 (f 2 (f 3)) kimi yazılacaq. (... ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x)))) f 2 " (f 3 (... ))) . . . f n "(x)

Misal 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) funksiyasının törəməsini tapın.

Qərar

Bu nümunə funksiyaların yazılmasının və yerlərinin müəyyən edilməsinin mürəkkəbliyini göstərir. Sonra y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) işarə edir, burada f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinus funksiyasıdır, funksiya 3 dərəcə yüksəltmə, loqarifmalı və əsaslı e funksiyası, qövs tangensi funksiyası və xətti funksiya.

Mürəkkəb funksiyanın tərifi düsturundan biz bunu əldə edirik

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Tapılacaq şeyi əldə etmək

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) törəmələr cədvəlində sinusun törəməsi kimi, sonra f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)) )))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) güc funksiyasının törəməsi kimi, sonra f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) loqarifmik törəmə kimi, sonra f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) qövs tangensinin törəməsi kimi, sonra f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Törəmə f 4 (x) \u003d 2 x taparkən, eksponenti 1 olan güc funksiyasının törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək törəmənin işarəsindən 2 çıxarın, sonra f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Aralıq nəticələri birləşdiririk və bunu əldə edirik

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Bu cür funksiyaların təhlili yuva quran kuklalara bənzəyir. Fərqləndirmə qaydaları həmişə törəmə cədvəlindən istifadə etməklə açıq şəkildə tətbiq edilə bilməz. Çox vaxt mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapmaq üçün düsturdan istifadə etmək lazımdır.

Mürəkkəb görünüş və mürəkkəb funksiya arasında bəzi fərqlər var. Bunu ayırd etmək üçün aydın bir qabiliyyətlə törəmələri tapmaq xüsusilə asan olacaq.

Misal 4

Belə bir misal gətirmək üzərində düşünmək lazımdır. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 formasının funksiyası varsa, onu g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 formasının mürəkkəb funksiyası kimi qəbul etmək olar. . Aydındır ki, kompleks törəmə üçün formula tətbiq etmək lazımdır:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 q (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 q (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 q "(x) + 0 \u003d 2 q (x) + 3 1 q 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 formalı funksiya t g x 2, 3 t g x və 1 cəminə malik olduğundan mürəkkəb hesab edilmir. Bununla belə, t g x 2 mürəkkəb funksiya hesab olunur, onda biz tangensin funksiyası olan g (x) \u003d x 2 və f formasının güc funksiyasını alırıq. Bunun üçün məbləğə görə fərqləndirmək lazımdır. Bunu anlayırıq

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılmasına keçək (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Alırıq ki, y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Mürəkkəb funksiyalar mürəkkəb funksiyalara, mürəkkəb funksiyaların özü isə mürəkkəb formanın mürəkkəb funksiyaları ola bilər.

Misal 5

Məsələn, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) formasının mürəkkəb funksiyasını nəzərdən keçirək.

Bu funksiya y = f (g (x)) şəklində göstərilə bilər, burada f-in qiyməti 3-cü loqarifmin funksiyasıdır və g (x) h (x) = formasının iki funksiyasının cəmi hesab olunur. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 və k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Aydındır ki, y = f (h (x) + k (x)) .

h(x) funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7-nin m (x) = e x 2 + 3 3 nisbətidir.

Bizdə var ki, l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) n (x) = x 2 + 7 və p ( iki funksiyanın cəmidir. x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , burada p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ədədi əmsalı 3 olan mürəkkəb funksiyadır və p 1 a kub funksiyası, p 2 kosinus funksiyası, p 3 (x) = 2 x + 1 - xətti funksiya.

Biz tapdıq ki, m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) q (x) = e x 2 və r (x) = 3 3 funksiyalarının cəmidir, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) mürəkkəb funksiya, q 1 göstəricisi olan funksiya, q 2 (x) = x 2 güc funksiyasıdır.

Bu onu göstərir ki, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

K (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) formasının ifadəsinə keçərkən aydın olur ki, funksiya kompleks s (x) \ şəklində təmsil olunur. u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) tam rasional t (x) = x 2 + 1 ilə, burada s 1 kvadratlaşdırma funksiyasıdır və s 2 (x) = ln x e əsası ilə loqarifmikdir .

Buradan belə nəticə çıxır ki, ifadə k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) formasını alacaq.

Sonra bunu anlayırıq

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Funksiya strukturlarına görə ifadəni differensiallaşdırmaq üçün onu necə və hansı düsturlardan istifadə etmək lazım olduğu aydın oldu. Belə məsələlərlə tanış olmaq və onların həllini başa düşmək üçün funksiyanın diferensiallaşdırılması, yəni onun törəməsinin tapılması məqamına müraciət etmək lazımdır.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın