Funksiyanın kritik nöqtələri və ekstremalları. Funksiyanın minimum və maksimum nöqtələrini necə tapmaq olar: xüsusiyyətlər, üsullar və nümunələr. Biz birlikdə funksiyanın ekstremumunu axtarırıq

$z=f(x,y)$ funksiyası $(x_0,y_0)$ nöqtəsinin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilsin. Deyirlər ki, əgər $(x_0,y_0)$ nöqtəsinin hər hansı qonşuluğunda bütün $(x,y)$ nöqtələri üçün $f(x,y) bərabərsizliyi olarsa, $(x_0,y_0)$ (yerli) maksimum nöqtədir. qane olur< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, onda $(x_0,y_0)$ nöqtəsi (yerli) minimum nöqtə adlanır.

Maksimum və minimum nöqtələrə çox vaxt ümumi termin - ekstremum nöqtələri deyilir.

Əgər $(x_0,y_0)$ maksimum nöqtədirsə, o zaman $f(x_0,y_0)$ funksiyasının bu nöqtədəki qiyməti $z=f(x,y)$ funksiyasının maksimumu adlanır. Müvafiq olaraq, funksiyanın minimum nöqtəsindəki qiyməti $z=f(x,y)$ funksiyasının minimumu adlanır. Funksiyanın minimum və maksimumlarını ümumi termin - funksiyanın ekstremumları birləşdirir.

Ekstremum üçün $z=f(x,y)$ funksiyasının öyrənilməsi alqoritmi

1. $\frac(\partial z)(\partial x)$ və $\frac(\partial z)(\partial y)$ qismən törəmələrini tapın. $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 tənliklər sistemini qurun və həll edin \ end(aligned) \right.$ Koordinatları göstərilən sistemi təmin edən nöqtələr stasionar adlanır.
2. $\frac(\partial^2z)(\qismən x^2)$, $\frac(\qismən^2z)(\qismən x\qismən y)$, $\frac(\qismən^2z)(\qismən) tapın y^2)$ və $\Delta=\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\qismən y^2)-\left( dəyərini hesablayın. \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ hər stasionar nöqtədə. Bundan sonra aşağıdakı sxemdən istifadə edin:
   1. Əgər $\Delta > 0$ və $\frac(\partial^2z)(\qismən x^2) > 0$ (və ya $\frac(\qismən^2z)(\qismən y^2) > 0$), onda tədqiq olunan nöqtə minimum nöqtədir.
   2. Əgər $\Delta > 0$ və $\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Əgər $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Əgər $\Delta = 0$ olarsa, o zaman ekstremumun olması haqqında qəti heç nə demək olmaz; əlavə tədqiqat tələb olunur.

Qeyd (mətni daha tam başa düşmək üçün arzu olunandır): göstər\gizlət

Əgər $\Delta > 0$, onda $\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\qismən^2z)(\qismən y^2)-\left(\frac(\) qismən^2z)(\qismən x\qismən y) \sağ)^2 > 0$. Və belə çıxır ki, $\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\qismən^2z)(\qismən y^2) > \left(\frac(\qismən^2z) ( \qismən x\qismən y)\sağ)^2 ≥ 0$. Bunlar. $\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\qismən^2z)(\qismən y^2) > 0$. Əgər müəyyən kəmiyyətlərin hasili sıfırdan böyükdürsə, bu kəmiyyətlər eyni işarəlidir. Yəni, məsələn, əgər $\frac(\partial^2z)(\qismən x^2) > 0$, onda $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Bir sözlə, əgər $\Delta > 0$ olarsa, $\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)$ və $\frac(\partial^2z)(\qismən y^2)$ işarələri üst-üstə düşür. .

Nümunə №1

$z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ funksiyasını ekstremumu üçün yoxlayın.

$$ \frac(\qismən z)(\qismən x)=8x-6y-34; \frac(\qismən z)(\qismən y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(düzləşdirilmiş) \sağ. $$

Gəlin bu sistemin hər bir tənliyini $2$ azaldaq və ədədləri tənliklərin sağ tərəfinə keçirək:

$$ \left \( \begin(düzləşmiş) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(düzləşdirilmiş) \sağa. $$

Xətti cəbri tənliklər sistemi əldə etdik. Bu vəziyyətdə, yaranan sistemi həll etmək üçün Cramer metodundan istifadə etmək mənə ən əlverişli görünür.

$$ \begin(hizalanmış) & \Delta=\left| \begin(massiv) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(massiv)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\sol| \begin(massiv) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(massiv)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\sol| \begin(massiv) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(massiv)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aligned) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

$x=2$, $y=-3$ qiymətləri $(2;-3)$ stasionar nöqtəsinin koordinatlarıdır.

$$ \frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)=8; \frac(\qismən^2 z)(\qismən y^2)=10; \frac(\qismən^2 z)(\qismən x \qismən y)=-6. $$

$\Delta$ dəyərini hesablayaq:

$$ \Delta=\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\qismən^2z)(\qismən y^2)-\left(\frac(\qismən^2z)( \qismən x\qismən y) \sağ)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

$\Delta > 0$ və $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$ olduğundan, $(2;-3)$ nöqtəsinə görə $ funksiyasının minimum nöqtəsidir. z$. $(2;-3)$ nöqtəsinin koordinatlarını verilmiş funksiyaya əvəz etməklə $z$ funksiyasının minimumunu tapırıq:

$$ z_(dəq)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Cavab verin: $(2;-3)$ - minimum bal; $z_(dəq)=-90$.

Nümunə № 2

Ekstremum üçün $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ funksiyasını yoxlayın.

Yuxarıdakılara əməl edəcəyik. Əvvəlcə birinci dərəcəli qismən törəmələri tapaq:

$$ \frac(\qismən z)(\qismən x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\qismən z)(\qismən y)=6xy-12. $$

$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 tənliklər sistemi yaradaq. \end( düzülmüş) \sağ.$:

$$ \left \( \begin(düzləşdirilmiş) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(düzləşdirilmiş) \sağ. $$

Birinci tənliyi 3-ə, ikincini isə 6-ya endirək.

$$ \left \( \begin(düzülmüş) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(düzləşdirilmiş) \sağ. $$

Əgər $x=0$ olarsa, onda ikinci tənlik bizi ziddiyyətə aparacaq: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Beləliklə, nəticə: $x\neq 0$. Sonra ikinci tənlikdən əldə edirik: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Birinci tənliyə $y=\frac(2)(x)$ əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \sağ)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Biquadratik tənlik əldə etdik. $t=x^2$ əvəzini edirik ($t > 0$ deməkdir):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \başlamaq(düzülmüş) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(-) 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Əgər $t=1$, onda $x^2=1$. Beləliklə, $x$-ın iki dəyəri var: $x_1=1$, $x_2=-1$. Əgər $t=4$, onda $x^2=4$, yəni. $x_3=2$, $x_4=-2$. $y=\frac(2)(x)$ olduğunu xatırlasaq, əldə edirik:

\begin(düzülmüş) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(düzülmüş)

Beləliklə, dörd stasionar nöqtəmiz var: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Bu, alqoritmin ilk addımını tamamlayır.

İndi alqoritmlə başlayaq. İkinci dərəcəli qismən törəmələri tapaq:

$$ \frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)=6x; \frac(\qismən^2 z)(\qismən y^2)=6x; \frac(\qismən^2 z)(\qismən x \qismən y)=6y. $$

$\Delta$ tapaq:

$$ \Delta=\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\qismən^2z)(\qismən y^2)-\left(\frac(\qismən^2z)( \qismən x\qismən y) \sağ)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

İndi biz əvvəllər tapılmış stasionar nöqtələrin hər birində $\Delta$ dəyərini hesablayacağıq. $M_1(1;2)$ nöqtəsindən başlayaq. Bu nöqtədə biz var: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. $\Delta(M_1) ildən< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

$M_2(-1;-2)$ nöqtəsini araşdıraq. Bu nöqtədə biz var: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. $\Delta(M_2) ildən< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

$M_3(2;1)$ nöqtəsini araşdıraq. Bu nöqtədə alırıq:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \sol.\frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)\sağ|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

$\Delta(M_3) > 0$ və $\left.\frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)\right|_(M_3) > 0$ olduğundan, sonra $M_3(2); 1)$ $z$ funksiyasının minimum nöqtəsidir. $M_3$ nöqtəsinin koordinatlarını verilmiş funksiyaya əvəz etməklə $z$ funksiyasının minimumunu tapırıq:

$$ z_(dəq)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

$M_4(-2;-1)$ nöqtəsini araşdırmaq qalır. Bu nöqtədə alırıq:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \sol.\frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)\sağ|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

$\Delta(M_4) > 0$ və $\left olduğundan.\frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)\sağ|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(maks)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Ekstremal tədqiqat tamamlandı. Yalnız cavabı yazmaq qalır.

Cavab verin:

• $(2;1)$ - minimum bal, $z_(dəq)=-27$;
• $(-2;-1)$ - maksimum nöqtə, $z_(max)=29$.

Qeyd

Ümumi halda, $\Delta$ dəyərini hesablamağa ehtiyac yoxdur, çünki bizi bu parametrin xüsusi dəyəri deyil, yalnız işarəsi maraqlandırır. Məsələn, məsələn, yuxarıda nəzərdən keçirilən №2, $M_3(2;1)$ nöqtəsində bizdə $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ var. Burada $\Delta > 0$ ($36$ və $(2^2-1^2)$ faktorlarının hər ikisinin müsbət olduğu üçün) açıq-aydın görünür və $\Delta$-ın konkret dəyərini tapmamaq mümkündür. Düzdür, standart hesablamalar üçün bu qeyd faydasızdır - orada sizdən hesablamaları rəqəmə çatdırmağı tələb edirlər :)

Nümunə № 3

$z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ funksiyasını ekstremumu üçün yoxlayın.

Biz izləyəcəyik. Əvvəlcə birinci dərəcəli qismən törəmələri tapaq:

$$ \frac(\qismən z)(\qismən x)=4x^3-4x+4y; \frac(\qismən z)(\qismən y)=4y^3+4x-4y. $$

$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 tənliklər sistemi yaradaq. \end( düzülmüş) \sağ.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(düzləşdirilmiş) \sağ. $$

Gəlin hər iki tənliyi $4$ azaldaq:

$$ \left \( \begin(düzləşmiş) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(düzləşdirilmiş) \sağ. $$

Birinci tənliyi ikinciyə əlavə edək və $y$-ı $x$ ilə ifadə edək:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Sistemin birinci tənliyində $y=-x$ əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Nəticə tənlikdən əldə edirik: $x=0$ və ya $x^2-2=0$. $x^2-2=0$ tənliyindən belə çıxır ki, $x=-\sqrt(2)$ və ya $x=\sqrt(2)$. Beləliklə, $x$-ın üç dəyəri tapılır, yəni: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. $y=-x$ olduğundan, sonra $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Həllin ilk mərhələsi tamamlandı. Üç sabit xal əldə etdik: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

İndi alqoritmlə başlayaq. İkinci dərəcəli qismən törəmələri tapaq:

$$ \frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)=12x^2-4; \frac(\qismən^2 z)(\qismən y^2)=12y^2-4; \frac(\qismən^2 z)(\qismən x \qismən y)=4. $$

$\Delta$ tapaq:

$$ \Delta=\frac(\qismən^2z)(\qismən x^2)\cdot \frac(\qismən^2z)(\qismən y^2)-\left(\frac(\qismən^2z)( \qismən x\qismən y) \sağ)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

İndi biz əvvəllər tapılmış stasionar nöqtələrin hər birində $\Delta$ dəyərini hesablayacağıq. $M_1(0;0)$ nöqtəsindən başlayaq. Bu nöqtədə biz var: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. $\Delta(M_1) = 0$ olduğundan, o zaman əlavə tədqiqat tələb olunur, çünki nəzərdən keçirilən nöqtədə ekstremumun olması barədə dəqiq heç nə demək mümkün deyil. Bu məqamı hələlik tək qoyub başqa məqamlara keçək.

$M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ nöqtəsini araşdıraq. Bu nöqtədə alırıq:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)\sağ|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(düzülmüş)

$\Delta(M_2) > 0$ və $\left.\frac(\partial^2 z)(\qismən x^2)\right|_(M_2) > 0$ olduğundan, $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ $z$ funksiyasının minimum nöqtəsidir. $M_2$ nöqtəsinin koordinatlarını verilmiş funksiyaya əvəz etməklə $z$ funksiyasının minimumunu tapırıq:

$$ z_(dəq)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Əvvəlki bənd kimi, biz $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ nöqtəsini araşdırırıq. Bu nöqtədə alırıq:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\qismən^2 z)(\qismən x^2)\sağ|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(düzülmüş)

$\Delta(M_3) > 0$ və $\left.\frac(\partial^2 z)(\qismən x^2)\right|_(M_3) > 0$ olduğundan, $M_3(\sqrt) uyğun olaraq (2),-\sqrt(2))$ $z$ funksiyasının minimum nöqtəsidir. $M_3$ nöqtəsinin koordinatlarını verilmiş funksiyaya əvəz etməklə $z$ funksiyasının minimumunu tapırıq:

$$ z_(dəq)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

$M_1(0;0)$ nöqtəsinə qayıtmağın vaxtı gəldi, burada $\Delta(M_1) = 0$. Buna görə əlavə araşdırma tələb olunur. Bu qaçaq ifadə "istədiyini et" deməkdir :). Bu cür halları həll etməyin ümumi yolu yoxdur və bu başa düşüləndir. Əgər belə bir üsul olsaydı, çoxdan bütün dərsliklərə daxil olardı. Bu arada $\Delta = 0$ olan hər bir nöqtəyə xüsusi yanaşma axtarmalıyıq. Yaxşı, gəlin $M_1(0;0)$ nöqtəsi yaxınlığında funksiyanın davranışını araşdıraq. Dərhal qeyd edək ki, $z(M_1)=z(0;0)=3$. Fərz edək ki, $M_1(0;0)$ minimum nöqtədir. Sonra $M_1(0;0)$ nöqtəsinin hansısa qonşuluğundan hər hansı $M$ nöqtəsi üçün $z(M) > z(M_1)$ alırıq, yəni. $z(M) > 3$. Əgər hər hansı məhəllədə $z(M) olan nöqtələr varsa, onda necə?< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

$y=0$ olan nöqtələri nəzərdən keçirək, yəni. $(x,0)$ formasının xalları. Bu nöqtələrdə $z$ funksiyası aşağıdakı dəyərləri alacaq:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x) ^2-2)+3. $$

Bütün kifayət qədər kiçik $M_1(0;0)$ məhəllələrində bizdə $x^2-2 var< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Amma bəlkə $M_1(0;0)$ nöqtəsi maksimum nöqtədir? Əgər belədirsə, onda $M_1(0;0)$ nöqtəsinin hansısa qonşuluğundan hər hansı $M$ nöqtəsi üçün $z(M) alırıq.< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? O zaman $M_1$ nöqtəsində mütləq maksimum olmayacaq.

$y=x$ olan nöqtələri nəzərdən keçirək, yəni. $(x,x)$ formasının nöqtələri. Bu nöqtələrdə $z$ funksiyası aşağıdakı dəyərləri alacaq:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

$M_1(0;0)$ nöqtəsinin hər hansı qonşuluğunda bizdə $2x^4 > 0$, sonra $2x^4+3 > 3$ var. Nəticə: $M_1(0;0)$ nöqtəsinin hər hansı qonşuluğu $z > 3$ olan nöqtələri ehtiva edir, ona görə də $M_1(0;0)$ nöqtəsi maksimum nöqtə ola bilməz.

$M_1(0;0)$ nöqtəsi nə maksimum, nə də minimum nöqtədir. Nəticə: $M_1$ ümumiyyətlə ekstremum nöqtə deyil.

Cavab verin: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ $z$ funksiyasının minimum nöqtələridir. Hər iki nöqtədə $z_(dəq)=-5$.

Funksiya və onun xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi müasir riyaziyyatın əsas fəsillərindən birini tutur. Hər hansı bir funksiyanın əsas komponenti təkcə onun xassələrini deyil, həm də bu funksiyanın törəməsinin parametrlərini əks etdirən qrafiklərdir. Gəlin bu çətin mövzunu başa düşək. Beləliklə, funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrini tapmağın ən yaxşı yolu nədir?

Funksiya: tərif

Bir şəkildə başqa bir kəmiyyətin dəyərlərindən asılı olan hər hansı bir dəyişən funksiya adlandırıla bilər. Məsələn, f(x 2) funksiyası kvadratdır və bütün x dəstinin dəyərlərini təyin edir. Tutaq ki, x = 9, onda funksiyamızın qiyməti 9 2 = 81-ə bərabər olacaqdır.

Funksiyalar çox müxtəlif növlərdə olur: məntiqi, vektor, loqarifmik, triqonometrik, ədədi və s. Onları Lakroix, Laqranj, Leybnits və Bernulli kimi görkəmli ağıllar öyrənmişdir. Onların əsərləri funksiyaların öyrənilməsinin müasir üsullarında əsas dayaq rolunu oynayır. Minimum nöqtələri tapmazdan əvvəl funksiyanın və onun törəməsinin mənasını başa düşmək çox vacibdir.

Törəmə və onun rolu

Bütün funksiyalar dəyişənlərindən asılıdır, yəni onlar istənilən vaxt öz dəyərini dəyişə bilərlər. Qrafikdə bu, ordinat oxu boyunca enən və ya yüksələn əyri kimi təsvir olunacaq (bu, şaquli qrafik boyunca “y” ədədlərinin bütün dəstidir). Deməli, funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrinin müəyyən edilməsi məhz bu “rəylənmələrlə” bağlıdır. Bu əlaqənin nə olduğunu izah edək.

Hər hansı bir funksiyanın törəməsi onun əsas xüsusiyyətlərini öyrənmək və funksiyanın nə qədər tez dəyişdiyini (yəni “x” dəyişənindən asılı olaraq dəyərini dəyişdirdiyini) hesablamaq üçün qrafikə salınır. Funksiya artdığı anda onun törəməsinin qrafiki də artacaq, lakin istənilən saniyə funksiya azalmağa başlaya bilər, sonra isə törəmənin qrafiki azalacaq. Törəmənin mənfi işarədən artı işarəsinə dəyişdiyi nöqtələrə minimum nöqtələr deyilir. Minimum xalları necə tapacağınızı bilmək üçün daha yaxşı başa düşməlisiniz

Törəməni necə hesablamaq olar?

Tərif və funksiyalar bir neçə anlayışı nəzərdə tutur. Ümumiyyətlə, törəmənin tərifini belə ifadə etmək olar: bu, funksiyanın dəyişmə sürətini göstərən kəmiyyətdir.

Bunu müəyyən etməyin riyazi yolu bir çox tələbələr üçün mürəkkəb görünür, amma əslində hər şey daha sadədir. Sadəcə hər hansı bir funksiyanın törəməsini tapmaq üçün standart plana əməl etməlisiniz. Aşağıda diferensiallaşdırma qaydalarını tətbiq etmədən və törəmələr cədvəlini əzbərləmədən funksiyanın minimum nöqtəsini necə tapa biləcəyinizi təsvir edirik.

1. Qrafikdən istifadə edərək funksiyanın törəməsini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün funksiyanın özünü təsvir etməli, sonra onun üzərində bir nöqtə götürməlisiniz (şəkildəki A nöqtəsi absis oxuna şaquli olaraq bir xətt çəkin (nöqtə x 0) və A nöqtəsində bir toxunuş çəkin. funksiyasının qrafiki. X oxu və tangens müəyyən bir bucaq əmələ gətirir. Funksiyanın nə qədər tez artdığının dəyərini hesablamaq üçün bu bucağın a tangensini hesablamaq lazımdır.
2. Belə çıxır ki, x oxunun tangensi ilə istiqaməti arasındakı bucağın tangensi funksiyanın A nöqtəsi olan kiçik sahədə törəməsidir. Bu üsul törəmənin təyini üçün həndəsi üsul hesab olunur.

Funksiyaların öyrənilməsi üsulları

Məktəbin riyaziyyat kurikulumunda funksiyanın minimum nöqtəsini iki yolla tapmaq mümkündür. Biz artıq qrafikdən istifadə edərək birinci metodu müzakirə etdik, lakin törəmənin ədədi qiymətini necə təyin etmək olar? Bunu etmək üçün siz törəmənin xassələrini təsvir edən və “x” kimi dəyişənləri ədədlərə çevirməyə kömək edən bir neçə düstur öyrənməli olacaqsınız. Aşağıdakı üsul universaldır, ona görə də demək olar ki, bütün növ funksiyalara (həm həndəsi, həm də loqarifmik) tətbiq oluna bilər.

1. Funksiyanı törəmə funksiyaya bərabərləşdirmək, sonra isə diferensiasiya qaydalarından istifadə etməklə ifadəni sadələşdirmək lazımdır.
2. Bəzi hallarda, “x” dəyişəninin böləndə olduğu funksiya verildikdə, ondan “0” nöqtəsi istisna olmaqla, məqbul qiymətlər diapazonunu müəyyən etmək lazımdır (sadə səbəbdən riyaziyyatda heç vaxt sıfıra bölün).
3. Bundan sonra, funksiyanın orijinal formasını bütün ifadəni sıfıra bərabərləşdirərək sadə bir tənliyə çevirməlisiniz. Məsələn, əgər funksiya belə görünürdüsə: f(x) = 2x 3 +38x, onda diferensiasiya qaydalarına görə onun törəməsi f"(x) = 3x 2 +1-ə bərabərdir. Sonra bu ifadəni bir forma çeviririk. aşağıdakı formalı tənlik: 3x 2 +1 = 0 .
4. Tənliyi həll etdikdən və “x” nöqtələrini tapdıqdan sonra onları x oxu üzərində qurmalı və qeyd olunan nöqtələr arasında bu bölmələrdə törəmənin müsbət və ya mənfi olduğunu müəyyən etməlisiniz. Təyinatdan sonra funksiyanın hansı nöqtədə azalmağa başladığı, yəni işarəni mənfidən əksinə dəyişdirdiyi aydın olacaq. Məhz bu şəkildə həm minimum, həm də maksimum xalları tapa bilərsiniz.

Fərqləndirmə qaydaları

Funksiya və onun törəməsinin öyrənilməsində ən əsas komponent diferensiasiya qaydalarını bilməkdir. Yalnız onların köməyi ilə siz çətin ifadələri və böyük mürəkkəb funksiyaları çevirə bilərsiniz. Gəlin onlarla tanış olaq, onların kifayət qədər çoxu var, lakin həm güc, həm də loqarifmik funksiyaların təbii xüsusiyyətlərinə görə hamısı çox sadədir.

1. İstənilən sabitin törəməsi sıfıra bərabərdir (f(x) = 0). Yəni f(x) = x 5 + x - 160 törəməsi aşağıdakı formanı alacaq: f" (x) = 5x 4 +1.
2. İki şərtin cəminin törəməsi: (f+w)" = f"w + fw".
3. Loqarifmik funksiyanın törəməsi: (log a d)" = d/ln a*d. Bu düstur bütün loqarifm növlərinə aiddir.
4. Gücün törəməsi: (x n)"= n*x n-1. Məsələn, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinusoidal funksiyanın törəməsi: (sin a)" = cos a. Əgər a bucağının sinəsi 0,5 olarsa, onun törəməsi √3/2-dir.

Ekstremal nöqtələr

Minimum nöqtələrin necə tapılacağını artıq müzakirə etdik, lakin funksiyanın maksimum nöqtələri anlayışı da var. Minimum funksiyanın mənfi işarədən artıya dəyişdiyi nöqtələri ifadə edirsə, maksimum nöqtələr x oxundakı funksiyanın törəməsinin artıdan əksinə - mənfiyə dəyişdiyi nöqtələrdir.

Bunu yuxarıda təsvir olunan metoddan istifadə edərək tapa bilərsiniz, ancaq nəzərə almalısınız ki, onlar funksiyanın azalmağa başladığı sahələri göstərir, yəni törəmə sıfırdan az olacaq.

Riyaziyyatda hər iki anlayışı ümumiləşdirmək, onları “ekstremal nöqtələr” ifadəsi ilə əvəz etmək adətdir. Tapşırıq sizdən bu nöqtələri təyin etməyi tələb etdikdə, bu o deməkdir ki, verilmiş funksiyanın törəməsini hesablamaq və minimum və maksimum xalları tapmaq lazımdır.

Bu xidmətlə siz edə bilərsiniz funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın həlli Word-də formatlanmış bir f(x) dəyişəni. Əgər f(x,y) funksiyası verilmişdirsə, deməli, iki dəyişənin funksiyasının ekstremumunu tapmaq lazımdır. Siz həmçinin artan və azalan funksiyaların intervallarını tapa bilərsiniz.

Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları:

Bir dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün zəruri şərt

Bir dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün kafi şərt

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Onda x * nöqtəsi funksiyanın yerli (qlobal) minimum nöqtəsidir.

Əgər x * nöqtəsində şərt yerinə yetirilirsə:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Onda x * nöqtəsi lokal (qlobal) maksimumdur.

Nümunə № 1. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın: seqmentdə.
Həll.

Kritik nöqtə bir x 1 = 2 (f’(x)=0) təşkil edir. Bu nöqtə seqmentə aiddir. (x=0 nöqtəsi kritik deyil, çünki 0∉).
Seqmentin uclarında və kritik nöqtədə funksiyanın dəyərlərini hesablayırıq.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cavab: f min = 5 / 2 at x=2; x=1-də f max =9

Nümunə № 2. Daha yüksək dərəcəli törəmələrdən istifadə edərək y=x-2sin(x) funksiyasının ekstremumunu tapın.
Həll.
Funksiyanın törəməsini tapın: y’=1-2cos(x) . Kritik nöqtələri tapaq: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y’’=2sin(x) tapırıq, hesablayırıq, bu o deməkdir ki, x= π / 3 +2πk, k∈Z funksiyanın minimum nöqtələridir; , yəni x=- π / 3 +2πk, k∈Z funksiyanın maksimum nöqtələridir.

Nümunə № 3. x=0 nöqtəsinin yaxınlığında ekstremum funksiyasını tədqiq edin.
Həll. Burada funksiyanın ekstremumunu tapmaq lazımdır. Ekstremum x=0 olarsa, onun növünü tapın (minimum və ya maksimum). Tapılan nöqtələr arasında x = 0 yoxdursa, f(x=0) funksiyasının qiymətini hesablayın.
Qeyd etmək lazımdır ki, verilmiş nöqtənin hər tərəfindəki törəmə işarəsini dəyişmədikdə, mümkün vəziyyətlər hətta diferensiallanan funksiyalar üçün də tükənmir: belə ola bilər ki, x 0 nöqtəsinin bir tərəfindəki ixtiyari kiçik qonşuluq üçün və ya hər iki tərəfdə törəmə dəyişikliklər işarəsi. Bu nöqtələrdə funksiyaları ekstremumda öyrənmək üçün başqa üsullardan istifadə etmək lazımdır.

Nümunə № 4. 49 ədədini hasili ən böyük olan iki şərtə bölün.
Həll. Birinci hədd kimi x-i işarə edək. Onda (49-x) ikinci termindir.
Məhsul maksimum olacaq: x·(49-x) → maks

Riyaziyyatda mühüm anlayış funksiyadır. Onun köməyi ilə siz təbiətdə baş verən bir çox prosesləri vizual olaraq təsəvvür edə və qrafikdə düsturlar, cədvəllər və şəkillərdən istifadə edərək müəyyən kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni əks etdirə bilərsiniz. Buna misal olaraq maye qatının cismə təzyiqinin batırılma dərinliyindən, sürətlənmənin - müəyyən bir qüvvənin cismə təsirindən, temperaturun artmasının - ötürülən enerjidən və bir çox başqa proseslərdən asılılığını göstərmək olar. Funksiyanı öyrənmək qrafikin qurulmasını, onun xassələrini, tərif sahəsini və qiymətlərini, artım və azalma intervallarını tapmaqdan ibarətdir. Bu prosesdə vacib məqam ekstremal nöqtələrin tapılmasıdır. Bunu necə düzgün etmək barədə daha çox danışacağıq.

Konseptin özü haqqında konkret bir nümunədən istifadə etməklə

Tibbdə bir funksiya qrafiki çəkmək bizə xəstənin bədənində xəstəliyin gedişatı haqqında məlumat verə bilər, onun vəziyyətini aydın şəkildə əks etdirir. Fərz edək ki, OX oxu vaxtı günlərlə, OU oxu isə insan bədən istiliyini ifadə edir. Şəkil bu göstəricinin necə kəskin yüksəldiyini və sonra aşağı düşdüyünü aydın şəkildə göstərir. Əvvəllər artan funksiyanın azalmağa başladığı və əksinə anları əks etdirən xüsusi nöqtələri görmək də asandır. Bunlar həddindən artıq nöqtələrdir, yəni xəstənin temperaturunun bu vəziyyətdə kritik dəyərləri (maksimum və minimum), bundan sonra onun vəziyyətində dəyişikliklər baş verir.

Tilt bucağı

Şəkildən funksiyanın törəməsinin necə dəyişdiyini asanlıqla müəyyən edə bilərsiniz. Qrafikin düz xətləri zaman keçdikcə yuxarı qalxarsa, bu müsbətdir. Və onlar nə qədər dik olsalar, meyl açısı artdıqca törəmənin dəyəri bir o qədər böyük olar. Azalma dövrlərində bu qiymət mənfi qiymətlər alır, ekstremum nöqtələrində sıfıra çevrilir və sonuncu halda törəmənin qrafiki OX oxuna paralel çəkilir.

Hər hansı digər proses eyni şəkildə müalicə edilməlidir. Ancaq bu konsepsiya haqqında danışmağın ən yaxşı yolu, qrafiklərdə aydın şəkildə göstərilən müxtəlif cisimlərin hərəkətidir.

Hərəkat

Fərz edək ki, bir cismin sürəti bərabər şəkildə düz bir xətt üzrə hərəkət edir. Bu dövrdə bədənin koordinatlarında dəyişiklik qrafik olaraq müəyyən bir əyri ilə təmsil olunur, riyaziyyatçı onu parabolanın budağı adlandırır. Eyni zamanda, funksiya daim artır, çünki koordinat göstəriciləri hər saniyə daha sürətli və daha sürətli dəyişir. Sürət qrafiki törəmənin davranışını göstərir, dəyəri də artır. Bu o deməkdir ki, hərəkətin kritik nöqtələri yoxdur.

Bu sonsuza qədər davam edəcəkdi. Bəs bədən birdən yavaşlamağa, dayanmağa və fərqli bir istiqamətdə hərəkət etməyə qərar verərsə nə etməli? Bu halda koordinat göstəriciləri azalmağa başlayacaq. Və funksiya kritik bir dəyər keçəcək və artandan azalana keçəcək.

Bu nümunədən istifadə edərək, bir daha başa düşə bilərsiniz ki, funksiyanın qrafikindəki ekstremum nöqtələri onun monotonluğunu dayandırdığı anlarda görünür.

Törəmənin fiziki mənası

Daha əvvəl təsvir edilənlər aydın şəkildə göstərdi ki, törəmə mahiyyətcə funksiyanın dəyişmə sürətidir. Bu aydınlıq onun fiziki mənasını ehtiva edir. Ekstremal nöqtələr qrafikdə kritik sahələrdir. Sıfıra bərabər olan törəmənin dəyərini hesablamaqla onları müəyyən etmək və aşkar etmək olar.

Ekstremum üçün kifayət qədər şərt olan başqa bir əlamət var. Belə əyilmə nöqtələrində törəmə öz işarəsini dəyişir: maksimum sahədə “+”dan “-”-yə, minimum sahədə isə “-” dən “+”-a qədər.

Cazibə qüvvəsinin təsiri altında hərəkət

Başqa bir vəziyyəti təsəvvür edək. Topla oynayan uşaqlar onu elə atdılar ki, o, üfüqə bucaq altında hərəkət etməyə başladı. İlkin anda bu cismin sürəti ən yüksək idi, lakin cazibə qüvvəsinin təsiri altında azalmağa başladı və hər saniyə eyni miqdarda, təxminən 9,8 m/s 2-ə bərabər idi. Bu, sərbəst düşmə zamanı yerin cazibə qüvvəsinin təsiri altında baş verən sürətlənmənin qiymətidir. Ayda o, təxminən altı dəfə kiçik olardı.

Cismin hərəkətini təsvir edən qrafik budaqları aşağıya doğru yönəlmiş paraboladır. Ekstremal nöqtələri necə tapmaq olar? Bu halda, bu, bədənin (topun) sürətinin sıfır dəyər aldığı funksiyanın yuxarı hissəsidir. Funksiyanın törəməsi sıfıra çevrilir. Bu halda istiqamət və buna görə də sürət dəyəri əksinə dəyişir. Bədən hər saniyə daha sürətlə aşağı uçur və eyni miqdarda sürətlənir - 9,8 m/s 2 .

İkinci törəmə

Əvvəlki halda sürət modulunun qrafiki düz xətt kimi çəkilir. Bu dəyərin dəyəri daim azaldığı üçün bu xətt əvvəlcə aşağıya doğru yönəldilir. Bir anda sıfıra çatdıqdan sonra bu dəyərin göstəriciləri artmağa başlayır və sürət modulunun qrafik təsvirinin istiqaməti kəskin şəkildə dəyişir. İndi xətt yuxarıya doğru yönəldilir.

Koordinatın zamana görə törəməsi olan sürətin də kritik nöqtəsi var. Bu bölgədə əvvəlcə azalan funksiya artmağa başlayır. Bu funksiyanın törəməsinin ekstremum nöqtəsinin yeridir. Bu zaman tangensin meyl açısı sıfır olur. Sürət isə koordinatın zamana görə ikinci törəməsi olmaqla işarəni “-”dən “+”-a dəyişir. Və vahid yavaşdan hərəkət eyni dərəcədə sürətlənir.

Sürətləndirmə qrafiki

İndi dörd şəkilə baxaq. Onların hər biri sürətlənmə kimi fiziki kəmiyyətdə zamanla dəyişikliklərin qrafikini göstərir. “A” halında onun dəyəri müsbət və sabit qalır. Bu o deməkdir ki, bədənin sürəti, onun koordinatı kimi, daim artır. Əgər cismin sonsuz uzun müddət bu şəkildə hərəkət edəcəyini təsəvvür etsək, koordinatın zamandan asılılığını əks etdirən funksiya daim artacaq. Buradan belə çıxır ki, onun kritik sahələri yoxdur. Törəmə qrafikində ekstremum nöqtələri də yoxdur, yəni xətti dəyişən sürət.

Eyni şey müsbət və daim artan sürətlənmə ilə "B" vəziyyətinə aiddir. Düzdür, burada koordinatlar və sürət üçün qrafiklər bir qədər mürəkkəb olacaq.

Sürətlənmə sıfıra düşəndə

“B” rəqəminə baxdıqda bədənin hərəkətini xarakterizə edən tamamilə fərqli mənzərəni müşahidə etmək olar. Onun sürəti qrafik olaraq budaqları aşağıya doğru yönəldilmiş parabola ilə təmsil olunacaq. Sürətlənmənin dəyişməsini təsvir edən xətti OX oxu ilə kəsişənə qədər və daha da davam etdirsək, təsəvvür edə bilərik ki, bu kritik qiymətə qədər, sürətlənmə sıfıra bərabər olduqda, cismin sürəti getdikcə daha yavaş artacaq. . Koordinat funksiyasının törəməsinin ekstremum nöqtəsi tam olaraq parabolanın təpəsində olacaq, bundan sonra cisim öz hərəkətinin xarakterini kökündən dəyişəcək və fərqli istiqamətdə hərəkət etməyə başlayacaq.

Sonuncu halda, "G", hərəkətin xarakterini dəqiq müəyyən etmək mümkün deyil. Burada yalnız nəzərə alınan bəzi dövr üçün sürətlənmə olmadığını bilirik. Bu o deməkdir ki, obyekt yerində qala bilər və ya sabit sürətlə hərəkət edə bilər.

Koordinat əlavə etmə problemi

Məktəbdə cəbr oxuyarkən tez-tez rast gəlinən və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq üçün təklif olunan tapşırıqlara keçək. Aşağıdakı şəkildə funksiyanın qrafiki göstərilir. Ekstremum xalların cəmini hesablamaq tələb olunur.

Bunu funksiyanın xarakteristikalarında dəyişiklik müşahidə olunan kritik sahələrin koordinatlarını təyin etməklə ordinat oxu üçün edək. Sadəcə olaraq, biz əyilmə nöqtələri üçün OX oxu boyunca dəyərləri tapacağıq və sonra yaranan şərtləri əlavə etməyə davam edəcəyik. Qrafikə əsasən onların aşağıdakı qiymətləri götürdükləri açıq-aydın görünür: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. Bu, -21-ə qədər toplanır, bu da cavabdır.

Optimal həll

Praktik tapşırıqların yerinə yetirilməsi zamanı optimal həll yolunun seçilməsinin nə qədər vacib olduğunu izah etməyə ehtiyac yoxdur. Axı, məqsədə çatmağın bir çox yolu var, lakin ən yaxşı çıxış yolu, bir qayda olaraq, yalnız birdir. Bu, məsələn, gəmilərin, kosmik gəmilərin və təyyarələrin, memarlıq strukturlarının layihələndirilməsi zamanı bu süni obyektlərin optimal formasını tapmaq üçün son dərəcə zəruridir.

Nəqliyyat vasitələrinin sürəti əsasən su və havada hərəkət edərkən yaşadıqları müqavimətin lazımi şəkildə minimuma endirilməsindən, cazibə qüvvələrinin təsiri altında yaranan həddindən artıq yüklərdən və bir çox digər göstəricilərdən asılıdır. Dənizdəki bir gəmi, bir çay gəmisi üçün fırtına zamanı sabitlik kimi keyfiyyətlərə ehtiyac duyur; Optimal dizaynı hesablayarkən, qrafikdəki həddindən artıq nöqtələr vizual olaraq mürəkkəb bir problemin ən yaxşı həlli haqqında fikir verə bilər. Bu cür problemlər çox vaxt iqtisadiyyatda, biznes sahələrində və bir çox digər həyat vəziyyətlərində həll olunur.

Qədim tarixdən

Hətta qədim müdriklər də həddindən artıq problemlərlə məşğul olurdular. Yunan alimləri riyazi hesablamalar vasitəsilə sahə və həcmlərin sirrini uğurla açdılar. Eyni perimetri olan müxtəlif fiqurlardan ibarət müstəvidə dairənin həmişə ən böyük sahəyə malik olduğunu ilk onlar başa düşdülər. Eynilə, topa kosmosda eyni səth sahəsi olan digər obyektlər arasında maksimum həcm verilir. Arximed, Evklid, Aristotel, Apolloni kimi məşhur şəxsiyyətlər özlərini bu cür problemlərin həllinə həsr etmişlər. Heron ekstremal nöqtələri tapmaqda əla idi və hesablamalardan istifadə edərək dahiyanə cihazlar qurdu. Bunlara buxarla hərəkət edən maşınlar, nasoslar və eyni prinsiplə işləyən turbinlər daxildir.

Karfagenin tikintisi

Bir əfsanə var, onun süjeti ekstremal problemlərdən birinin həllinə əsaslanır. Yardım üçün müdriklərə müraciət edən Finikiya şahzadəsinin nümayiş etdirdiyi işgüzar yanaşmanın nəticəsi Karfagenin tikintisi oldu. Bu qədim və məşhur şəhər üçün torpaq sahəsi Didoya (hökmdarın adı belə idi) Afrika qəbilələrindən birinin başçısı tərəfindən verilmişdir. Müqaviləyə əsasən öküz dərisi ilə örtülməli olduğu üçün ərazinin sahəsi əvvəlcə ona çox da böyük görünmürdü. Lakin şahzadə əsgərlərinə onu nazik zolaqlara kəsib onlardan bir kəmər düzəltməyi əmr etdi. O qədər uzun oldu ki, bütün bir şəhərin sığacağı bir ərazini əhatə etdi.

Riyazi analizin mənşəyi

İndi qədim dövrlərdən daha yaxın dövrə keçək. Maraqlıdır ki, Kepler 17-ci əsrdə şərab satıcısı ilə görüşdən sonra riyazi analizin əsaslarını anlamağa təkan verib. Tacir öz peşəsinə o qədər məlumatlı idi ki, çəlləkdəki içkinin həcmini sadəcə içərisinə dəmir kəndir salmaqla asanlıqla müəyyən edə bilirdi. Belə bir maraq üzərində düşünən məşhur alim bu dilemmanı özü üçün həll etməyi bacarıb. Məlum olub ki, o dövrün mahir bişirənləri qablar hazırlamağı elə bacarırdılar ki, bərkidici halqaların çevrəsinin müəyyən hündürlüyündə və radiusunda maksimum tutumlu olurlar.

Bu, Keplerin daha çox düşünməsinə səbəb oldu. Kooperatorlar öz təcrübələrini nəsildən-nəslə ötürməklə, uzun axtarışlar, səhvlər və yeni cəhdlər nəticəsində optimal həll yoluna gəliblər. Lakin Kepler prosesi sürətləndirmək və eyni şeyi riyazi hesablamalar vasitəsilə qısa müddətdə necə edəcəyini öyrənmək istəyirdi. Həmkarları tərəfindən mənimsənilən bütün inkişafları indi məşhur olan Fermat və Nyuton-Leybnits teoremlərinə çevrildi.

Maksimum sahə problemi

Təsəvvür edək ki, uzunluğu 50 sm olan bir naqilimiz var, ondan ən böyük sahəsi olan düzbucaqlı necə düzəldə bilərik?

Qərar verərkən hamıya məlum olan sadə həqiqətlərdən çıxış etməlisiniz. Fiqurumuzun perimetri 50 sm olacağı aydındır ki, o, hər iki tərəfin ikiqat uzunluğundan ibarətdir. Bu o deməkdir ki, onlardan birini “X” kimi təyin etməklə, digərini (25 - X) kimi ifadə etmək olar.

Buradan X(25 - X)-ə bərabər bir sahə alırıq. Bu ifadəni çoxlu qiymət alan funksiya kimi düşünmək olar. Problemin həlli onların maksimumunu tapmağı tələb edir, yəni ekstremal nöqtələri tapmaq lazımdır.

Bunun üçün birinci törəməni tapırıq və onu sıfıra bərabərləşdiririk. Nəticə sadə bir tənlikdir: 25 - 2X = 0.

Ondan öyrənirik ki, tərəflərdən biri X = 12,5-dir.

Buna görə də, digəri: 25 - 12,5 = 12,5.

Belə çıxır ki, məsələnin həlli tərəfi 12,5 sm olan kvadrat olacaq.

Maksimum sürəti necə tapmaq olar

Başqa bir misala baxaq. Təsəvvür edək ki, xətti hərəkəti S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 tənliyi ilə təsvir olunan cisim var ki, burada qət edilən məsafə metrlə, vaxt isə saniyələrlə ifadə edilir. Maksimum sürəti tapmalıyıq. Bunu necə etmək olar? Yüklədik, sürəti, yəni birinci törəməni tapırıq.

Tənliyi alırıq: V = - 3t 2 + 18t - 24. İndi məsələni həll etmək üçün yenidən ekstremum nöqtələrini tapmaq lazımdır. Bu, əvvəlki tapşırıqda olduğu kimi edilməlidir. Sürətin birinci törəməsini tapırıq və onu sıfıra bərabərləşdiririk.

Alırıq: - 6t + 18 = 0. Beləliklə, t = 3 s. Bu, bədənin sürətinin kritik bir dəyər aldığı vaxtdır. Nəticədə alınan məlumatları sürət tənliyinə əvəz edirik və alırıq: V = 3 m/s.

Bəs bunun maksimum sürət olduğunu necə başa düşə bilərik, çünki funksiyanın kritik nöqtələri onun ən böyük və ya ən kiçik qiymətləri ola bilər? Yoxlamaq üçün sürətin ikinci törəməsini tapmaq lazımdır. Mənfi işarə ilə 6 rəqəmi ilə ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, tapılan nöqtə maksimumdur. Və müsbət dəyər olduqda, ikinci törəmə minimuma sahib olacaqdır. Bu o deməkdir ki, tapılan həll düzgün çıxdı.

Nümunə olaraq verilən məsələlər, funksiyanın ekstremum nöqtələrini necə tapmağı bildiyiniz halda həll edilə bilən məsələlərin yalnız bir hissəsidir. Əslində onların sayı daha çoxdur. Və belə biliklər bəşər sivilizasiyası üçün qeyri-məhdud imkanlar açır.

Funksiya y = f(x) adlanır artır (azalan) müəyyən intervalda, əgər x 1 üçün< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Əgər y = f (x) diferensiallanan funksiya intervalda artırsa (azalırsa), onda onun bu f intervalında törəməsidir. " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Nöqtə x O çağırdı yerli maksimum nöqtə (minimum) f (x) funksiyası əgər nöqtənin qonşuluğu varsa x o, f (x) bərabərsizliyinin doğru olduğu bütün nöqtələr üçün≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Maksimum və minimum nöqtələr deyilir ekstremal nöqtələr, və bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətləri onundur ifrat.

Ekstremal nöqtələr

Ekstremum üçün zəruri şərtlər . Əgər nöqtə x O f (x) funksiyasının ekstremum nöqtəsidir, onda ya f " (x o ) = 0 və ya f(x o ) mövcud deyil. Belə nöqtələr deyilir tənqidi, funksiyanın özü isə kritik nöqtədə müəyyən edilir. Funksiyanın ekstremumunu onun kritik nöqtələri arasında axtarmaq lazımdır.

Birinci kifayət qədər şərt. Qoy x O - kritik nöqtə. Əgər f" (x ) nöqtədən keçərkən x O artı işarəsini mənfiyə, sonra nöqtəyə dəyişir x o funksiyanın maksimumu var, əks halda minimuma malikdir. Əgər kritik nöqtədən keçərkən törəmə işarəni dəyişmirsə, onda nöqtədə x O ifrat yoxdur.

İkinci kifayət qədər şərt. f(x) funksiyası olsun
f" (x ) nöqtənin yaxınlığında x O və ikinci törəmə f "" (x 0) nöqtənin özündə x o. Əgər f"(x o) = 0, f "" (x 0)>0 (f "" (x 0)<0), то точка x o f (x) funksiyasının yerli minimum (maksimum) nöqtəsidir. Əgər f "" (x 0) = 0 olarsa, ya birinci kifayət qədər şərtdən istifadə etməli, ya da daha yüksək şərtləri cəlb etməlisiniz.

Seqmentdə y = f (x) funksiyası ya kritik nöqtələrdə, ya da seqmentin uclarında minimum və ya maksimum qiymətə çata bilər.

Misal 3.22.

Həll.Çünki f " (

Funksiyanın ekstremumunun tapılması məsələləri

Misal 3.23. a

Həll. x Və y y
0 ≤ x≤
> 0 və nə vaxt x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksiyaları kv. vahidlər).

Misal 3.24. p ≈

Həll. səh
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Misal 3.22.f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyasının ekstremumunu tapın.

Həll.Çünki f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), onda x 1 = 2 və x 2 = 3 funksiyasının kritik nöqtələri. Ekstrema yalnız bu nöqtələrdə ola bilər. Törəmə x 1 = 2 nöqtəsindən keçərkən işarəni artıdan mənfiyə dəyişir, bu zaman funksiya maksimuma malikdir. x 2 = 3 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəsini mənfidən artıya dəyişir, ona görə də x 2 = 3 nöqtəsində funksiya minimuma malikdir. Nöqtələrdə funksiya dəyərlərini hesablayaraq
x 1 = 2 və x 2 = 3 olduqda, funksiyanın ekstremumunu tapırıq: maksimum f (2) = 14 və minimum f (3) = 13.

Misal 3.23.Daş divarın yanında düzbucaqlı sahə tikmək lazımdır ki, o, üç tərəfdən məftillə hasarlansın, dördüncü tərəfi isə divara bitişik olsun. Bunun üçün var a xətti metr mesh. Sayt hansı aspekt nisbətində ən böyük sahəyə sahib olacaq?

Həll.Platformanın tərəflərini ilə işarə edək x Və y. Saytın sahəsi S = xy-dir. Qoy y- bu divara bitişik tərəfin uzunluğudur. Onda şərtə görə 2x + y = a bərabərliyi təmin edilməlidir. Buna görə də y = a - 2x və S = x (a - 2x), burada
0 ≤ x≤ a /2 (sahənin uzunluğu və eni mənfi ola bilməz). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, haradandır
y = a - 2 × a/4 =a/2. Çünki x = a /4 yeganə kritik nöqtədir, gəlin bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq; x a /4 S "də> 0 və nə vaxt x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksiyaları S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. vahidlər). S davamlı olduğundan və S(0) və S(a /2) uclarındakı qiymətləri sıfıra bərabər olduğundan, tapılan dəyər funksiyanın ən böyük dəyəri olacaqdır. Beləliklə, məsələnin verilmiş şərtlərində saytın ən əlverişli tərəf nisbəti y = 2x-dir.

Misal 3.24.V=16 tutumu olan qapalı silindrik çənin istehsalı tələb olunur p ≈ 50 m 3. Tankın ölçüləri (radius R və hündürlüyü H) hansı olmalıdır ki, onun istehsalı üçün ən az miqdarda material istifadə olunsun?

Həll.Silindrlərin ümumi səth sahəsi S = 2-dir səh R(R+H). Biz silindrin həcmini bilirik V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Beləliklə, S(R) = 2 səh (R 2 +16/R). Bu funksiyanın törəməsini tapırıq:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 R 3 = 8-də, buna görə də,
R = 2, H = 16/4 = 4.